En matemáticas , un grupo de permutaciones es un grupo G cuyos elementos son permutaciones de un conjunto M dado y cuya operación de grupo es la composición de permutaciones en G (que se consideran funciones biyectivas del conjunto M hacia sí mismo). El grupo de todas las permutaciones de un conjunto M es el grupo simétrico de M , a menudo escrito como Sym( M ). [1] El término grupo de permutación significa, por tanto, un subgrupo del grupo simétrico. Si M = {1, 2, ..., n } entonces Sym( M ) generalmente se denota por S n y puede denominarse grupo simétrico de n letras .
Según el teorema de Cayley , todo grupo es isomorfo a algún grupo de permutación.
La forma en que los elementos de un grupo de permutación permutan los elementos del conjunto se llama acción de grupo . Las acciones grupales tienen aplicaciones en el estudio de simetrías , combinatoria y muchas otras ramas de las matemáticas , la física y la química.
Un grupo de permutación es un subgrupo de un grupo simétrico ; es decir, sus elementos son permutaciones de un conjunto dado. Por tanto, es un subconjunto de un grupo simétrico que está cerrado bajo composición de permutaciones, contiene la permutación identidad y contiene la permutación inversa de cada uno de sus elementos. [2] Una propiedad general de los grupos finitos implica que un subconjunto finito no vacío de un grupo simétrico es un grupo de permutación si y sólo si está cerrado bajo composición de permutación. [3]
El grado de un grupo de permutaciones de un conjunto finito es el número de elementos del conjunto. El orden de un grupo (de cualquier tipo) es el número de elementos (cardinalidad) del grupo. Según el teorema de Lagrange , el orden de cualquier grupo de permutaciones finito de grado n debe dividir a n . ya que n - factorial es el orden del grupo simétrico S n .
Dado que las permutaciones son biyecciones de un conjunto, pueden representarse mediante la notación de dos líneas de Cauchy . [4] Esta notación enumera cada uno de los elementos de M en la primera fila, y para cada elemento, su imagen debajo de la permutación debajo de él en la segunda fila. Si es una permutación del conjunto entonces,
Por ejemplo, una permutación particular del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} se puede escribir como
esto significa que σ satisface σ (1) = 2, σ (2) = 5, σ (3) = 4, σ (4) = 3 y σ (5) = 1. Los elementos de M no necesitan aparecer en ningún orden especial en la primera fila, por lo que la misma permutación también podría escribirse como
Las permutaciones también suelen escribirse en notación cíclica ( forma cíclica ) [5] de modo que dado el conjunto M = {1, 2, 3, 4}, una permutación g de M con g (1) = 2, g (2) = 4, g (4) = 1 y g (3) = 3 se escribirán como (1, 2, 4)(3), o más comúnmente, (1, 2, 4) ya que 3 no se modifica; si los objetos se indican con letras o dígitos, también se pueden prescindir de comas y espacios, y tenemos una notación como (124). La permutación escrita arriba en notación de 2 líneas se escribiría en notación de ciclo como
El producto de dos permutaciones se define como su composición en funciones, al igual que la función que asigna cualquier elemento x del conjunto a . Tenga en cuenta que la permutación situada más a la derecha se aplica primero al argumento, debido a la forma en que se escribe la composición de la función. [6] [7] Algunos autores prefieren que el factor más a la izquierda actúe primero, pero para ese fin, las permutaciones deben escribirse a la derecha de su argumento, a menudo como un superíndice , de modo que la permutación que actúa sobre el elemento dé como resultado la imagen . Con esta convención, el producto viene dado por . [8] [9] [10] Sin embargo, esto proporciona una regla diferente para multiplicar permutaciones. Esta convención se usa comúnmente en la literatura sobre grupos de permutaciones, pero este artículo usa la convención donde la permutación más a la derecha se aplica primero.
Dado que la composición de dos biyecciones siempre da otra biyección, el producto de dos permutaciones es nuevamente una permutación. En notación de dos líneas, el producto de dos permutaciones se obtiene reorganizando las columnas de la segunda permutación (la más a la izquierda) de modo que su primera fila sea idéntica a la segunda fila de la primera permutación (la más a la derecha). Luego, el producto se puede escribir como la primera fila de la primera permutación sobre la segunda fila de la segunda permutación modificada. Por ejemplo, dadas las permutaciones,
el producto QP es:
La composición de las permutaciones, cuando están escritas en notación cíclica, se obtiene yuxtaponiendo las dos permutaciones (con la segunda escrita a la izquierda) y luego simplificando a una forma de ciclo disjunta si se desea. Así, el producto anterior estaría dado por:
Dado que la composición de funciones es asociativa , también lo es la operación del producto en permutaciones: . Por lo tanto, los productos de dos o más permutaciones generalmente se escriben sin agregar paréntesis para expresar agrupaciones; también suelen escribirse sin punto u otro signo para indicar multiplicación (los puntos del ejemplo anterior se agregaron para dar énfasis, por lo que simplemente se escribirían como ).
La permutación de identidad, que asigna cada elemento del conjunto a sí mismo, es el elemento neutral de este producto. En notación de dos líneas, la identidad es
En notación cíclica, e = (1)(2)(3)...( n ) que por convención también se denota simplemente por (1) o incluso (). [11]
Dado que las biyecciones tienen inversas , también las tienen las permutaciones, y la inversa σ −1 de σ es nuevamente una permutación. Explícitamente, siempre que σ ( x ) = y también se tiene σ −1 ( y ) = x . En la notación de dos líneas, la inversa se puede obtener intercambiando las dos líneas (y ordenando las columnas si se desea que la primera línea esté en un orden determinado). Por ejemplo
Para obtener la inversa de un solo ciclo, invertimos el orden de sus elementos. De este modo,
Para obtener el inverso de un producto de ciclos, primero invertimos el orden de los ciclos y luego tomamos el inverso de cada uno como se indicó anteriormente. De este modo,
Tener un producto asociativo, un elemento identidad e inversas para todos sus elementos hace que el conjunto de todas las permutaciones de M forme un grupo , Sym( M ); un grupo de permutación.
Considere el siguiente conjunto G 1 de permutaciones del conjunto M = {1, 2, 3, 4}:
G 1 forma un grupo, ya que aa = bb = e , ba = ab y abab = e . Este grupo de permutación es, como grupo abstracto , el grupo de Klein V 4 .
Como otro ejemplo consideremos el grupo de simetrías de un cuadrado . Deje que los vértices de un cuadrado estén etiquetados como 1, 2, 3 y 4 (en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del cuadrado comenzando con 1 en la esquina superior izquierda). Las simetrías están determinadas por las imágenes de los vértices, que a su vez pueden describirse mediante permutaciones. La rotación de 90° (en el sentido contrario a las agujas del reloj) alrededor del centro del cuadrado se describe mediante la permutación (1234). Las rotaciones de 180° y 270° están dadas por (13)(24) y (1432), respectivamente. La reflexión sobre la línea horizontal que pasa por el centro está dada por (12)(34) y la reflexión de la línea vertical correspondiente es (14)(23). La reflexión sobre la recta de 1,3−diagonal es (24) y la reflexión sobre la recta de 2,4−diagonal es (13). La única simetría que queda es la identidad (1)(2)(3)(4). Este grupo de permutación se conoce, como grupo abstracto, como grupo diédrico de orden 8.
En el ejemplo anterior del grupo de simetría de un cuadrado, las permutaciones "describen" el movimiento de los vértices del cuadrado inducido por el grupo de simetrías. Es común decir que estos elementos del grupo están "actuando" sobre el conjunto de vértices del cuadrado. Esta idea puede precisarse definiendo formalmente una acción grupal . [12]
Sea G un grupo y M un conjunto no vacío . Una acción de G sobre M es una función f : G × M → M tal que
Este par de condiciones también se puede expresar diciendo que la acción induce un homomorfismo de grupo de G a Sym ( M ). [12] Cualquier homomorfismo de este tipo se denomina representación (permutación) de G en M.
Para cualquier grupo de permutación, la acción que envía ( g , x ) → g ( x ) se llama acción natural de G sobre M . Esta es la acción que se asume a menos que se indique lo contrario. [12] En el ejemplo del grupo de simetría del cuadrado, la acción del grupo sobre el conjunto de vértices es la acción natural. Sin embargo, este grupo también induce una acción sobre el conjunto de los cuatro triángulos del cuadrado, que son: t 1 = 234, t 2 = 134, t 3 = 124 y t 4 = 123. También actúa sobre las dos diagonales: d 1 = 13 y d 2 = 24.
La acción de un grupo G sobre un conjunto M se dice transitiva si , por cada dos elementos s , t de M , existe algún elemento del grupo g tal que g ( s ) = t . De manera equivalente, el conjunto M forma una única órbita bajo la acción de G. [13] De los ejemplos anteriores, el grupo {e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)} de permutaciones de {1, 2, 3, 4} no es transitivo (ningún grupo elemento toma del 1 al 3) pero el grupo de simetrías de un cuadrado es transitivo en los vértices.
Un grupo de permutación G que actúa transitivamente sobre un conjunto finito no vacío M es imprimitivo si hay alguna partición de conjunto no trivial de M que se preserva por la acción de G , donde "no trivial" significa que la partición no es la partición en conjuntos singleton ni la partición con una sola parte. De lo contrario, si G es transitivo pero no conserva ninguna partición no trivial de M , el grupo G es primitivo .
Por ejemplo, el grupo de simetrías de un cuadrado es imprimitivo en los vértices: si están numerados 1, 2, 3, 4 en orden cíclico, entonces la partición {{1, 3}, {2, 4}} en pares opuestos es preservado por cada elemento del grupo. Por otro lado, el grupo simétrico completo en un conjunto M es siempre primitivo.
Cualquier grupo G puede actuar sobre sí mismo (considerando los elementos del grupo como el conjunto M ) de muchas maneras. En particular, hay una acción regular dada por la multiplicación (izquierda) en el grupo. Es decir, f ( g , x ) = gx para todo g y x en G. Para cada g fijo , la función f g ( x ) = gx es una biyección sobre G y por tanto una permutación del conjunto de elementos de G. Cada elemento de G puede considerarse como una permutación de esta manera, por lo que G es isomorfo a un grupo de permutaciones; este es el contenido del teorema de Cayley .
Por ejemplo, considere el grupo G 1 actuando sobre el conjunto {1, 2, 3, 4} dado anteriormente. Denotemos los elementos de este grupo por e , a , byc = ab = ba . La acción de G 1 sobre sí mismo descrita en el teorema de Cayley da la siguiente representación de permutación:
Si G y H son dos grupos de permutación en conjuntos X e Y con acciones f 1 y f 2 respectivamente, entonces decimos que G y H son isomórficos de permutación (o isomórficos como grupos de permutación ) si existe un mapa biyectivo λ : X → Y y un isomorfismo de grupo ψ : G → H tal que
Si X = Y esto es equivalente a que G y H sean conjugados como subgrupos de Sym( X ). [15] El caso especial donde G = H y ψ es el mapa de identidad da lugar al concepto de acciones equivalentes de un grupo. [dieciséis]
En el ejemplo de las simetrías de un cuadrado dado anteriormente, la acción natural sobre el conjunto {1,2,3,4} es equivalente a la acción sobre los triángulos. La biyección λ entre los conjuntos viene dada por i ↦ t i . La acción natural del grupo G 1 anterior y su acción sobre sí mismo (mediante la multiplicación por la izquierda) no son equivalentes ya que la acción natural tiene puntos fijos y la segunda acción no.
Cuando un grupo G actúa sobre un conjunto S , la acción puede extenderse naturalmente al producto cartesiano S n de S , que consta de n -tuplas de elementos de S : la acción de un elemento g sobre la n -tupla ( s 1 , ..., s n ) está dada por
Se dice que el grupo G es oligomórfico si la acción sobre S n tiene solo un número finito de órbitas para cada entero positivo n . [17] [18] (Esto es automático si S es finito, por lo que el término suele ser de interés cuando S es infinito).
El interés en los grupos oligomórficos se basa en parte en su aplicación a la teoría de modelos , por ejemplo cuando se consideran automorfismos en teorías categóricas numerables . [19]
El estudio de los grupos surgió originalmente de la comprensión de los grupos de permutación. [20] Las permutaciones habían sido estudiadas intensamente por Lagrange en 1770 en su trabajo sobre las soluciones algebraicas de ecuaciones polinómicas. Este tema floreció y, a mediados del siglo XIX, existía una teoría bien desarrollada de los grupos de permutación, codificada por Camille Jordan en su libro Traité des Substitutions et des Équations Algébriques de 1870. El libro de Jordan, a su vez, se basó en los artículos que quedaron. por Évariste Galois en 1832.
Cuando Cayley introdujo el concepto de grupo abstracto , no quedó inmediatamente claro si se trataba o no de una colección de objetos más grande que los grupos de permutación conocidos (que tenían una definición diferente a la moderna). Cayley pasó a demostrar que los dos conceptos eran equivalentes en el teorema de Cayley. [21]
Otro texto clásico que contiene varios capítulos sobre grupos de permutación es la Teoría de grupos de orden finito de Burnside de 1911. [22] La primera mitad del siglo XX fue un período de barbecho en el estudio de la teoría de grupos en general, pero el interés en los grupos de permutación fue revivido en la década de 1950 por H. Wielandt , cuyas notas de conferencias en alemán se reimprimieron como Grupos de permutación finita en 1964. [23]
Cauchy utilizó su notación de permutación, en la que los arreglos se escriben uno debajo del otro y ambos están entre paréntesis, por primera vez en 1815.
![{\displaystyle [(125)(34)]^{-1}=(34)^{-1}(125)^{-1}=(43)(521)=(34)(152).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60acfa818803c852ee3949bda58e7e31d72ffa2d)