Un problema matemático de ajedrez es un problema matemático que se formula utilizando un tablero y piezas de ajedrez . Estos problemas pertenecen a las matemáticas recreativas . Los problemas más conocidos de este tipo son el problema de las ocho reinas y el problema del recorrido del caballo , que tienen relación con la teoría de grafos y la combinatoria . Muchos matemáticos famosos estudiaron problemas matemáticos de ajedrez, como Thabit , Euler , Legendre y Gauss . [1] Además de encontrar una solución a un problema particular, los matemáticos suelen estar interesados en contar el número total de soluciones posibles, encontrar soluciones con ciertas propiedades, así como la generalización de los problemas a tableros N×N o M×N.
Un problema de independencia (o desguardado [ cita necesaria ] ) es un problema en el que, dado un determinado tipo de pieza de ajedrez (reina, torre, alfil, caballo o rey), se debe encontrar el número máximo que se puede colocar en un tablero de ajedrez para que ninguna de las piezas se ataque entre sí. También se requiere encontrar una disposición real para este número máximo de piezas. El problema más famoso de este tipo es el rompecabezas de las ocho reinas . Los problemas se amplían aún más al preguntar cuántas soluciones posibles existen. Otras generalizaciones aplican el problema a los tableros NxN. [2] [3]
Un tablero de ajedrez de 8×8 puede tener 16 reyes independientes, 8 reinas independientes, 8 torres independientes, 14 alfiles independientes o 32 caballos independientes. [4] A continuación se muestran soluciones para reyes, alfiles, reinas y caballos. Para obtener 8 torres independientes basta con colocarlas en una de las diagonales principales.
Un problema de dominación (o cobertura ) implica encontrar el número mínimo de piezas del tipo dado para colocar en un tablero de ajedrez de modo que todas las casillas vacías sean atacadas al menos una vez. Es un caso especial del problema de la cobertura de vértices . El número mínimo de reyes dominantes es 9, reinas 5, torres 8, alfiles 8 y caballos 12. Para obtener 8 torres dominantes, basta con colocar una en cada fila. Las soluciones para otras piezas se proporcionan en los diagramas siguientes.
Los problemas de dominación también se formulan a veces como que requieren que uno encuentre el número mínimo de piezas necesarias para atacar todas las casillas del tablero, incluidas las ocupadas. [5] Para las torres, se requieren ocho; la solución es colocarlos a todos en un solo archivo o rango. Las soluciones para otras piezas se dan a continuación.
El dominio de las reinas en la diagonal principal de un tablero de ajedrez de cualquier tamaño puede considerarse equivalente a un problema en teoría de números para encontrar un conjunto de Salem-Spencer , un conjunto de números en el que ninguno de los números es el promedio de otros dos. La ubicación óptima de las reinas se obtiene dejando vacante un conjunto de casillas que tengan todas la misma paridad (todas estén en posiciones pares o todas en posiciones impares a lo largo de la diagonal) y que formen un conjunto de Salem-Spencer. [6]
Este tipo de problemas piden encontrar un recorrido por una determinada pieza de ajedrez, que recorre todas las casillas de un tablero de ajedrez. El problema más conocido de este tipo es el Knight's Tour . Además del caballo, existen recorridos similares para el rey, la reina y la torre. Los alfiles no pueden llegar a cada casilla del tablero, por lo que el problema para ellos está formulado para alcanzar todas las casillas de un color. [7]
En los problemas de intercambio de ajedrez, las piezas blancas se intercambian con las negras. [8] Esto se hace con los movimientos legales normales de las piezas durante un juego, pero no es necesario alternar turnos. Por ejemplo, un caballo blanco puede moverse dos veces seguidas. No se permite capturar piezas. A continuación se muestran dos de estos problemas. En el primero el objetivo es intercambiar las posiciones de los caballos blancos y negros. En el segundo se deben intercambiar las posiciones de los alfiles con una limitación adicional, que las piezas enemigas no se ataquen entre sí.