Periodograma

Estimación de la densidad espectral de una señal

En el procesamiento de señales , un periodograma es una estimación de la densidad espectral de una señal. El término fue acuñado por Arthur Schuster en 1898. ^[1] Hoy en día, el periodograma es un componente de métodos más sofisticados (ver estimación espectral ). Es la herramienta más común para examinar las características de amplitud vs frecuencia de los filtros FIR y las funciones de ventana . Los analizadores de espectro FFT también se implementan como una secuencia temporal de periodogramas.

Definición

En la actualidad se utilizan al menos dos definiciones diferentes. ^[2] Una de ellas implica un promedio temporal, ^[3] y la otra no. ^[4] El promedio temporal también es el ámbito de otros artículos ( método de Bartlett y método de Welch ). Este artículo no trata sobre el promedio temporal. La definición de interés aquí es que la densidad espectral de potencia de una función continua   es la transformada de Fourier de su función de autocorrelación (véase Teorema de correlación cruzada , Densidad espectral y Teorema de Wiener-Khinchin ): ${\displaystyle x(t),}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\circledast x^{*}(-t)\}=X(f)\cdot X^{*}(f)=\left|X(f)\right|^{2}.}$$

Cálculo

Un espectro de potencia (magnitud al cuadrado) de dos funciones de base sinusoidal, calculado mediante el método del periodograma.

Dos espectros de potencia (magnitud al cuadrado) ( funciones de ventana rectangular y de Hamming más ruido de fondo), calculados mediante el método del periodograma.

Para valores suficientemente pequeños del parámetro T, se puede observar   una aproximación arbitrariamente precisa para X ( f ) en la región   de la función: ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2T}}<f<{\tfrac {1}{2T}}}$

$${\displaystyle X_{1/T}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right),}$$

que está determinada con precisión por las muestras x ( nT ) que abarcan la duración distinta de cero de x ( t )  (véase Transformada de Fourier de tiempo discreto ).

Y para valores suficientemente grandes del parámetro N ,   se puede evaluar en una frecuencia arbitrariamente cercana mediante una suma de la forma: ${\displaystyle X_{1/T}(f)}$

$${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},}$$

donde k es un número entero. La periodicidad de     permite escribir esto de manera muy simple en términos de una transformada de Fourier discreta : ${\displaystyle e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}}$

$${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\underbrace {\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)},}$$

donde es una suma periódica:   ${\displaystyle x_{_{N}}}$ ${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$

Cuando se evalúa para todos los números enteros, k , entre 0 y N -1, la matriz: es un periodograma . ^{[4] [5] [6]} $${\displaystyle S\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\left|\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\right|^{2}}$$

Aplicaciones

El periodograma de Proxima Centauri b se muestra en la parte inferior. ^[7]

Cuando se utiliza un periodograma para examinar las características detalladas de un filtro FIR o una función de ventana , el parámetro N se elige como varios múltiplos de la duración distinta de cero de la secuencia x [ n ] , lo que se denomina relleno de ceros (consulte § Muestreo de la DTFT ). ^[A]   Cuando se utiliza para implementar un banco de filtros , N es varios submúltiplos de la duración distinta de cero de la secuencia x [ n ] (consulte § Muestreo de la DTFT ).

Una de las deficiencias del periodograma es que la varianza en una frecuencia dada no disminuye a medida que aumenta el número de muestras utilizadas en el cálculo. No proporciona el promedio necesario para analizar señales con ruido o incluso sinusoides con relaciones señal-ruido bajas. Las funciones de ventana y las respuestas de impulso de filtro no tienen ruido, pero muchas otras señales requieren métodos más sofisticados de estimación espectral . Dos de las alternativas utilizan periodogramas como parte del proceso:

• El método de los periodogramas promediados , ^[8]   más comúnmente conocido como método de Welch , ^{[9] [10]}   divide una secuencia larga x[n] en múltiples subsecuencias más cortas y posiblemente superpuestas. Calcula un periodograma en ventana de cada una, y calcula un promedio de matriz, es decir, una matriz donde cada elemento es un promedio de los elementos correspondientes de todos los periodogramas. Para procesos estacionarios , esto reduce la varianza del ruido de cada elemento en aproximadamente un factor igual al recíproco del número de periodogramas.
• El suavizado es una técnica de promediado en frecuencia, en lugar de en tiempo. El periodograma suavizado a veces se denomina gráfico espectral . ^{[11] [12]}

Las técnicas basadas en periodogramas introducen pequeños sesgos que son inaceptables en algunas aplicaciones. En el artículo sobre estimación de densidad espectral se presentan otras técnicas que no se basan en periodogramas .

Véase también

• Filtro coincidente
• Retroproyección filtrada (transformación de Radon)
• El método de Welch
• El método de Bartlett
• Transformada de Fourier de tiempo discreto
• Análisis espectral de mínimos cuadrados , para calcular periodogramas en datos que no están espaciados de manera uniforme
• Clasificación de múltiples señales (MUSIC), un método de superresolución paramétrica popular
• SAMV

Notas

1. N se designa NFFT en las aplicaciones Matlab y Octave.

Referencias

1. Schuster, Arthur (enero de 1898). "Sobre la investigación de periodicidades ocultas con aplicación a un supuesto período de 26 días de fenómenos meteorológicos" (PDF) . Magnetismo Terrestre . 3 (1): 13–41. Bibcode :1898TeMag...3...13S. doi :10.1029/TM003i001p00013. Es conveniente tener una palabra para alguna representación de una cantidad variable que corresponda al 'espectro' de una radiación luminosa. Propongo la palabra periodograma y la defino más particularmente de la siguiente manera.
2. McSweeney, Laura A. (14 de mayo de 2004). "Comparación de pruebas de periodograma". Revista de computación estadística y simulación . 76 (4). en línea ($50): 357–369. doi :10.1080/10629360500107618. S2CID  120439605.
3. "Periodograma—Documentación del lenguaje Wolfram".
4. "Estimación de la densidad espectral de potencia del periodograma - periodograma de MATLAB".
5. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 732 (10.55). ISBN 0-13-754920-2.
6. Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). "6.18" . Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. pp. 415. ISBN. 0-13-914101-4.
7. "Ciencia para hacer en casa: ¿se esconde Próxima C en este gráfico?". www.eso.org . Consultado el 11 de septiembre de 2017 .
8. Engelberg, S. (2008), Procesamiento de señales digitales: un enfoque experimental , Springer, cap. 7, pág. 56
9. Welch, Peter D. (junio de 1967). "El uso de la transformada rápida de Fourier para la estimación de espectros de potencia: un método basado en el promedio temporal sobre periodogramas cortos modificados". IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics . AU-15 (2): 70–73. Bibcode :1967ITAE...15...70W. doi :10.1109/TAU.1967.1161901.
10. "Estimación de densidad espectral de potencia de Welch - MATLAB pwelch".
11. Gráfico espectral, del Manual de estadísticas de ingeniería del NIST .
12. "Manual de referencia de DATAPLOT" (PDF) . NIST.gov . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST). 11 de marzo de 1997 . Consultado el 14 de junio de 2019 . El gráfico espectral es esencialmente un periodograma "suavizado" donde el suavizado se realiza en el dominio de la frecuencia.

Lectura adicional

• Box, George EP; Jenkins, Gwilym M. (1976). Análisis de series temporales: pronóstico y control . San Francisco: Holden-Day.
• Scargle, JD (15 de diciembre de 1982). "Estudios en análisis de series de tiempo astronómicas. II - Aspectos estadísticos del análisis espectral de datos espaciados de manera desigual". Astrophysical Journal, Parte 1. 263 : 835–853. Bibcode :1982ApJ...263..835S. doi :10.1086/160554.
• Vaughan, Simon; Uttley, Philip (2006). "Detección de QPO de rayos X en galaxias activas". Avances en la investigación espacial . 38 (7): 1405–1408. arXiv : astro-ph/0506456 . Código Bibliográfico :2006AdSpR..38.1405V. doi :10.1016/j.asr.2005.02.064. S2CID  21054467.