Periodo de devolución

Tiempo estimado de recurrencia de un evento

Un período de retorno , también conocido como intervalo de recurrencia o intervalo de repetición , es un tiempo promedio o un tiempo promedio estimado entre eventos como terremotos , inundaciones , ^[1] deslizamientos de tierra , ^[2] o caudales de descarga de ríos que ocurren.

Es una medición estadística que generalmente se basa en datos históricos durante un período prolongado y se utiliza generalmente para análisis de riesgos. Los ejemplos incluyen decidir si se debe permitir que un proyecto avance en una zona de cierto riesgo o diseñar estructuras para resistir eventos con un cierto período de retorno. El siguiente análisis supone que la probabilidad de que ocurra el evento no varía con el tiempo y es independiente de eventos pasados.

Estimar un período de retorno

Intervalo de recurrencia ${\displaystyle ={n+1 \over m}}$

n número de años registrados;

m es el rango de ocurrencias observadas cuando se organizan en orden descendente ^[3]

En el caso de inundaciones, el evento puede medirse en términos de m ³ /so altura; para marejadas ciclónicas , en términos de la altura de la marejada, y de manera similar para otros eventos. Esta es la fórmula de Weibull. ^{[4] : 12  [5] [ verificación fallida ]}

Período de retorno como recíproco de la frecuencia esperada.

El período de retorno teórico entre ocurrencias es el inverso de la frecuencia promedio de ocurrencia. Por ejemplo, una inundación de 10 años tiene una probabilidad de 1/10 = 0,1 o 10% de ser superada en un año determinado y una inundación de 50 años tiene una probabilidad de 0,02 o 2% de ser superada en un año determinado.

Esto no significa que una inundación de 100 años ocurrirá regularmente cada 100 años, o sólo una vez cada 100 años. A pesar de las connotaciones del nombre "período de retorno". En cualquier período de 100 años, un evento de 100 años puede ocurrir una, dos veces, más o nunca, y cada resultado tiene una probabilidad que se puede calcular como se muestra a continuación.

Además, el período de retorno estimado a continuación es una estadística : se calcula a partir de un conjunto de datos (las observaciones), a diferencia del valor teórico en una distribución idealizada. En realidad, no se sabe si una magnitud determinada o mayor ocurre con una probabilidad del 1%, sólo que se ha observado exactamente una vez cada 100 años.

Esa distinción es significativa porque hay pocas observaciones de eventos raros: por ejemplo, si las observaciones se remontan a 400 años atrás, el evento más extremo (un evento de 400 años según la definición estadística) puede clasificarse más tarde, tras una observación más larga, como un evento de 200 años. evento de un año (si un evento comparable ocurre inmediatamente) o un evento de 500 años (si no ocurre ningún evento comparable durante 100 años más).

Además, no se puede determinar el tamaño de un evento de 1000 años basándose únicamente en dichos registros, sino que se debe utilizar un modelo estadístico para predecir la magnitud de dicho evento (no observado). Incluso si el intervalo de retorno histórico es mucho menor que 1.000 años, si se registran varios eventos menos graves de naturaleza similar, es probable que el uso de dicho modelo proporcione información útil para ayudar a estimar el intervalo de retorno futuro.

Distribuciones de probabilidad

Nos gustaría poder interpretar el período de retorno en modelos probabilísticos. La interpretación más lógica de esto es tomar el período de retorno como la tasa de conteo en una distribución de Poisson , ya que es el valor esperado de la tasa de ocurrencias. Una interpretación alternativa es tomarlo como la probabilidad de un ensayo Bernoulli anual en la distribución binomial . Esto está en contra porque cada año no representa un juicio independiente a Bernoulli sino que es una medida arbitraria de tiempo. Esta pregunta es principalmente académica ya que los resultados obtenidos serán similares tanto bajo la interpretación de Poisson como bajo la interpretación binomial.

Poison

La función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson es

${\displaystyle P_{t}(r)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \over r!}e^{-t/T}}$

donde es el número de ocurrencias para las que se calcula la probabilidad, el período de interés, es el período de retorno y es la tasa de conteo. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu =1/T}$

La probabilidad de que no ocurra se puede obtener simplemente considerando el caso de . La fórmula es ${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle P_{\text{no-occurrence}}(t)=e^{-\mu t}=e^{-t/T}}$

En consecuencia, la probabilidad de excedencia (es decir, la probabilidad de que un evento "más fuerte" que el evento con período de retorno ocurra al menos una vez dentro del período de interés) es ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P_{\text{exceedance}}(t)=1-P_{\text{no-occurrence}}(t)=1-e^{-\mu t}=1-e^{-t/T}}$

Tenga en cuenta que para cualquier evento con período de retorno , la probabilidad de excedencia dentro de un intervalo igual al período de retorno (es decir, ) es independiente del período de retorno y es igual a . Esto significa, por ejemplo, que hay un 63,2% de probabilidad de que ocurra una inundación mayor que la inundación de retorno de 50 años dentro de cualquier período de 50 años. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=T}$ ${\displaystyle 1-\exp(-1)\approx 63.2\%}$

Ejemplo

Si el período de retorno de ocurrencia es de 243 años ( ), entonces la probabilidad de que ocurra exactamente una ocurrencia en diez años es ${\textstyle T}$ ${\textstyle \mu =0.0041}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t}(r)&={\frac {(\mu t)^{r}}{r!}}e^{-\mu t}\\[6pt]P_{10}(1)&={\frac {(10/243)^{1}}{1!}}e^{-10/243}\approx 3.95\%\end{aligned}}}$

Binomio

En un período dado de n años, la probabilidad de que se produzca un número dado r de eventos de un período de retorno viene dada por la distribución binomial de la siguiente manera. ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}.}$

Esto sólo es válido si la probabilidad de que ocurra más de una ocurrencia por año es cero. A menudo se trata de una aproximación cercana, en cuyo caso las probabilidades obtenidas por esta fórmula se mantienen aproximadamente.

Si de tal manera que entonces ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,\mu \rightarrow 0}$ ${\displaystyle n\mu \rightarrow \lambda }$

${\displaystyle {\frac {n!}{(n-r)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}\rightarrow e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.}$

Llevar

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{T}}={m \over n+1}}$

dónde

T es el intervalo de retorno

n es el número de años registrados;

m es el número de ocurrencias registradas del evento que se está considerando

Ejemplo

Dado que el periodo de retorno de un evento es de 100 años,

${\displaystyle p={1 \over 100}=0.01.}$

Entonces, la probabilidad de que tal evento ocurra exactamente una vez cada 10 años sucesivos es:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=1)&={\binom {10}{1}}\times 0.01^{1}\times 0.99^{9}\\[4pt]&\approx 10\times 0.01\times 0.914\\[4pt]&\approx 0.0914\end{aligned}}}$

Análisis de riesgo

El período de retorno es útil para el análisis de riesgos (como el riesgo de falla natural, inherente o hidrológico). ^[6] Cuando se trata de expectativas de diseño de estructuras, el período de retorno es útil para calcular el riesgo de la estructura.

La probabilidad de que al menos un evento exceda los límites de diseño durante la vida esperada de la estructura es el complemento de la probabilidad de que no ocurran eventos que excedan los límites de diseño.

La ecuación para evaluar este parámetro es

${\displaystyle {\overline {R}}=1-\left(1-{1 \over T}\right)^{n}=1-(1-P(X\geq x_{T}))^{n}}$

dónde

${\displaystyle {1 \over T}=P(X\geq x_{T})}$es la expresión de la probabilidad de que ocurra el evento en cuestión en un año;

n es la vida esperada de la estructura.

Ver también

• inundación de 100 años
• Análisis de frecuencia acumulada.
• Frecuencia de superación
• Tiempo de residencia

Referencias

1. ASCE, Comité de Trabajo sobre Manual de Hidrología del Grupo de Gestión D de (1996). Manual de hidrología | Libros . doi :10.1061/9780784401385. ISBN 978-0-7844-0138-5.
2. Peres, DJ; Cancelliere, A. (1 de octubre de 2016). "Estimación del período de retorno del desencadenamiento de deslizamientos de tierra mediante simulación de Monte Carlo". Revista de Hidrología . Inundaciones repentinas, respuesta hidrogeomórfica y gestión de riesgos. 541 : 256–271. Código Bib : 2016JHyd..541..256P. doi :10.1016/j.jhidrol.2016.03.036.
3. Kumar, Rajneesh; Bhardwaj, Anil (2015). "Análisis de probabilidad del período de retorno de la precipitación máxima diaria en el conjunto de datos anuales de Ludhiana, Punjab". Revista india de investigación agrícola . 49 (2): 160. doi :10.5958/0976-058X.2015.00023.2. ISSN  0367-8245.
4. Servicio de Conservación de Recursos Nacionales (agosto de 2007). "Capítulo 5: Hidrología de corrientes". Manual Nacional de Ingeniería, Parte 654: Diseño de restauración de corrientes . Washington, DC: Departamento de Agricultura de EE. UU . Consultado el 7 de febrero de 2023 .
5. Anónimo (7 de noviembre de 2014). "Manual de estimación de inundaciones". Centro de Ecología e Hidrología del Reino Unido . Consultado el 21 de diciembre de 2019 .
6. Ingeniería de recursos hídricos, edición de 2005, John Wiley & Sons, Inc, 2005.