Función inversa

Concepto matemático

Una función f y su inversa f ⁻¹ . Como f asigna a a 3, la inversa f ⁻¹ asigna 3 a su vez a a .

En matemáticas , la función inversa de una función f (también llamada inversa de f ) es una función que deshace la operación de f . La inversa de f existe si y solo si f es biyectiva , y si existe, se denota por ${\displaystyle f^{-1}.}$

Para una función , su inversa admite una descripción explícita: envía cada elemento al único elemento tal que f ( x ) = y . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

Como ejemplo, considere la función de valor real de una variable real dada por f ( x ) = 5 x − 7 . Se puede pensar en f como la función que multiplica su entrada por 5 y luego resta 7 del resultado. Para deshacer esto, se suma 7 a la entrada y luego se divide el resultado por 5. Por lo tanto, la inversa de f es la función definida por ${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

Definiciones

Si f asigna X a Y , entonces f ⁻¹ asigna Y nuevamente a X .

Sea f una función cuyo dominio es el conjunto X , y cuyo codominio es el conjunto Y . Entonces f es invertible si existe una función g de Y a X tal que para todo y para todo . ^[1] ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Si f es invertible, entonces hay exactamente una función g que satisface esta propiedad. La función g se denomina inversa de f y suele denotarse como f ⁻¹ , una notación introducida por John Frederick William Herschel en 1813. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [nb 1]}

La función f es invertible si y solo si es biyectiva. Esto se debe a que la condición para todos implica que f es inyectiva y la condición para todos implica que f es sobreyectiva . ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

La función inversa f ⁻¹ a f se puede describir explícitamente como la función

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in X{\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Inversas y composición

Recordemos que si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$, para todos y para cada uno . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Utilizando la composición de funciones , esta afirmación puede reescribirse en las siguientes ecuaciones entre funciones:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$y ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

donde id _X es la función identidad en el conjunto X ; es decir, la función que deja su argumento inalterado. En teoría de categorías , esta afirmación se utiliza como definición de un morfismo inverso .

Considerar la composición de funciones ayuda a entender la notación f ⁻¹ . Componer repetidamente una función f : X → X consigo misma se llama iteración . Si f se aplica n veces, comenzando con el valor x , entonces esto se escribe como f ⁿ ( x ) ; entonces f ² ( x ) = f ( f ( x )) , etc. Dado que f ⁻¹ ( f ( x )) = x , componer f ⁻¹ y f ⁿ produce f ^{n −1} , "deshaciendo" el efecto de una aplicación de f .

Notación

Si bien la notación f ⁻¹ ( x ) puede malinterpretarse, ^[1] ( f ( x )) ⁻¹ ciertamente denota el inverso multiplicativo de f ( x ) y no tiene nada que ver con la función inversa de f . ^[6] La notación podría usarse para la función inversa para evitar ambigüedad con el inverso multiplicativo . ^[7] ${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

De acuerdo con la notación general, algunos autores ingleses usan expresiones como sin ⁻¹ ( x ) para denotar la inversa de la función seno aplicada a x (en realidad una inversa parcial; ver abajo). ^{[8] [6]} Otros autores creen que esto puede confundirse con la notación para la inversa multiplicativa de sin ( x ) , que puede denotarse como (sin ( x )) ⁻¹ . ^[6] Para evitar cualquier confusión, una función trigonométrica inversa a menudo se indica con el prefijo " arc " (del latín arcus ). ^{[9] [10]} Por ejemplo, la inversa de la función seno se suele llamar función arcoseno , escrita como arcsin ( x ) . ^{[9] [10]} De manera similar, la inversa de una función hiperbólica se indica con el prefijo " ar " (del latín ārea ). ^[10] Por ejemplo, la inversa de la función seno hiperbólica se suele escribir como arsinh ( x ) . ^[10] Las expresiones como sin ⁻¹ ( x ) pueden ser útiles para distinguir la inversa multivaluada de la inversa parcial: . Otras funciones especiales inversas a veces se anteponen con el prefijo "inv", si se debe evitar la ambigüedad de la notación f ⁻¹ . ^{[11] [10]} ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$

Ejemplos

Funciones de cuadratura y raíz cuadrada

La función f : R → [0,∞) dada por f ( x ) = x ² no es inyectiva porque para todo . Por lo tanto, f no es invertible. ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Si el dominio de la función está restringido a los reales no negativos, es decir, tomamos la función con la misma regla que antes, entonces la función es biyectiva y, por lo tanto, invertible. ^[12] La función inversa aquí se llama función raíz cuadrada (positiva) y se denota por . ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$

Funciones inversas estándar

La siguiente tabla muestra varias funciones estándar y sus inversas:

Fórmula para la inversa

Muchas funciones dadas por fórmulas algebraicas poseen una fórmula para su inversa. Esto se debe a que la inversa de una función invertible tiene una descripción explícita como ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Esto permite determinar fácilmente las inversas de muchas funciones que se dan mediante fórmulas algebraicas. Por ejemplo, si f es la función

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

Entonces, para determinar un número real y , se debe encontrar el único número real x tal que (2 x + 8) ³ = y . Esta ecuación se puede resolver: ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la función inversa f ⁻¹ viene dada por la fórmula

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

A veces, la inversa de una función no se puede expresar mediante una fórmula de forma cerrada . Por ejemplo, si f es la función

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

Entonces f es una biyección y, por lo tanto, posee una función inversa f ⁻¹ . La fórmula para esta inversa tiene una expresión como suma infinita:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

Propiedades

Dado que una función es un tipo especial de relación binaria , muchas de las propiedades de una función inversa corresponden a propiedades de relaciones inversas .

Unicidad

Si existe una función inversa para una función dada f , entonces es única. ^[13] Esto se deduce porque la función inversa debe ser la relación inversa, que está completamente determinada por f .

Simetría

Existe una simetría entre una función y su inversa. En concreto, si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces su inversa f ⁻¹ tiene dominio Y e imagen X , y la inversa de f ⁻¹ es la función original f . En símbolos, para las funciones f : X → Y y f ⁻¹ : Y → X , ^[13]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$y ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Esta afirmación es una consecuencia de la implicación de que para que f sea invertible debe ser biyectiva. La naturaleza involutiva de la inversa puede expresarse de manera concisa mediante ^[14]

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

La inversa de g  ∘  f es f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ .

La inversa de una composición de funciones está dada por ^[15]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Observe que el orden de g y f se han invertido; para deshacer f seguido de g , primero debemos deshacer g y luego deshacer f .

Por ejemplo, sea f ( x ) = 3 x y sea g ( x ) = x + 5 . Entonces la composición g  ∘  f es la función que primero multiplica por tres y luego suma cinco,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Para revertir este proceso, primero debemos restar cinco y luego dividir por tres.

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Esta es la composición ( f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ )( x ) .

Autoinversos

Si X es un conjunto, entonces la función identidad en X es su propia inversa:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

De manera más general, una función f  : X → X es igual a su propia inversa, si y solo si la composición f  ∘  f es igual a id _X . Tal función se llama involución .

Gráfica de la inversa

Las gráficas de y = f ( x ) y y = f ⁻¹ ( x ) . La línea punteada es y = x .

Si f es invertible, entonces la gráfica de la función

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

es lo mismo que la gráfica de la ecuación

${\displaystyle x=f(y).}$

Esta ecuación es idéntica a la ecuación y = f ( x ) que define el gráfico de f , excepto que se han invertido los papeles de x e y . Por lo tanto, el gráfico de f ⁻¹ se puede obtener a partir del gráfico de f intercambiando las posiciones de los ejes x e y . Esto es equivalente a reflejar el gráfico a través de la línea y = x . ^{[16] [1]}

Inversas y derivadas

Por el teorema de la función inversa , una función continua de una sola variable (donde ) es invertible en su rango (imagen) si y solo si es estrictamente creciente o decreciente (sin máximos o mínimos locales ). Por ejemplo, la función ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

es invertible, ya que la derivada f′ ( x ) = 3 x ² + 1 es siempre positiva.

Si la función f es diferenciable en un intervalo I y f′ ( x ) ≠ 0 para cada x ∈ I , entonces la inversa f ⁻¹ es diferenciable en f ( I ) . ^[17] Si y = f ( x ) , la derivada de la inversa está dada por el teorema de la función inversa,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Usando la notación de Leibniz la fórmula anterior se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Este resultado se desprende de la regla de la cadena (véase el artículo sobre funciones inversas y diferenciación ).

El teorema de la función inversa se puede generalizar a funciones de varias variables. En concreto, una función multivariable continuamente diferenciable f : R ⁿ → R ⁿ es invertible en un entorno de un punto p siempre que la matriz jacobiana de f en p sea invertible . En este caso, la matriz jacobiana de f ⁻¹ en f ( p ) es la matriz inversa de la matriz jacobiana de f en p .

Ejemplos del mundo real

• Sea f la función que convierte una temperatura en grados Celsius a una temperatura en grados Fahrenheit , entonces su función inversa convierte grados Fahrenheit a grados Celsius, ^[18] ya que $${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$$ $${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$$
• Supongamos que f asigna a cada niño de una familia su año de nacimiento. Una función inversa daría como resultado qué niño nació en un año determinado. Sin embargo, si la familia tiene hijos nacidos en el mismo año (por ejemplo, gemelos o trillizos, etc.), entonces no se puede saber el resultado cuando la entrada es el año de nacimiento común. Asimismo, si se da un año en el que no nació ningún niño, entonces no se puede nombrar a ningún niño. Pero si cada niño nació en un año diferente, y si restringimos la atención a los tres años en los que nació un niño, entonces sí tenemos una función inversa. Por ejemplo, $${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$$
• Sea R la función que produce un aumento porcentual x de una determinada cantidad, y F la función que produce una caída porcentual x . Aplicada a $100 con x = 10%, encontramos que aplicar la primera función seguida de la segunda no restablece el valor original de $100, lo que demuestra el hecho de que, a pesar de las apariencias, estas dos funciones no son inversas entre sí.
• La fórmula para calcular el pH de una solución es pH = −log ₁₀ [H ⁺ ] . En muchos casos necesitamos encontrar la concentración de ácido a partir de una medición de pH. Se utiliza la función inversa [H ⁺ ] = 10 ^{−pH .}

Generalizaciones

Inversas parciales

La raíz cuadrada de x es una inversa parcial de f ( x ) = x ² .

Incluso si una función f no es biunívoca, es posible definir una inversa parcial de f restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

no es uno a uno, ya que x ² = (− x ) ² . Sin embargo, la función se vuelve uno a uno si la restringimos al dominio x ≥ 0 , en cuyo caso

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(Si en cambio restringimos al dominio x ≤ 0 , entonces la inversa es el negativo de la raíz cuadrada de y ). Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si nos conformamos con que la inversa sea una función multivalor :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

La inversa de esta función cúbica tiene tres ramas.

A veces, esta inversa multivaluada se denomina inversa completa de f , y las porciones (como √ x y − √ x ) se denominan ramas . La rama más importante de una función multivaluada (por ejemplo, la raíz cuadrada positiva) se denomina rama principal , y su valor en y se denomina valor principal de f ⁻¹ ( y ) .

Para una función continua en la recta real, se requiere una rama entre cada par de extremos locales . Por ejemplo, la inversa de una función cúbica con un máximo local y un mínimo local tiene tres ramas (ver la imagen adyacente).

El arcoseno es una inversa parcial de la función seno .

Estas consideraciones son particularmente importantes para definir las inversas de las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno no es biunívoca, ya que

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

para cada real x (y más generalmente sin( x + 2 π n ) = sin( x ) para cada entero n ). Sin embargo, el seno es uno a uno en el intervalo [− ⁠π/2⁠ ,  ⁠π/2⁠ ] , y la inversa parcial correspondiente se llama arcoseno . Esta se considera la rama principal del seno inverso, por lo que el valor principal del seno inverso siempre está entre − ⁠π/2⁠ y ⁠π/2⁠ . La siguiente tabla describe la rama principal de cada función trigonométrica inversa: ^[19]

Inversas izquierda y derecha

La composición de funciones de la izquierda y de la derecha no tiene por qué coincidir. En general, las condiciones

1. "Existe g tal que g ( f ( x ))= x " y
2. "Existe g tal que f ( g ( x ))= x "

implican diferentes propiedades de f . Por ejemplo, sea f : R → [0, ∞) la función de cuadratura, tal que f ( x ) = x ² para todo x en R , y sea g : [0, ∞) → R la función de raíz cuadrada, tal que g ( x ) = √ x para todo x ≥ 0 . Entonces f ( g ( x )) = x para todo x en [0, ∞) ; es decir, g es una inversa derecha de f . Sin embargo, g no es una inversa izquierda de f , ya que, p. ej., g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Inversas izquierdas

Si f : X → Y , una inversa izquierda para f (o retracción de f ) es una función g : Y → X tal que al componer f con g desde la izquierda se obtiene la función identidad ^[20] Es decir, la función g satisface la regla $${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}}$$

Si f ( x )= y , entonces g ( y )= x .

La función g debe ser igual a la inversa de f en la imagen de f , pero puede tomar cualquier valor para elementos de Y que no estén en la imagen.

Una función f con dominio no vacío es inyectiva si y sólo si tiene una inversa izquierda. ^[21] Una prueba elemental es la siguiente:

• Si g es la inversa izquierda de f , y f ( x ) = f ( y ) , entonces g ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = y .

• Si f : X → Y no vacía es inyectiva, construya una inversa izquierda g : Y → X de la siguiente manera: para todo y ∈ Y , si y está en la imagen de f , entonces existe x ∈ X tal que f ( x ) = y . Sea g ( y ) = x ; esta definición es única porque f es inyectiva. De lo contrario, sea g ( y ) un elemento arbitrario de X .

  Para todo x ∈ X , f ( x ) es la imagen de f . Por construcción, g ( f ( x )) = x , la condición para una inversa izquierda.

En matemáticas clásicas, toda función inyectiva f con un dominio no vacío necesariamente tiene una inversa izquierda; sin embargo, esto puede fallar en matemáticas constructivas . Por ejemplo, una inversa izquierda de la inclusión {0,1} → R del conjunto de dos elementos en los números reales viola la indecomponibilidad al dar una retracción de la línea real al conjunto {0,1} . ^[22]

Inversas derechas

Ejemplo de inversa derecha con función sobreyectiva no inyectiva

Una inversa derecha para f (o sección de f ) es una función h : Y → X tal que

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

Es decir, la función h satisface la regla

Si , entonces ${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$ ${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

Por lo tanto, h ( y ) puede ser cualquiera de los elementos de X que se asignan a y bajo f .

Una función f tiene una inversa derecha si y sólo si es sobreyectiva (aunque construir dicha inversa en general requiere el axioma de elección ).

Si h es la inversa derecha de f , entonces f es sobreyectiva. Para todo , existe tal que . ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

Si f es sobreyectiva, f tiene una inversa derecha h , que puede construirse de la siguiente manera: para todo , hay al menos uno tal que (porque f es sobreyectiva), por lo que elegimos uno como el valor de h ( y ) . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

Inversas de dos lados

Una función inversa que sea tanto inversa izquierda como inversa derecha ( inversa bilateral ), si existe, debe ser única. De hecho, si una función tiene una inversa izquierda y una inversa derecha, ambas son la misma inversa bilateral, por lo que se la puede llamar inversa .

Si es una inversa izquierda y una inversa derecha de , para todo , . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

Una función tiene una inversa bilateral si y sólo si es biyectiva.

Una función biyectiva f es inyectiva, por lo que tiene una inversa izquierda (si f es la función vacía, es su propia inversa izquierda). f es sobreyectiva, por lo que tiene una inversa derecha. Por lo anterior, la inversa izquierda y la derecha son iguales. ${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$

Si f tiene una inversa bilateral g , entonces g es una inversa izquierda y una inversa derecha de f , por lo que f es inyectiva y sobreyectiva.

Preimágenes

Si f : X → Y es cualquier función (no necesariamente invertible), la preimagen (o imagen inversa ) de un elemento y ∈ Y se define como el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a y :

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

La preimagen de y puede considerarse como la imagen de y bajo la inversa completa (multivaluada) de la función f .

De manera similar, si S es cualquier subconjunto de Y , la preimagen de S , denotada , es el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a S : ${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

Por ejemplo, tomemos la función f : R → R ; x ↦ x ² . Esta función no es invertible ya que no es biyectiva, pero se pueden definir preimágenes para subconjuntos del codominio, por ejemplo

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$.

La preimagen de un solo elemento y ∈ Y –un conjunto singleton { y }  – a veces se denomina fibra de y . Cuando Y es el conjunto de números reales, es común referirse a f ⁻¹ ({ y }) como un conjunto de nivel .

Véase también

• El teorema de inversión de Lagrange proporciona la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica.
• Integral de funciones inversas
• Transformada de Fourier inversa
• Computación reversible

Notas

1. No debe confundirse con la exponenciación numérica, como tomar el inverso multiplicativo de un número real distinto de cero.

Referencias

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Bibliografía

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Lectura adicional

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• Spivak, Michael (1994). Cálculo (3.ª ed.). Publicar o perecer. ISBN 0-914098-89-6.
• Stewart, James (2002). Cálculo (5.ª ed.). Brooks Cole . ISBN 978-0-534-39339-7.

Enlaces externos

• "Función inversa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]