Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales son la rama del análisis numérico que estudia la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDP). [1] [2]
En principio, existen métodos especializados para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas [3] , parabólicas [4] o elípticas [5] . [6] [7]
En este método, las funciones se representan por sus valores en ciertos puntos de la cuadrícula y las derivadas se aproximan a través de las diferencias en estos valores.
El método de líneas (MOL, NMOL, NUMOL [8] [9] [10] ) es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) en las que se discretizan todas las dimensiones excepto una. MOL permite utilizar métodos y software estándar de propósito general desarrollados para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y ecuaciones algebraicas diferenciales (EDA). A lo largo de los años se ha desarrollado una gran cantidad de rutinas de integración en muchos lenguajes de programación diferentes, y algunas se han publicado como recursos de código abierto . [11]
El método de líneas se refiere con mayor frecuencia a la construcción o análisis de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales que proceden discretizando primero solo las derivadas espaciales y dejando la variable temporal continua. Esto conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias al que se puede aplicar un método numérico para ecuaciones ordinarias de valor inicial. El método de líneas en este contexto se remonta al menos a principios de la década de 1960. [12]
El método de elementos finitos (MEF) es una técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas a problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales . Utiliza métodos variacionales (el cálculo de variaciones ) para minimizar una función de error y producir una solución estable. De manera análoga a la idea de que conectar muchas líneas rectas diminutas puede aproximar un círculo más grande, el MEF abarca todos los métodos para conectar muchas ecuaciones de elementos simples en muchos subdominios pequeños, llamados elementos finitos, para aproximar una ecuación más compleja en un dominio más grande .
El método de discretización de gradientes (GDM) es una técnica numérica que engloba algunos métodos estándar o recientes. Se basa en la aproximación por separado de una función y de su gradiente. Las propiedades básicas permiten la convergencia del método para una serie de problemas lineales y no lineales, y por tanto todos los métodos que entran en el marco del GDM (elementos finitos conformes y no conformes, elementos finitos mixtos, diferencias finitas miméticas...) heredan estas propiedades de convergencia.
El método de volumen finito es una técnica numérica para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales en forma de ecuaciones algebraicas [LeVeque, 2002; Toro, 1999]. De manera similar al método de diferencias finitas o al método de elementos finitos , los valores se calculan en lugares discretos en una geometría en malla. El "volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla. En el método de volumen finito, las integrales de volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de superficie , utilizando el teorema de divergencia . Luego, estos términos se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que ingresa a un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos son conservadores . Otra ventaja del método de volumen finito es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas. El método se utiliza en muchos paquetes de dinámica de fluidos computacional .
Los métodos espectrales son técnicas que se utilizan en matemáticas aplicadas y computación científica para resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales , que a menudo implican el uso de la transformada rápida de Fourier . La idea es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas "funciones base" (por ejemplo, como una serie de Fourier , que es una suma de senos ) y luego elegir los coeficientes en la suma que mejor satisfagan la ecuación diferencial.
Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos están estrechamente relacionados y se basan en las mismas ideas; la principal diferencia entre ellos es que los métodos espectrales utilizan funciones base que no son cero en todo el dominio, mientras que los métodos de elementos finitos utilizan funciones base que no son cero solo en pequeños subdominios. En otras palabras, los métodos espectrales adoptan un enfoque global mientras que los métodos de elementos finitos utilizan un enfoque local . En parte por esta razón, los métodos espectrales tienen excelentes propiedades de error, siendo la llamada "convergencia exponencial" la más rápida posible, cuando la solución es suave . Sin embargo, no se conocen resultados de captura de choque espectral de dominio único tridimensional . [13] En la comunidad de elementos finitos, un método donde el grado de los elementos es muy alto o aumenta a medida que el parámetro de cuadrícula h disminuye a cero a veces se denomina método de elementos espectrales .
Los métodos sin malla no requieren una malla que conecte los puntos de datos del dominio de simulación. [14] Los métodos sin malla permiten la simulación de algunos tipos de problemas que de otro modo serían difíciles, a costa de tiempo de computación y esfuerzo de programación adicionales.
Los métodos de descomposición de dominios resuelven un problema de valor límite dividiéndolo en problemas de valor límite más pequeños en subdominios e iterándolos para coordinar la solución entre subdominios adyacentes. Se utiliza un problema básico con una o pocas incógnitas por subdominio para coordinar aún más la solución entre los subdominios globalmente. Los problemas en los subdominios son independientes, lo que hace que los métodos de descomposición de dominios sean adecuados para la computación paralela . Los métodos de descomposición de dominios se utilizan normalmente como preacondicionadores para los métodos iterativos del espacio de Krylov , como el método del gradiente conjugado o GMRES .
En los métodos de descomposición de dominios superpuestos, los subdominios se superponen en una proporción mayor que la interfaz. Los métodos de descomposición de dominios superpuestos incluyen el método alterno de Schwarz y el método aditivo de Schwarz . Muchos métodos de descomposición de dominios se pueden escribir y analizar como un caso especial del método aditivo abstracto de Schwarz .
En los métodos que no se superponen, los subdominios se intersecan solo en su interfaz. En los métodos primarios, como la descomposición de dominios de equilibrio y BDDC , la continuidad de la solución a lo largo de la interfaz del subdominio se aplica representando el valor de la solución en todos los subdominios vecinos por la misma incógnita. En los métodos duales, como FETI , la continuidad de la solución a lo largo de la interfaz del subdominio se aplica mediante multiplicadores de Lagrange . El método FETI-DP es un híbrido entre un método dual y uno primario.
Los métodos de descomposición de dominios no superpuestos también se denominan métodos de subestructuración iterativa .
Los métodos de mortero son métodos de discretización para ecuaciones diferenciales parciales que utilizan discretización separada en subdominios que no se superponen. Las mallas de los subdominios no coinciden en la interfaz y la igualdad de la solución se aplica mediante multiplicadores de Lagrange, elegidos con criterio para preservar la precisión de la solución. En la práctica de ingeniería en el método de elementos finitos, la continuidad de las soluciones entre subdominios que no coinciden se implementa mediante restricciones de puntos múltiples.
Las simulaciones de elementos finitos de modelos de tamaño moderado requieren la resolución de sistemas lineales con millones de incógnitas. El tiempo medio de ejecución secuencial es de varias horas por paso de tiempo, por lo que es necesario realizar cálculos en paralelo. Los métodos de descomposición de dominios incorporan un gran potencial para la paralelización de los métodos de elementos finitos y sirven de base para los cálculos distribuidos y en paralelo.
Los métodos multigrid (MG) en análisis numérico son un grupo de algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales utilizando una jerarquía de discretizaciones . Son un ejemplo de una clase de técnicas llamadas métodos multirresolución , muy útiles en (pero no limitados a) problemas que exhiben múltiples escalas de comportamiento. Por ejemplo, muchos métodos básicos de relajación exhiben diferentes tasas de convergencia para componentes de longitud de onda corta y larga, lo que sugiere que estas diferentes escalas se traten de manera diferente, como en un enfoque de análisis de Fourier para multigrid. [15] Los métodos MG se pueden utilizar como solucionadores y preacondicionadores .
La idea principal de la multimalla es acelerar la convergencia de un método iterativo básico mediante una corrección global de vez en cuando, lograda mediante la resolución de un problema básico . Este principio es similar a la interpolación entre mallas más gruesas y más finas. La aplicación típica de la multimalla es la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas en dos o más dimensiones. [16]
Los métodos multigrid se pueden aplicar en combinación con cualquiera de las técnicas de discretización comunes. Por ejemplo, el método de elementos finitos puede reformularse como un método multigrid. [17] En estos casos, los métodos multigrid se encuentran entre las técnicas de solución más rápidas conocidas en la actualidad. A diferencia de otros métodos, los métodos multigrid son generales en el sentido de que pueden tratar regiones arbitrarias y condiciones de contorno . No dependen de la separabilidad de las ecuaciones u otras propiedades especiales de la ecuación. También se han utilizado ampliamente para sistemas de ecuaciones no simétricos y no lineales más complicados, como el sistema de elasticidad de Lamé o las ecuaciones de Navier-Stokes . [18]
El método de diferencias finitas suele considerarse el más sencillo de aprender y utilizar. Los métodos de elementos finitos y de volúmenes finitos se utilizan ampliamente en ingeniería y en dinámica de fluidos computacional , y son muy adecuados para problemas en geometrías complicadas. Los métodos espectrales suelen ser los más precisos, siempre que las soluciones sean lo suficientemente uniformes.
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