Partícula en un potencial esféricamente simétrico.

Modelo mecánico cuántico

Orbitales atómicos del hidrógeno de diferentes niveles de energía. Las áreas más opacas son donde es más probable encontrar un electrón en un momento dado.

En mecánica cuántica , un potencial esféricamente simétrico es un sistema cuyo potencial sólo depende de la distancia radial al centro esférico y de una ubicación en el espacio. Una partícula en un potencial esféricamente simétrico se comportará de acuerdo con dicho potencial y, por tanto, puede usarse como una aproximación, por ejemplo, del electrón en un átomo de hidrógeno o de la formación de enlaces químicos . ^[1]

En el caso general independiente del tiempo, la dinámica de una partícula en un potencial esféricamente simétrico se rige por un hamiltoniano de la siguiente forma:

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({r})}$$

operador de momentomagnitud del vector ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle V(r)}$

Para describir una partícula en un sistema esféricamente simétrico, es conveniente utilizar coordenadas esféricas ; denotado por , y . La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el sistema es entonces una ecuación diferencial parcial separable . Esto significa que las soluciones a las dimensiones angulares de la ecuación se pueden encontrar independientemente de la dimensión radial. Esto deja una ecuación diferencial ordinaria en términos únicamente del radio, que determina los estados propios para el potencial particular ,. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V(r)}$

Estructura de las funciones propias.

Si se resuelve por separación de variables , los estados propios del sistema tendrán la forma:

$${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}$$

ángulos esféricospolarazimutalarmónicos esféricosfunciones propias ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}$$

La ecuación diferencial que caracteriza a la función se llama ecuación radial . ${\displaystyle R(r)}$

Derivación de la ecuación radial.

El operador de energía cinética en coordenadas polares esféricas es:

$${\displaystyle {\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}\,r^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\hat {L}}^{2}\right].}$$

armónicos esféricos

$${\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\equiv \left\{-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}$$

ecuación de Schrödinger

$${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}R+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(r)\right]R=0.}$$

${\displaystyle R(r)=u(r)/r}$ ${\displaystyle u(r)}$

$${\displaystyle {d^{2}u \over dr^{2}}+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V_{\mathrm {eff} }(r)\right]u=0}$$

$${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}},}$$

Vrtérmino de barrera centrífuga ${\displaystyle r\in [0,\infty )}$

Si , entonces cerca del origen, . ${\textstyle \lim _{r\to 0}r^{2}V(r)=0}$ ${\displaystyle R\sim r^{\ell }}$

Hamiltonianos esféricamente simétricos

Dado que el hamiltoniano es esféricamente simétrico, se dice que es invariante bajo rotación, es decir:

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)={\hat {H}}}$

Dado que los operadores de momento angular son generadores de rotación, aplicando el lema de Baker-Campbell-Hausdorff obtenemos:

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)=e^{\frac {i{\hat {n}}\cdot {\vec {L}}\theta }{\hbar }}{\hat {H}}e^{\frac {-i{\hat {n}}\cdot {\vec {L}}\theta }{\hbar }}={\hat {H}}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}\right]+{\frac {1}{2!}}\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}\right)^{2}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}\right]\right]+\cdots ={\hat {H}}}$

Dado que esta ecuación es válida para todos los valores de , obtenemos que , o que cada componente del momento angular conmuta con el hamiltoniano. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}]=0}$

Dado que y son operadores que se conmutan entre sí y que también conmutan con el hamiltoniano, las funciones de onda se pueden expresar como o donde se usa para etiquetar diferentes funciones de onda. ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle |\alpha ;\ell ,m\rangle }$ ${\displaystyle \psi _{\alpha ;\ell ,m}(r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Dado que también conmuta con el hamiltoniano, los valores propios de energía en tales casos son siempre independientes de . ${\textstyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\hat {H}}|\alpha ;\ell ,m\rangle =E_{\alpha ;\ell }|\alpha ;\ell ,m\rangle }$$

Combinado con el hecho de que los operadores diferenciales solo actúan sobre las funciones de y , muestra que si se supone que las soluciones son separables como , la función de onda radial siempre se puede elegir independientemente de los valores. Así, la función de onda se expresa como: ^[2] ${\textstyle L_{\pm }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle R(r)}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \psi _{\alpha ;\ell ,m}(r,\theta ,\phi )=R(r)_{\alpha ;\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}$$

Soluciones para potenciales de interés

Hay cinco casos de especial importancia:

1. ${\displaystyle V(r)=0}$, o resolviendo el vacío en base a armónicos esféricos, que sirve de base para otros casos.
2. ${\displaystyle V(r)=V_{0}}$(finito) para y cero en otros lugares. ${\displaystyle r<r_{0}}$
3. ${\displaystyle V(r)=0}$para e infinito en otros lugares, el equivalente esférico del pozo cuadrado , útil para describir estados ligados en un núcleo o punto cuántico. ${\displaystyle r<r_{0}}$
4. ${\displaystyle V(r)\propto r^{2}}$para el oscilador armónico isotrópico tridimensional.
5. ${\displaystyle V(r)\propto {\frac {1}{r}}}$describir estados unidos de átomos similares al hidrógeno .

En estos casos se esbozan las soluciones, que conviene comparar con sus homólogos en coordenadas cartesianas , cf. partícula en una caja .

Estados de la caja de vacío

Consideremos ahora . Introduciendo las variables adimensionales ${\displaystyle V(r)=0}$

$${\displaystyle \rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr,\qquad k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E \over \hbar ^{2}}},}$$

${\displaystyle J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)}$

$${\displaystyle \rho ^{2}{\frac {d^{2}J}{d\rho ^{2}}}+\rho {\frac {dJ}{d\rho }}+\left[\rho ^{2}-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0}$$

funciones de Bessel del primer tipo,función de Bessel esférica ${\displaystyle J_{\ell +1/2}(\rho )}$ ${\displaystyle R(r)}$

${\textstyle R(r)=j_{l}(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{\ell +1/2}(kr)}$.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares en el vacío están etiquetadas por tres números cuánticos: índices discretos ℓ y m , y k que varían continuamente en : ${\displaystyle [0,\infty )}$

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=j_{\ell }(kr)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$

Esfera con potencial finito "cuadrado"

Considere el potencial para y en otros lugares, es decir, dentro de una esfera de radio el potencial es igual a y es cero fuera de la esfera. Un potencial con una discontinuidad finita se llama potencial cuadrado. ^[3] ${\displaystyle V(r)=V_{0}}$ ${\displaystyle r<r_{0}}$ ${\displaystyle V(r)=0}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Primero consideramos los estados ligados, es decir, estados que muestran la partícula mayoritariamente dentro de la caja (estados confinados). Aquellos tienen una energía menor que el potencial fuera de la esfera, es decir, tienen energía negativa. También vale la pena señalar que, a diferencia del potencial de Coulomb, que presenta un número infinito de estados ligados discretos, el pozo cuadrado esférico solo tiene un número finito (si es que tiene alguno) debido a su rango finito. ${\displaystyle E}$

La resolución esencialmente sigue la del caso del vacío anterior con la normalización de la función de onda total agregada, resolviendo dos ecuaciones de Schrödinger (dentro y fuera de la esfera) del tipo anterior, es decir, con potencial constante. Las siguientes restricciones deben cumplirse para una función de onda física normalizable:

1. La función de onda debe ser regular en el origen.
2. La función de onda y su derivada deben ser continuas en la discontinuidad potencial.
3. La función de onda debe converger en el infinito.

La primera restricción proviene del hecho de que las funciones de Neumann y Hankel son singulares en el origen. El requisito físico que debe definirse en todas partes seleccionó la función de Bessel del primer tipo sobre las otras posibilidades en el caso del vacío. Por lo mismo la solución será de este tipo dentro de la esfera: ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle R(r)=Aj_{\ell }\left({\sqrt {\frac {2m_{0}(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r<r_{0}.}$$

función de Hankel ${\displaystyle V_{0}<E<0}$ ${\displaystyle E<0}$

$${\displaystyle R(r)=Bh_{\ell }^{(1)}\left(i{\sqrt {\frac {-2m_{0}E}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r>r_{0}}$$

derivada logarítmica ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Esfera con potencial infinito "cuadrado"

En el caso de que el pozo de potencial sea infinitamente profundo, de modo que podamos tomar el interior y el exterior de la esfera, el problema es hacer coincidir la función de onda dentro de la esfera (las funciones esféricas de Bessel ) con una función de onda idénticamente cero fuera de la esfera. Las energías permitidas son aquellas para las cuales la función de onda radial desaparece en el límite. Por tanto, utilizamos los ceros de las funciones esféricas de Bessel para encontrar el espectro de energía y las funciones de onda. Llamando al k ^ésimo cero de , tenemos: ${\displaystyle V_{0}=0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle u_{\ell ,k}}$ ${\displaystyle j_{\ell }}$

$${\displaystyle E_{kl}={\frac {u_{\ell ,k}^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}}$$

${\displaystyle u_{\ell ,k}}$

En el caso especial (orbitales simétricos esféricos), la función de Bessel esférica es , cuyos ceros se pueden dar fácilmente como . Sus valores propios de energía son así: ${\displaystyle \ell =0}$ ${\textstyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle u_{0,k}=k\pi }$

$${\displaystyle E_{k0}={\frac {(k\pi )^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}={\frac {k^{2}h^{2}}{8m_{0}r_{0}^{2}}}}$$

Oscilador armónico isotrópico 3D

El potencial de un oscilador armónico isotrópico 3D es

$${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}.}$$

oscilador armónico isotrópico de N

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {N}{2}}\right)\quad {\text{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=3}$

$${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}}+{\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega \left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\right]u(r)=0.}$$

Presentando

$${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }}}$$

${\displaystyle u(r)=rR(r)}$

$${\displaystyle R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}),}$$

polinomio de Laguerre generalizado ${\displaystyle L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})}$ ${\displaystyle yr^{2}}$ ${\displaystyle k}$

La constante de normalización es, ${\displaystyle N_{nl}}$

$${\displaystyle N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!\;\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}{(n+\ell +1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}.}$$

La función propia está asociada con la energía , donde ${\displaystyle R_{nl}(r)}$ ${\displaystyle E_{n}}$

$${\displaystyle \ell =n,n-2,\ldots ,\ell _{\min }\quad {\text{with}}\quad \ell _{\min }={\begin{cases}1&{\text{if}}~n~{\text{odd}}\\0&{\text{if}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$$

oscilador armónico cuántico ${\displaystyle \gamma =2\nu }$

Derivación

Primero transformamos la ecuación radial mediante algunas sustituciones sucesivas a la ecuación diferencial generalizada de Laguerre, que tiene soluciones conocidas: las funciones generalizadas de Laguerre. Luego normalizamos las funciones de Laguerre generalizadas a la unidad. Esta normalización es con el elemento de volumen habitual r ² d r .

Primero escalamos la coordenada radial.

$${\displaystyle y={\sqrt {\gamma }}r\quad {\text{with}}\quad \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }},}$$

$${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-y^{2}+2n+3\right]v(y)=0}$$

${\textstyle v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)}$

La consideración del comportamiento límite de v ( y ) en el origen y en el infinito sugiere la siguiente sustitución de v ( y ) ,

$${\displaystyle v(y)=y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}f(y).}$$

$${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+2\left({\frac {\ell +1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2\ell \right]f(y)=0,}$$

y ${\displaystyle y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}}$

Transformación a polinomios de Laguerre

Si se utiliza la sustitución , y los operadores diferenciales se convierten en ${\displaystyle x=y^{2}}$ ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}},}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}.}$$

La expresión entre corchetes multiplicando se convierte en la ecuación diferencial que caracteriza la ecuación generalizada de Laguerre (ver también la ecuación de Kummer ): ${\displaystyle f(y)}$

$${\displaystyle x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)+1-x\right){\frac {dg}{dx}}+{\frac {1}{2}}(n-\ell )g(x)=0}$$

${\displaystyle g(x)\equiv f({\sqrt {x}})}$

Siempre que sea un número entero no negativo, las soluciones de estas ecuaciones son polinomios de Laguerre generalizados (asociados) ${\displaystyle k\equiv (n-\ell )/2}$

$${\displaystyle g(x)=L_{k}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(x).}$$

De las condiciones en adelante se sigue: (i) y (ii) y son ambos impares o pares. Esto lleva a la condición dada anteriormente. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\geq \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

Recuperación de la función de onda radial normalizada.

Recordando eso , obtenemos la solución radial normalizada: ${\displaystyle u(r)=rR(r)}$

$${\displaystyle R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}).}$$

La condición de normalización para la función de onda radial es:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}|R(r)|^{2}\,dr=1.}$$

Sustituyendo , se obtiene y la ecuación queda: ${\displaystyle q=\gamma r^{2}}$ ${\displaystyle dq=2\gamma r\,dr}$

$${\displaystyle {\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\int _{0}^{\infty }q^{\ell +{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(q)\right]^{2}\,dq=1.}$$

Al hacer uso de las propiedades de ortogonalidad de los polinomios de Laguerre generalizados , esta ecuación se simplifica a:

$${\displaystyle {\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\cdot {\frac {\Gamma {\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell +1)+1\right]}}{\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!}}=1.}$$

Por tanto, la constante de normalización se puede expresar como:

$${\displaystyle N_{n\ell }={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}\,\left({\frac {n-\ell }{2}}\right)!}{\Gamma {\left({\frac {n+\ell }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}}}}$$

Se pueden derivar otras formas de la constante de normalización utilizando propiedades de la función gamma , teniendo en cuenta que y tienen la misma paridad. Esto significa que siempre es par, por lo que la función gamma queda: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n+l}$

$${\displaystyle \Gamma \left[{\frac {1}{2}}+\left({\frac {n+\ell }{2}}+1\right)\right]={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!!}{2^{{\frac {n+\ell }{2}}+1}}}={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!}{2^{n+\ell +1}\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}},}$$

doble factorial

$${\displaystyle N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{3 \over 2}}\left[{1 \over 2}(n-\ell )\right]!\left[{1 \over 2}(n+\ell )\right]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+\ell +1)!}}\right]^{1 \over 2}={\sqrt {2}}\left({\frac {\gamma }{\pi }}\right)^{1 \over 4}\,({2\gamma })^{\ell \over 2}\,{\sqrt {\frac {2\gamma (n-\ell )!!}{(n+\ell +1)!!}}}.}$$

Átomos similares al hidrógeno

Un átomo hidrógeno (similar al hidrógeno) es un sistema de dos partículas que consta de un núcleo y un electrón. Las dos partículas interactúan mediante el potencial dado por la ley de Coulomb :

$${\displaystyle V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}}$$

• ε ₀ es la permitividad del vacío,
• Z es el número atómico ( eZ es la carga del núcleo),
• e es la carga elemental (carga del electrón),
• r es la distancia entre el electrón y el núcleo.

Para simplificar la ecuación de Schrödinger, introducimos las siguientes constantes que definen la unidad atómica de energía y longitud:

$${\displaystyle E_{\textrm {h}}=\mu \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}\quad {\text{and}}\quad a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}.}$$

¿Dónde está la masa reducida en el límite? Sustituya y en la ecuación radial de Schrödinger dada anteriormente. Esto da una ecuación en la que todas las constantes naturales están ocultas, ${\displaystyle \mu \approx m_{e}}$ ${\displaystyle m_{e}\ll m_{nucleus}}$ ${\displaystyle y=Zr/a_{0}}$ ${\displaystyle W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})}$

$${\displaystyle \left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{\ell }=Wu_{\ell }.}$$

(i) es negativo, las funciones propias correspondientes son integrables al cuadrado y los valores de están cuantificados (espectro discreto). ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

(ii) no es negativo, cada valor real no negativo de está físicamente permitido (espectro continuo), las funciones propias correspondientes no son integrables al cuadrado. Considerar solo soluciones de clase (i) restringe las soluciones a funciones de onda que son estados ligados , en contraste con las soluciones de clase (ii) que se conocen como estados de dispersión . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Para soluciones de clase (i) con W negativo, la cantidad es real y positiva. La escala de , es decir, la sustitución de da la ecuación de Schrödinger: ${\displaystyle \alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\equiv \alpha y}$

$${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{\ell }=0,\quad {\text{with }}x\geq 0.}$$

Porque las potencias inversas de x son insignificantes y la solución normalizable (y por lo tanto física) para grandes es . De manera similar, para el cuadrado inverso domina la potencia y la solución física para pequeño es x ^{ℓ +1} . Por lo tanto, para obtener una solución de rango completo sustituimos ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exp[-x/2]}$ ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle u_{l}(x)=x^{\ell +1}e^{-x/2}f_{\ell }(x).}$$

La ecuación para se convierte en, ${\displaystyle f_{l}(x)}$

$${\displaystyle \left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2\ell +2-x){\frac {d}{dx}}+(n-\ell -1)\right]f_{\ell }(x)=0\quad {\text{with}}\quad n=(-2W)^{-1/2}={\frac {2}{\alpha }}.}$$

Siempre que sea un número entero no negativo, esta ecuación tiene soluciones polinómicas escritas como ${\displaystyle n-\ell -1}$

$${\displaystyle L_{k}^{(2\ell +1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots ,}$$

polinomios ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle W=-{\frac {1}{2n^{2}}}\quad {\text{with}}\quad n\equiv k+\ell +1.}$$

El número cuántico principal satisface . Dado que , la función de onda radial total es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq \ell +1}$ ${\displaystyle \alpha =2/n}$

$${\displaystyle R_{n\ell }(r)={\frac {u(r)}{r}}=N_{n\ell }\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{\ell }\;e^{-{\tfrac {Zr}{na_{0}}}}\;L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right),}$$

${\textstyle {\frac {1}{r}}}$

$${\displaystyle N_{n\ell }=\left[\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}\right]^{1 \over 2},}$$

^[4]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2\ell +2}e^{-x}\left[L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)\right]^{2}dx={\frac {2n(n+\ell )!}{(n-\ell -1)!}}.}$$

La energía correspondiente es

$${\displaystyle E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}},\qquad n=1,2,\ldots .}$$

Referencias

1. Rüdenberg, Klaus; Schmidt, Michael W. (12 de marzo de 2009). "Comprensión física mediante razonamiento variacional: intercambio de electrones y enlace covalente". La Revista de Química Física A. 113 (10): 1954-1968. doi :10.1021/jp807973x. ISSN  1089-5639. PMID  19228050.
2. Littlejohn, Robert G. "Física 221A: movimiento de fuerza central" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 8 de diciembre de 2023 . Consultado el 18 de febrero de 2024 .
3. A. Mesías, Mecánica cuántica , vol. Yo, pág. 78, Compañía Editorial de Holanda Septentrional, Ámsterdam (1967). Traducción del francés por GM Temmer
4. H. Margenau y GM Murphy, Las matemáticas de la física y la química , Van Nostrand, 2.ª edición (1956), pág. 130. Tenga en cuenta que la convención del polinomio de Laguerre en este libro difiere de la actual. Si indicamos al Laguerre en la definición de Margenau y Murphy con una barra arriba, tenemos . ${\displaystyle {\bar {L}}_{n+k}^{(k)}=(-1)^{k}(n+k)!L_{n}^{(k)}}$