parcela de Southwell

Método gráfico para determinar la carga crítica de una estructura.

Gráfico de Southwell construido a partir de una línea recta ajustada a puntos de datos experimentales.

El diagrama de Southwell es un método gráfico para determinar experimentalmente la carga crítica de una estructura , sin necesidad de someter la estructura a cargas casi críticas. ^[1] La técnica se puede utilizar para ensayos no destructivos de cualquier elemento estructural que pueda fallar por pandeo . ^[2]

Carga crítica

Parcela de Southwell.

Considere una viga simplemente apoyada bajo una carga de compresión P. La ecuación diferencial de equilibrio es

${\displaystyle {\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(v-v^{o})=0}$, ${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {P}{EI}}}$

donde v ^o es la deflexión inicial y las condiciones de contorno son

${\displaystyle v(0)=v^{''}(0)=v(L)=v^{''}(L)=0}$

Suponiendo que la forma desviada se puede expresar como una serie de Fourier

${\displaystyle v^{o}(x)=\sum _{1}^{\infty }v_{n}^{o}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$, ${\displaystyle v(x)=\sum _{1}^{\infty }v_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

Luego, después de sustituir en la ecuación diferencial,

${\displaystyle v(x)=\sum _{1}^{\infty }{\frac {v_{n}^{o}}{P_{n}/P-1}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$, ${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}$

Esto relaciona la forma desviada con las imperfecciones iniciales y la carga aplicada. Específicamente, en x = L /2,

${\displaystyle v(L/2)=V_{1}-V_{3}+V_{5}+...}$, ${\displaystyle V_{n}={\frac {v_{n}^{o}}{P_{n}/P-1}}}$

A medida que P se aproxima a P ₁ , v ( L /2) está dominado por V ₁ . Por lo tanto, cuando P P ₁ , entonces dominará el modo fundamental, lo que resultará en ${\displaystyle \approx }$

${\displaystyle v=V_{1}={\frac {v_{1}^{o}}{P_{1}/P-1}}or{\frac {v}{P}}={\frac {v}{P_{c}}}+{\frac {v_{i}^{o}}{P_{c}}}}$

Southwell traza v / P contra v y obtiene P ₁ = P _crítico = P _c a partir de la pendiente del gráfico de línea recta predicho. ^[3]

Este análisis se realizó para un punto específico en una viga simplemente apoyada , pero el concepto puede extenderse a estructuras arbitrarias. Con cualquier problema cuyo análogo matemático sea la misma ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden que el anterior, con condiciones de contorno similares, el primer valor propio del problema homogéneo asociado se puede obtener a partir de la pendiente del gráfico. Por lo tanto, se puede elegir un punto de gran deflexión y no es necesario que sea el centro de una viga simplemente apoyada. ^[3]

Representación esquemática de una columna elástica que muestra pandeo por flexión “clásico” bajo carga axial P. El desplazamiento lateral u se mide (en relación con la configuración inicial, posiblemente torcida) cerca de un lugar donde el desplazamiento modal es máximo.

Aplicaciones

Estrictamente hablando, el diagrama de Southwell es aplicable sólo a estructuras con una trayectoria neutral posterior al pandeo. Inicialmente creado para problemas de estabilidad en el pandeo de columnas, el método de Southwell también se ha utilizado para determinar cargas críticas en experimentos de pandeo de pórticos y placas.

El método es particularmente útil para pruebas de campo de estructuras que probablemente resulten dañadas al aplicar cargas cercanas a la carga crítica y más allá, como columnas de hormigón armado o materiales compuestos avanzados . ^[2] El método también puede minimizar los efectos parásitos en experimentos y proporcionar valores más cercanos a los valores teóricamente esperados. Por ejemplo, en un experimento real es imposible reproducir perfectamente cualquier condición de contorno teórica. Además, los resultados de las pruebas de compresión pueden ser muy sensibles a las imperfecciones y a las condiciones límite reales. Por lo tanto, la carga crítica medida durante el experimento puede ser muy diferente de lo previsto. ^[3]

Referencias

1. Mandal, P. y Calladine, C. (2002). Pandeo lateral-torsional de vigas y trazado de Southwell. Revista Internacional de Ciencias Mecánicas, 44(12), 2557-2571. doi:10.1016/s0020-7403(02)00192-3
2. Estabilidad de estructuras: temas adicionales. (Dakota del Norte). Obtenido el 20 de noviembre de 2016 de http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/IAST.Lect26.d/IAST.Lect26.pdf
3. Experimento 2.5: Estabilidad de estructuras. (Dakota del Norte). Obtenido el 20 de noviembre de 2016 de https://mycourses.purdue.edu/bbcswebdav/pid-7803100-dt-content-rid-31348241_1/courses/wl_10033.201710/Lab 5 manual.pdf