Angulo paraláctico

En astronomía esférica , el ángulo paraláctico es el ángulo entre el círculo máximo que pasa por un objeto celeste y el cenit , y el círculo horario del objeto. ^[1] Generalmente se denota q . En el triángulo cenit—objeto—polo celeste, el ángulo paraláctico será el ángulo de posición del cenit en el objeto celeste. A pesar de su nombre, este ángulo no está relacionado con la paralaje . El ángulo paraláctico es cero o 180° cuando el objeto cruza el meridiano .

Usos

Para los observatorios terrestres, la atmósfera de la Tierra actúa como un prisma que dispersa la luz de diferentes longitudes de onda de modo que una estrella genera un arco iris a lo largo de la dirección que apunta al cenit. Por lo tanto, dada una imagen astronómica con un sistema de coordenadas con una dirección conocida hacia el polo celeste , el ángulo paraláctico representa la dirección de ese efecto prismático en relación con esa dirección de referencia. El conocimiento de ese ángulo es necesario para alinear los correctores de dispersión atmosférica con el eje del haz del telescopio ^{[2] [3]}

Dependiendo del tipo de montura del telescopio , este ángulo también puede afectar la orientación del disco del objeto celeste como se ve en un telescopio. Con una montura ecuatorial , los puntos cardinales del disco del objeto celeste están alineados con la dirección vertical y horizontal de la vista en el telescopio. Con una montura altazimutal , esas direcciones se rotan por la cantidad del ángulo paraláctico. ^[4] Los puntos cardinales a los que se hace referencia aquí son los puntos en el limbo ubicados de tal manera que una línea desde el centro del disco a través de ellos apuntará a uno de los polos celestes o a 90° de distancia de ellos; estos no son los puntos cardinales definidos por el eje de rotación del objeto.

La orientación del disco de la Luna, en relación con el horizonte , cambia a lo largo de su movimiento diurno y el ángulo paraláctico cambia de manera equivalente. ^[5] Esto también ocurre con otros objetos celestes.

En una efeméride , se puede tabular el ángulo de posición del punto medio del limbo brillante de la Luna o los planetas, y los ángulos de posición de sus polos norte . Si este ángulo se mide desde el punto norte del limbo, se puede convertir en un ángulo medido desde el punto cenital (el vértice) visto por un observador restando el ángulo paraláctico. ^[5] El ángulo de posición del limbo brillante está directamente relacionado con el del punto subsolar .

Derivación

El álgebra vectorial para derivar la fórmula estándar es equivalente al cálculo de la derivación larga para el rumbo de la brújula. El signo del ángulo se mantiene básicamente, norte sobre este en ambos casos, pero como los astrónomos observan las estrellas desde el interior de la esfera celeste, la definición utiliza la convención de que la q es el ángulo en una imagen que gira la dirección hacia el NCP en sentido antihorario hacia la dirección del cenit.

En el sistema ecuatorial de ascensión recta, α , y declinación, δ , la estrella está en

${\displaystyle \mathbf {s} =\left({\begin{array}{c}\cos \delta \cos \alpha \\\cos \delta \sin \alpha \\\sin \delta \end{array}}\right).}$

El Polo Norte Celeste está en

${\displaystyle \mathbf {N} =\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

En este mismo sistema de coordenadas, el cenit se encuentra insertando la altitud, a=π/2 , cos a=0 , en las fórmulas de transformación para obtener

${\displaystyle \mathbf {z} =\left({\begin{array}{c}\cos \varphi \cos l\\\cos \varphi \sin l\\\sin \varphi \end{array}}\right),}$

donde φ es la latitud geográfica del observador y l la hora sideral local.

Esto también describe un marco de coordenadas de observador giratorio, de mano derecha, con el eje X alineado al Sur, donde el Meridiano local intersecta el horizonte, el eje Y hacia el horizonte Este, y el eje Z hacia el Cenit. Este es el marco de coordenadas en el que se miden la altitud y el acimut. Para la estrella, en algún momento, l , con altitud esperada, a , define su distancia cenital como z=π/2-a . Su ángulo horario, , mide el intervalo de tiempo sideral transcurrido desde que la estrella cruzó el Meridiano local; negativo si la estrella está al Este del Meridiano y su cruce está pendiente. ${\displaystyle h=l-\alpha }$

El producto vectorial normalizado es el eje de rotación que gira la estrella en la dirección del cenit:

${\displaystyle \mathbf {\omega } _{z}={\frac {1}{\sin z}}\mathbf {s} \times \mathbf {z} ={\frac {1}{\sin z}}\left({\begin{array}{c}\cos \delta \sin \alpha \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \sin l\\-\cos \delta \cos \alpha \sin \varphi +\sin \delta \cos \varphi \cos l\\\cos \delta \cos \varphi \sin(\alpha -l)\end{array}}\right).}$

Finalmente, ω _z × s es el tercer eje del sistema de coordenadas inclinado y la dirección en la que se mueve la estrella en el círculo máximo hacia el cenit.

El plano tangente a la esfera celeste en la estrella está abarcado por los vectores unitarios al norte,

${\displaystyle \mathbf {u} _{\delta }=\left({\begin{array}{c}-\sin \delta \cos \alpha \\-\sin \delta \sin \alpha \\\cos \delta \end{array}}\right),}$

y al este

${\displaystyle \mathbf {u} _{\alpha }=\left({\begin{array}{c}-\sin \alpha \\\cos \alpha \\0\end{array}}\right).}$

Estos son ortogonales:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\delta }\cdot \mathbf {u} _{\alpha }=0;\quad \mathbf {u} _{\delta }^{2}=\mathbf {u} _{\alpha }^{2}=1.}$

El ángulo paraláctico q es el ángulo de la sección inicial del círculo máximo en s , al este del norte, ^[6]

${\displaystyle \omega _{z}\times \mathbf {s} =\cos q\,\mathbf {u} _{\delta }+\sin q\,\mathbf {u} _{\alpha }.}$

${\displaystyle \cos q=(\omega _{z}\times \mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{\delta }={\frac {1}{\sin z}}(\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h),}$

${\displaystyle \sin q=(\omega _{z}\times \mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{\alpha }={\frac {1}{\sin z}}\sin h\cos \varphi .}$

(La fórmula anterior es la fórmula del seno de la trigonometría esférica . ^[7] ) Los valores de sen z y de cos φ son positivos, por lo que utilizando funciones atan2 se pueden dividir ambas expresiones por estos sin perder signos; eventualmente

${\displaystyle \tan q={\frac {\sin h\cos \varphi }{\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h}}={\frac {\sin h}{\cos \delta \tan \varphi -\sin \delta \cos h}}}$

produce el ángulo en el rango completo -π ≤ q ≤ π . La ventaja de esta expresión es que no depende de las diversas convenciones de compensación del acimut, A ; la compensación indiscutible del ángulo horario, h , se encarga de esto.

Para un objetivo sideral, por definición un objetivo donde δ y α no dependen del tiempo, el ángulo cambia con un período de un día sideral T _s . Los puntos indican las derivadas del tiempo; entonces el ángulo horario cambia como ^[8]

${\displaystyle {\dot {h}}={\frac {2\pi }{T_{s}}}}$

y la derivada temporal de la expresión tan q es ^[9]

${\displaystyle {\dot {q}}{\frac {1}{\cos ^{2}q}}={\frac {\cos \varphi [\cos h\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi ]}{(\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h)^{2}}}{\dot {h}};}$

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\cos \varphi [\cos h\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi ]}{\sin ^{2}z}}{\dot {h}}={\frac {\cos \varphi \cos a\cos A}{\sin ^{2}z}}{\dot {h}}={\frac {\cos \varphi \cos A}{\sin z}}{\dot {h}}.}$

El valor obtenido anteriormente siempre se refiere al Polo Norte Celeste como origen de coordenadas, incluso si éste no es visible (es decir, si el telescopio está al sur del Ecuador). Algunos autores introducen fórmulas más complicadas con signos variables para derivar ángulos similares para telescopios al sur del Ecuador que utilizan el Polo Sur Celeste como referencia. ^[10]

Véase también

• Libración
• Montura ecuatorial
• Montura altazimutal

Lectura adicional

• Taff, Laurence G. (1981). Astronomía esférica computacional . Wiley. Bibcode :1981csa..book.....T. ISBN 0471-873179.
• Karttunen, Hannu; Kröger, Pekka; Oja, Heikki; Poutanen, Markku; Donner, Karl Johan, eds. (1987). Astronomía Fundamental . Saltador. Código bibliográfico : 2003fuas.book.......K. ISBN 0-387-17264-5.

Referencias

1. "Glosario AIPS++". Associated Universities Inc., Washington, DC . Consultado el 21 de diciembre de 2009 .
2. Wynne, CG; Worswick, SP (1986). "Correctores de dispersión atmosférica en el foco Cassegrain". MNRAS . 220 (3): 657–670. Bibcode :1986MNRAS.220..657W. doi : 10.1093/mnras/220.3.657 .
3. Bahrami, M.; Concharov, Alexander V. (2011). "El diseño acromático de un corrector de dispersión atmosférica para telescopios extremadamente grandes". Optics Express . 19 (18): 17099–17113. Bibcode :2011OExpr..1917099B. doi : 10.1364/OE.19.017099 . hdl : 10379/10320 . PMID  21935071.
4. Meadows, Peter. "Observación solar: ángulo paraláctico" . Consultado el 15 de diciembre de 2009 .
5. Meeus, Jean (1998). Algoritmos astronómicos (Segunda ed.).
6. Newcomb, Simon (1906). Un compendio de astronomía esférica. Dover Publications. p. 133. Bibcode :1960csaw.book.....N.
7. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 4.3.149". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
8. Avila, G.; Wirenstrand, K. (1991). Rotaciones de campo y pupila para los telescopios unitarios de 8 m del VLT (PDF) . ESO.
9. Frey, Thomas G. (2011). "Análisis de la rotación de campo asociada a telescopios montados en altitud-azimut: el efecto potencial en las mediciones del ángulo de posición de las estrellas dobles" (PDF) . J. Double Star Obs . 7 (4): 216-226.
10. Woolard, Edgar W.; Clemens, Gerald M. (1966). Astronomía esférica . Academic Press. Bibcode :1966spas.book.....W. LCCN  65-26416.ecuación (27)