Parámetro de escala

Medida estadística

En teoría de probabilidad y estadística , un parámetro de escala es un tipo especial de parámetro numérico de una familia paramétrica de distribuciones de probabilidad . Cuanto mayor sea el parámetro de escala, más dispersa estará la distribución.

Definición

Si una familia de distribuciones de probabilidad es tal que hay un parámetro s (y otros parámetros θ ) para los cuales la función de distribución acumulativa satisface

${\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!}$

Entonces s se denomina parámetro de escala , ya que su valor determina la " escala " o dispersión estadística de la distribución de probabilidad. Si s es grande, entonces la distribución estará más dispersa; si s es pequeño, entonces estará más concentrada.

Animación que muestra los efectos de un parámetro de escala en una distribución de probabilidad apoyada en la línea real positiva.

Efecto de un parámetro de escala sobre una mezcla de dos distribuciones de probabilidad normales

Si la densidad de probabilidad existe para todos los valores del conjunto completo de parámetros, entonces la densidad (como función del parámetro de escala únicamente) satisface

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}$

donde f es la densidad de una versión estandarizada de la densidad, es decir . ${\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}$

Un estimador de un parámetro de escala se denomina estimador de escala.

Familias con parámetros de localización

En el caso en que una familia parametrizada tiene un parámetro de ubicación , a menudo se utiliza una definición ligeramente diferente, como se indica a continuación. Si denotamos el parámetro de ubicación por , y el parámetro de escala por , entonces requerimos que donde sea la cmd para la familia parametrizada. ^[1] Esta modificación es necesaria para que la desviación estándar de una gaussiana no central sea un parámetro de escala, ya que de lo contrario la media cambiaría cuando reescalamos . Sin embargo, esta definición alternativa no se utiliza de manera consistente. ^[2] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )}$ ${\displaystyle F(x,s,m,\theta )}$ ${\displaystyle x}$

Manipulaciones sencillas

Podemos escribir en términos de , de la siguiente manera: ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle g(x)=x/s}$

${\displaystyle f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).}$

Como f es una función de densidad de probabilidad, se integra a la unidad:

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.}$

Por la regla de sustitución del cálculo integral, tenemos entonces

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}$

Por lo que también está correctamente normalizado. ${\displaystyle f_{s}}$

Parámetro de tasa

Algunas familias de distribuciones utilizan un parámetro de tasa (o " parámetro de escala inverso "), que es simplemente el recíproco del parámetro de escala . Así, por ejemplo, la distribución exponencial con parámetro de escala β y densidad de probabilidad

${\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}$

podría escribirse de manera equivalente con el parámetro de velocidad λ como

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}$

Ejemplos

• La distribución uniforme se puede parametrizar con un parámetro de ubicación de y un parámetro de escala . ${\displaystyle (a+b)/2}$ ${\displaystyle |b-a|}$
• La distribución normal tiene dos parámetros: un parámetro de ubicación y un parámetro de escala . En la práctica, la distribución normal suele parametrizarse en términos de la escala al cuadrado , que corresponde a la varianza de la distribución. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• La distribución gamma generalmente se parametriza en términos de un parámetro de escala o su inverso. ${\displaystyle \theta }$
• Los casos especiales de distribuciones en los que el parámetro de escala es igual a la unidad pueden denominarse "estándar" en determinadas condiciones. Por ejemplo, si el parámetro de ubicación es igual a cero y el parámetro de escala es igual a uno, la distribución normal se conoce como distribución normal estándar y la distribución de Cauchy como distribución de Cauchy estándar .

Estimación

Se puede utilizar una estadística para estimar un parámetro de escala siempre que:

• Es invariante con respecto a la ubicación,
• Se escala linealmente con el parámetro de escala y
• Converge a medida que crece el tamaño de la muestra.

Varias medidas de dispersión estadística satisfacen estos requisitos. Para que el estadístico sea un estimador consistente del parámetro de escala, en general se debe multiplicar el estadístico por un factor de escala constante . Este factor de escala se define como el valor teórico del valor obtenido al dividir el parámetro de escala requerido por el valor asintótico del estadístico. Nótese que el factor de escala depende de la distribución en cuestión.

Por ejemplo, para utilizar la desviación absoluta mediana (DMA) para estimar la desviación estándar de la distribución normal , se debe multiplicar por el factor

${\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,}$

donde Φ ⁻¹ es la función cuantil (inversa de la función de distribución acumulativa ) para la distribución normal estándar. (Ver MAD para más detalles). Es decir, la MAD no es un estimador consistente para la desviación estándar de una distribución normal, pero 1.4826... MAD es un estimador consistente. De manera similar, la desviación absoluta promedio debe multiplicarse por aproximadamente 1.2533 para que sea un estimador consistente para la desviación estándar. Se requerirían diferentes factores para estimar la desviación estándar si la población no siguiera una distribución normal.

Véase también

• Tendencia central
• Estimador invariante
• Parámetro de ubicación
• Familia a escala de ubicación
• Spread que preserva la media
• Mezcla de escala
• Parámetro de forma
• Dispersión estadística

Referencias

1. Prokhorov, AV (7 de febrero de 2011). «Parámetro de escala». Enciclopedia de Matemáticas . Springer . Consultado el 7 de febrero de 2019 .
2. Koski, Timo. «Parámetro de escala». KTH Royal Institute of Technology . Consultado el 7 de febrero de 2019 .

Lectura adicional

• Mood, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "VII.6.2 Invariancia de escala ". Introducción a la teoría de la estadística (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.