paquete banach

En matemáticas , un fibrado de Banach es un fibrado vectorial cada una de cuyas fibras es un espacio de Banach , es decir, un espacio vectorial normado completo , posiblemente de dimensión infinita.

Definición de paquete de Banach

Sea M una variedad de Banach de clase C ^p con p ≥ 0, llamada espacio base ; sea ​​E un espacio topológico , llamado espacio total ; sea ​​π  : E → M un mapa continuo sobreyectivo . Supongamos que para cada punto x ∈ M , a la fibra E _x = π ⁻¹ ( x ) se le ha dado la estructura de un espacio de Banach. Dejar

${\displaystyle \{U_{i}|i\in I\}}$

ser una cubierta abierta de M . Supongamos también que para cada i ∈ I , existe un espacio de Banach X _i y un mapa τ _i

${\displaystyle \tau _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times X_{i}}$

tal que

• el mapa τ _i es un homeomorfismo que conmuta con la proyección sobre U _i , es decir, el siguiente diagrama conmuta :

y para cada x ∈ U _i el mapa inducido τ _ix en la fibra E _x

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X_{i}}$

es un mapa lineal continuo invertible , es decir, un isomorfismo en la categoría de espacios vectoriales topológicos ;

• Si U _i y U _j son dos miembros de la cubierta abierta, entonces el mapa

${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\to \mathrm {Lin} (X_{i};X_{j})}$

${\displaystyle x\mapsto (\tau _{j}\circ \tau _{i}^{-1})_{x}}$

es un morfismo (un mapa diferenciable de clase C ^p ), donde Lin( X ; Y ) denota el espacio de todos los mapas lineales continuos desde un espacio vectorial topológico X a otro espacio vectorial topológico Y.

La colección {( U _i , τ _i )| i ∈ I } se llama cobertura de trivialización para π  : E → M , y los mapas τ _i se llaman mapas de trivialización . Se dice que dos coberturas trivializantes son equivalentes si su unión vuelve a satisfacer las dos condiciones anteriores. Se dice que una clase de equivalencia de tales coberturas trivializantes determina la estructura de un paquete de Banach en π  : E → M .

Si todos los espacios X _i son isomorfos como espacios vectoriales topológicos, entonces se puede suponer que todos son iguales al mismo espacio X. En este caso, se dice que π  : E → M es un paquete de Banach con fibra X . Si M es un espacio conexo , entonces éste es necesariamente el caso, ya que el conjunto de puntos x ∈ M para los cuales existe una aplicación trivializante

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X}$

para un espacio dado X es a la vez abierto y cerrado .

En el caso de dimensión finita, la segunda condición anterior está implícita en la primera.

Ejemplos de paquetes de Banach

• Si V es cualquier espacio de Banach, el espacio tangente T _x V a V en cualquier punto x ∈ V es isomorfo de manera obvia al propio V. El paquete tangente TV de V es entonces un paquete de Banach con la proyección habitual

${\displaystyle \pi :\mathrm {T} V\to V;}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto x.}$

Este paquete es "trivial" en el sentido de que TV admite una aplicación trivializante definida globalmente: la función identidad

${\displaystyle \tau =\mathrm {id} :\pi ^{-1}(V)=\mathrm {T} V\to V\times V;}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v).}$

• Si M es cualquier variedad de Banach, el paquete tangente TM M de M forma un paquete de Banach con respecto a la proyección habitual, pero puede que no sea trivial.
• De manera similar, el fibrado cotangente T* M , cuya fibra sobre un punto x ∈ M es el espacio dual topológico al espacio tangente en x :

${\displaystyle \pi ^{-1}(x)=\mathrm {T} _{x}^{*}M=(\mathrm {T} _{x}M)^{*};}$

también forma un paquete de Banach con respecto a la proyección habitual sobre M .

• Existe una conexión entre los espacios de Bochner y los haces de Banach. Considere, por ejemplo, el espacio de Bochner X  =  L ²([0,  T ];  H ¹ (Ω)), que podría resultar un objeto útil al estudiar la ecuación del calor en un dominio Ω. Se podrían buscar soluciones σ  ∈  X a la ecuación del calor; para cada tiempo t , σ ( t ) es una función en el espacio de Sobolev H ¹ (Ω). También se podría pensar en Y  = [0,  T ] ×  H ¹ (Ω), que como producto cartesiano también tiene la estructura de un haz de Banach sobre la variedad [0,  T ] con fibra H ¹ (Ω), en la que Los elementos/soluciones del caso σ  ∈  X son secciones transversales del paquete Y de alguna regularidad especificada ( L ², de hecho). Si la geometría diferencial del problema en cuestión es particularmente relevante, el punto de vista del paquete de Banach podría resultar ventajoso.

Morfismos de haces de Banach

La colección de todos los paquetes de Banach se puede convertir en una categoría definiendo los morfismos apropiados.

Sean π  : E → M y π ′ : E ′ → M ′ dos paquetes de Banach. Un morfismo de paquete de Banach desde el primer paquete al segundo consta de un par de morfismos

${\displaystyle f_{0}:M\to M';}$

${\displaystyle f:E\to E'.}$

Que f sea un morfismo significa simplemente que f es un mapa continuo de espacios topológicos. Si las variedades M y M ' son ambas de clase C ^p , entonces el requisito de que f ₀ sea un morfismo es el requisito de que sea una función p -veces continuamente diferenciable . Estos dos morfismos son necesarios para satisfacer dos condiciones (nuevamente, la segunda es redundante en el caso de dimensión finita):

• El diagrama

conmuta, y, para cada x ∈ M , el mapa inducido

${\displaystyle f_{x}:E_{x}\to E'_{f_{0}(x)}}$

es un mapa lineal continuo;

• para cada x ₀ ∈ M existen aplicaciones trivializantes

${\displaystyle \tau :\pi ^{-1}(U)\to U\times X}$

${\displaystyle \tau ':\pi '^{-1}(U')\to U'\times X'}$

tal que x ₀ ∈ U , f ₀ ( x ₀ ) ∈ U ′,

${\displaystyle f_{0}(U)\subseteq U'}$

y el mapa

${\displaystyle U\to \mathrm {Lin} (X;X')}$

${\displaystyle x\mapsto \tau '_{f_{0}(x)}\circ f_{x}\circ \tau ^{-1}}$

es un morfismo (un mapa diferenciable de clase C ^p ).

Retirada de un paquete de Banach

Se puede tomar un paquete de Banach sobre una variedad y usar la construcción de retroceso para definir un nuevo paquete de Banach en una segunda variedad.

Específicamente, sea π  : E → N un paquete de Banach y f  : M → N un mapa diferenciable (como siempre, todo es C ^p ). Entonces el retroceso de π  : E → N es el paquete de Banach f * π  : f * E → M que satisface las siguientes propiedades:

• para cada x ∈ M , ( f * E ) _x = E _{f ( x )} ;
• hay un diagrama conmutativo

siendo el mapa horizontal superior la identidad de cada fibra;

• si E es trivial, es decir, igual a N × X para algún espacio de Banach X , entonces f * E también es trivial e igual a M × X , y

${\displaystyle f^{*}\pi :f^{*}E=M\times X\to M}$

es la proyección sobre la primera coordenada;

• si V es un subconjunto abierto de N y U = f ⁻¹ ( V ), entonces

${\displaystyle f^{*}(E_{V})=(f^{*}E)_{U}}$

y hay un diagrama conmutativo

donde los mapas en el "frente" y "atrás" son los mismos que los del diagrama anterior, y los mapas de "atrás" al "frente" son (inducidos por) las inclusiones.

Referencias

• Lang, Serge (1972). Colectores diferenciales . Reading, Mass.–Londres–Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.