Fractal áspero

Fractal áspero

En matemáticas, el fractal de Rauzy es un conjunto fractal asociado con la sustitución de Tribonacci.

${\displaystyle s(1)=12,\ s(2)=13,\ s(3)=1\,.}$

Fue estudiado en 1981 por Gérard Rauzy, ^[1] con la idea de generalizar las propiedades dinámicas del morfismo de Fibonacci . Ese conjunto fractal puede generalizarse a otras aplicaciones sobre un alfabeto de 3 letras, generando otros conjuntos fractales con propiedades interesantes, como el teselado periódico del plano y la autosimilitud en tres partes homotéticas .

Definiciones

Palabra de Tribonacci

La palabra infinita tribonacci es una palabra construida mediante la aplicación iterativa de la función Tribonacci o Rauzy  : , , . ^{[2] [3]} Es un ejemplo de palabra mórfica . A partir de 1, las palabras Tribonacci son: ^[4] ${\displaystyle s(1)=12}$ ${\displaystyle s(2)=13}$ ${\displaystyle s(3)=1}$

• ${\displaystyle t_{0}=1}$
• ${\displaystyle t_{1}=12}$
• ${\displaystyle t_{2}=1213}$
• ${\displaystyle t_{3}=1213121}$
• ${\displaystyle t_{4}=1213121121312}$

Podemos demostrar que, para , ; de ahí el nombre " Tribonacci ". ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}}$

Construcción fractal

Construcción

Consideremos ahora el espacio con coordenadas cartesianas (x,y,z). El fractal de Rauzy se construye de esta manera: ^[5] ${\displaystyle R^{3}}$

1) Interpreta la secuencia de letras de la palabra infinita Tribonacci como una secuencia de vectores unitarios del espacio, con las siguientes reglas (1 = dirección x, 2 = dirección y, 3 = dirección z).

2) Luego, construye una "escalera" trazando los puntos alcanzados por esta secuencia de vectores (ver figura). Por ejemplo, los primeros puntos son:

• ${\displaystyle 1\Rightarrow (1,0,0)}$
• ${\displaystyle 2\Rightarrow (1,1,0)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (2,1,0)}$
• ${\displaystyle 3\Rightarrow (2,1,1)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (3,1,1)}$

etc...Cada punto puede ser coloreado según la letra correspondiente, para enfatizar la propiedad de autosimilitud.

3) Luego, proyecta esos puntos sobre el plano de contracción (plano ortogonal a la dirección principal de propagación de los puntos, ninguno de esos puntos proyectados escapa al infinito).

Propiedades

• Puede estar embaldosado por tres copias de sí mismo, con área reducida por factores , y con solución de : . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle k^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{3}+k^{2}+k-1=0}$ ${\displaystyle \scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}}$
• Estable al intercambiar piezas. Podemos obtener el mismo conjunto intercambiando el lugar de las piezas.
• Conectado y simplemente conectado. No tiene agujero.
• Mosaico el plano periódicamente, por traducción.
• La matriz de la función Tribonacci tiene como polinomio característico . Sus valores propios son un número real , llamado constante de Tribonacci , un número de Pisot y dos conjugados complejos y con . ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$ ${\displaystyle \beta =1.8392}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta }$
• Su límite es fractal y la dimensión de Hausdorff de este límite es igual a 1,0933, la solución de . ^[6] ${\displaystyle 2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1}$

Variantes y generalización

Para cualquier sustitución unimodular de tipo Pisot, que verifique una condición de coincidencia (aparentemente siempre verificada), se puede construir un conjunto similar llamado "fractal de Rauzy de la función". Todos ellos presentan autosimilitud y generan, para los ejemplos siguientes, un teselado periódico del plano.

• 
  s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1
• 
  s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132

Véase también

• Portal de matemáticas

• Lista de fractales

Referencias

1. Rauzy, Gerard (1982). "Nombres algébriques et sustituciones" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. P. (en francés). 110 : 147-178. Zbl  0522.10032.
2. Lothaire (2005) pág. 525
3. Pytheas Fogg (2002) pág. 232
4. Lothaire (2005) pág. 546
5. Pytheas Fogg (2002) pág. 233
6. Messaoudi, Ali (2000). "Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe. (Límite del fractal de Rauzy y sistema de numeración complejo)" (PDF) . Acta Arith. (en francés). 95 (3): 195–224. Zbl  0968.28005.

• Arnoux, Pierre; Harriss, Edmund (agosto de 2014). "¿QUÉ ES... un fractal deslumbrante?". Avisos de la American Mathematical Society . 61 (7): 768–770. doi : 10.1090/noti1144 .
• Berthé, Valérie ; Siegel, Anne; Thuswaldner, Jörg (2010). "Sustituciones, fractales de Rauzy y teselado". En Berthé, Valérie ; Rigo, Michel (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 135. Cambridge: Cambridge University Press . págs. 248–323. ISBN 978-0-521-51597-9.Zbl 1247.37015  .
• Lothaire, M. (2005). Combinatoria aplicada a las palabras . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 105. Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-84802-2. Sr.  2165687. Zbl  1133.68067.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1794. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7.Zbl 1014.11015  .

Enlaces externos

• Propiedades topológicas de los fractales de Rauzy
• Sustituciones, fractales y teselas de Rauzy, Anne Siegel, 2009
• Fractales de Rauzy para automorfismos de grupos libres, 2006
• Sustituciones de Pisot y fractales de Rauzy
• Fractales atrevidos
• Vídeo de Numberphile sobre los fractales de Rauzy y los números de Tribonacci