Péndulo de parrilla

Un péndulo de rejilla era un péndulo de reloj compensado por la temperatura inventado por el relojero británico John Harrison alrededor de 1726. ^[1]^[2]^[3]^[4] Se utilizó en relojes de precisión. En los péndulos de reloj ordinarios, la varilla del péndulo se expande y se contrae con los cambios de temperatura. El período de oscilación del péndulo depende de su longitud, por lo que la velocidad de un reloj de péndulo varía con los cambios en la temperatura ambiente, lo que causa un cronometraje inexacto. El péndulo de rejilla consiste en varillas paralelas alternas de dos metales con diferentes coeficientes de expansión térmica , como acero y latón . Las varillas están conectadas por un marco de tal manera que sus diferentes expansiones (o contracciones) térmicas se compensan entre sí, de modo que la longitud total del péndulo, y por lo tanto su período, se mantiene constante con la temperatura.

El péndulo de rejilla se utilizó durante el período de la Revolución Industrial en relojes de péndulo , particularmente relojes reguladores de precisión ^[1] empleados como patrones de tiempo en fábricas, laboratorios, edificios de oficinas, estaciones de tren y oficinas de correos para programar el trabajo y poner en hora otros relojes. La rejilla se asoció tanto con la medición precisa del tiempo que, a principios del siglo XX, muchos relojes tenían péndulos con rejillas falsas decorativas, que no tenían cualidades de compensación de temperatura. ^[1]^[4]

Cómo funciona

A: esquema exterior
B: temperatura normal
C: temperatura más alta

El péndulo de rejilla está construido de modo que las varillas de alta expansión térmica (zinc o latón) hacen que el péndulo sea más corto cuando se expanden, mientras que las varillas de acero de baja expansión hacen que el péndulo sea más largo. Al utilizar la proporción correcta de longitudes, la mayor expansión de las varillas de zinc o latón compensa exactamente la mayor longitud de las varillas de acero de baja expansión, y el péndulo mantiene la misma longitud con los cambios de temperatura. ^[2]

La forma más simple del péndulo de rejilla, introducido como una mejora del de Harrison alrededor de 1750 por John Smeaton, consta de cinco varillas, tres de acero y dos de zinc . Una varilla central de acero va desde el péndulo hasta el pivote de suspensión.

En ese punto, una pieza transversal (puente intermedio) se extiende desde la varilla central y se conecta a dos varillas de zinc , una a cada lado de la varilla central, que llegan hasta el puente inferior, y están fijadas a él, justo por encima del péndulo. El puente inferior deja libre la varilla central y se conecta a otras dos varillas de acero que vuelven a subir hasta el puente superior unido a la suspensión. A medida que las varillas de acero se expanden con el calor, el puente inferior desciende con respecto a la suspensión y el péndulo desciende con respecto al puente intermedio. Sin embargo, el puente intermedio se eleva con respecto al inferior porque la mayor expansión de las varillas de zinc empuja el puente intermedio, y por lo tanto el péndulo, hacia arriba para igualar la caída combinada causada por la expansión del acero.

En términos simples, la expansión ascendente del zinc contrarresta la expansión descendente combinada del acero (que tiene una longitud total mayor). Las longitudes de las varillas se calculan de modo que la longitud efectiva de las varillas de zinc multiplicada por el coeficiente de expansión térmica del zinc sea igual a la longitud efectiva de las varillas de acero multiplicada por el coeficiente de expansión del hierro, manteniendo así la misma longitud del péndulo. ^[5]^[3]^[6]^{: p.261}

El péndulo original de Harrison utilizaba varillas de latón (en aquel entonces no se disponía de zinc puro); para ello se necesitaban más varillas porque el latón no se expande tanto como el zinc. En lugar de una varilla de alta expansión en cada lado, se necesitan dos en cada lado, lo que requiere un total de 9 varillas, cinco de acero y cuatro de latón. ^[3]^[4] El grado exacto de compensación se puede ajustar teniendo una sección de la varilla central que sea en parte de latón y en parte de acero. Estas se superponen (como un sándwich) y se unen mediante un pasador que pasa a través de ambos metales. Se hacen varios agujeros para el pasador en ambas partes y al mover el pasador hacia arriba o hacia abajo de la varilla se cambia la cantidad de latón y de acero de la varilla combinada.

A finales del siglo XIX, la compañía Dent desarrolló una versión tubular de la parrilla de zinc en la que las cuatro varillas exteriores fueron sustituidas por dos tubos concéntricos unidos por una tuerca tubular que podía enroscarse hacia arriba y hacia abajo para modificar el grado de compensación.

En la década de 1730, el relojero John Ellicott diseñó una versión que sólo requería tres varillas, dos de latón y una de acero ( ver dibujo ), en la que las varillas de latón, a medida que se expandían con el aumento de temperatura, presionaban contra palancas que levantaban el péndulo. ^[7]^[1] El péndulo de Ellicott no tuvo mucho uso. ^[6]^{: p.272-273}

Desventajas

Los científicos del siglo XIX descubrieron que el péndulo de rejilla tenía desventajas que lo hacían inadecuado para los relojes de máxima precisión. ^[4] La fricción de las varillas que se deslizaban en los agujeros del marco hacía que las varillas se ajustaran a los cambios de temperatura en una serie de pequeños saltos, en lugar de con un movimiento suave. Esto hacía que la velocidad del péndulo, y por lo tanto del reloj, cambiara repentinamente con cada salto. Más tarde se descubrió que el zinc no es muy estable dimensionalmente; está sujeto a deslizamiento . Por lo tanto, otro tipo de péndulo compensado por temperatura, el péndulo de mercurio inventado en 1721 por George Graham , se utilizó en los relojes de máxima precisión. ^[8]^{: p.289}^[4]

Hacia 1900, los relojes reguladores astronómicos de mayor precisión utilizaban varillas de péndulo de materiales de baja expansión térmica como el invar ^[3]^[2] y el cuarzo fundido . ^[4]

Galería

Análisis matemático

Error de temperatura

Todas las sustancias se expanden con un aumento de temperatura , por lo que las varillas de péndulo no compensadas se alargan con un aumento de temperatura, lo que hace que el reloj se ralentice, y se acortan con una disminución de temperatura, lo que hace que el reloj se acelere. La cantidad depende del coeficiente lineal de expansión térmica (CTE) del material del que están compuestos. El CTE se da generalmente en partes por millón por grado Celsius. La expansión o contracción de una varilla de longitud con un coeficiente de expansión causado por un cambio de temperatura es ^[9]^{: p.250, eq.10.19} ${\estilo de visualización \theta}$ ${\estilo de visualización \alpha}$ ${\estilo de visualización L}$ ${\estilo de visualización \alpha}$ $\Delta \theta$

\Delta L=\alpha L\Delta \theta

(1)

El período de oscilación del péndulo (el intervalo de tiempo para una oscilación hacia la derecha y una oscilación hacia la izquierda) es ^[9]^{: p.239, eq.10.2} ${\estilo de visualización T}$

T=2\pi {\sqrt {L sobre g}}

(2)

Un cambio de longitud debido a un cambio de temperatura provocará un cambio en el período . Como el coeficiente de expansión es tan pequeño, los cambios de longitud debidos a la temperatura son muy pequeños, partes por millón, por lo que el cambio de período se puede aproximar al primer orden como una función lineal ^[9]^{: p.250} $\Delta L$ $\Delta \theta$ $\Delta T$ $\Delta T<<T$

\Delta T={dT sobre dL}\Delta L

\qquad ={d \sobre dL}{\Big (}2\pi {\sqrt {L \sobre g}}{\Big )}\Delta L=\pi {\Delta L \sobre {\sqrt {gL}}}

Sustituyendo la ecuación (1), el cambio en el período del péndulo causado por un cambio de temperatura es $\Delta \theta$

\qquad =\pi {\alpha L\Delta \theta \sobre {\sqrt {gL}}}=\alpha \pi {\sqrt {L \sobre g}}\Delta \theta

\Delta T={\alpha T\Delta \theta \sobre 2}

$\quad {\Delta T \sobre T}={\alpha \Delta \theta \sobre 2}\quad$

Por lo tanto, el cambio fraccionario en el período de un péndulo no compensado es igual a la mitad del coeficiente de expansión multiplicado por el cambio de temperatura.

El acero tiene un CTE de 11,5 x 10 ⁻⁶ por °C, por lo que un péndulo con una varilla de acero tendrá una tasa de error térmico de 5,7 partes por millón o 0,5 segundos por día por grado Celsius (0,9 segundos por día por grado Fahrenheit). Antes de 1900, la mayoría de los edificios no tenían calefacción, por lo que los relojes en climas templados como Europa y América del Norte experimentarían una variación de temperatura verano/invierno de alrededor de 14 °C (25 °F), lo que resultaría en una tasa de error de 6,8 segundos por día. ^[6]^{: p.259} La madera tiene un CTE menor de 4,9 x 10 ⁻⁶ por °C, por lo que un péndulo con una varilla de madera tendrá un error térmico menor de 0,21 segundos por día por °C, por lo que las varillas de péndulo de madera se usaban a menudo en relojes domésticos de calidad. La madera tenía que estar barnizada para protegerla de la atmósfera, ya que la humedad también podía causar cambios en la longitud.

Compensación

Un péndulo de rejilla es simétrico, con dos enlaces idénticos de varillas de suspensión, una a cada lado, que suspenden la masa del pivote. Dentro de cada cadena de suspensión, el cambio total en la longitud del péndulo es igual a la suma de los cambios de las varillas que lo componen. Está diseñado de modo que, con un aumento de temperatura, las varillas de alta expansión a cada lado empujan la masa del péndulo hacia arriba, en la dirección opuesta a las varillas de baja expansión que lo empujan hacia abajo, por lo que el cambio neto en la longitud es la diferencia entre estos cambios. ${\estilo de visualización L}$

\Delta L=\sum \Delta L_{\text{bajo}}-\sum \Delta L_{\text{alto}}

A partir de (1) el cambio en la longitud de un péndulo de rejilla con un cambio de temperatura es $\Delta L$ $\Delta \theta$

\Delta L=\sum \alpha _{\text{bajo}}L_{\text{bajo}}\Delta \theta -\sum \alpha _{\text{alto}}L_{\text{alto}}\Delta \theta

\Delta L=(\alpha _{\text{bajo}}\sum L_{\text{bajo}}-\alpha _{\text{alto}}\sum L_{\text{alto}})\Delta \theta

donde es la suma de las longitudes de todas las varillas de baja expansión (acero) y es la suma de las longitudes de las varillas de alta expansión en la cadena de suspensión desde el punto de apoyo hasta el pivote. La condición para un cambio de longitud cero con la temperatura es $\sum L_{\text{bajo}}$ $\sum L_{\text{alto}}$

\alpha _{\text{bajo}}\sum L_{\text{bajo}}-\alpha _{\text{alto}}\sum L_{\text{alto}}=0

{\alpha _{\text{alto}} \sobre \alpha _{\text{bajo}}}={\sum L_{\text{bajo}} \sobre \sum L_{\text{alto}}}

(3)

En otras palabras, la relación de los coeficientes de expansión térmica de los dos metales debe ser igual a la relación inversa de las longitudes totales de las varillas. ^[3]^[6]^{: p.261}^[5]
Para calcular la longitud de las varillas individuales, esta ecuación se resuelve junto con la ecuación (2) dando la longitud total del péndulo necesaria para el período correcto. ${\estilo de visualización T}$

L=\sum L_{\text{bajo}}-\sum L_{\text{alto}}=g{\big (}{T \sobre 2\pi }{\big )}^{2}

La mayoría de los relojes de péndulo de precisión con rejilla utilizaban un " péndulo de segundos ", en el que el período era de dos segundos. La longitud del péndulo de segundos era de 0,9936 metros (39,12 pulgadas). ${\estilo de visualización L=\,}$

En un péndulo ordinario sin compensación, que tiene la mayor parte de su masa en la plomada, el centro de oscilación está cerca del centro de la plomada, por lo que normalmente era lo suficientemente preciso como para hacer que la longitud desde el pivote hasta el centro de la plomada fuera de 0,9936 m y luego corregir el período del reloj con la tuerca de ajuste. Pero en un péndulo de rejilla, la rejilla constituye una parte significativa de la masa del péndulo. Esto cambia el momento de inercia , por lo que el centro de oscilación está algo más alto, por encima de la plomada en la rejilla. Por lo tanto, la longitud total del péndulo debe ser algo más larga para dar el período correcto. Este factor es difícil de calcular con precisión. Otro factor menor es que si la plomada del péndulo está sostenida en la parte inferior por una tuerca en la varilla del péndulo, como es habitual, se debe tener en cuenta el aumento del centro de gravedad debido a la expansión térmica de la plomada. Los relojeros del siglo XIX solían utilizar longitudes recomendadas para las barras de hierro que habían sido encontradas por maestros relojeros mediante ensayo y error. ^[7]^{: p.52}^[8]^{: p.289} ${\estilo de visualización L=}$ ${\estilo de visualización L}$

Parrilla de cinco varillas

En la parrilla de 5 varillas, hay una varilla de alta expansión a cada lado, de longitud , flanqueada por dos varillas de baja expansión con longitudes y , una desde el pivote para sostener la parte inferior de , la otra va desde la parte superior de hacia abajo para sostener el péndulo. ^[4] Entonces, de la ecuación (3), la condición para la compensación es $L_{\text{2}}$ $L_{\text{1}}$ $L_{\text{3}}$ $L_{\text{2}}$ $L_{\text{2}}$

{\alpha _{\text{alto}} \sobre \alpha _{\text{bajo}}}={L_{\text{1}}+L_{\text{3}} \sobre L_{\text{2}}}

Dado que para encajar en el marco la varilla de alta expansión debe ser igual o más corta que cada una de las varillas de baja expansión y la condición geométrica para la construcción de la parrilla es $L_{\text{1}}\geq L_{\text{2}}$ $L_{\text{3}}\geq L_{\text{2}}$

L_{\text{1}}+L_{\text{3}}\geq 2L_{\text{2}}

Por lo tanto, la parrilla de 5 varillas solo se puede realizar con metales cuyos coeficientes de expansión tengan una relación mayor o igual a dos ^[4]^[9]^{: p.251}

{\alpha _{\text{alto}} \sobre \alpha _{\text{bajo}}}={L_{\text{1}}+L_{\text{3}} \sobre L_{\text{2}}}\geq 2

El zinc tiene un CTE de = 26,2 x 10 ⁻⁶ por °C, una relación de = 2,28 veces el acero, por lo que la combinación zinc/acero se puede utilizar en péndulos de 5 varillas. La condición de compensación para una rejilla de zinc/acero es ${\estilo de visualización \alpha}$ $\alpha _{\text{alto}}/\alpha _{\text{bajo}}$

{L_{\text{1}}+L_{\text{3}} sobre L_{\text{2}}}=2,28

Parrilla de nueve varillas

Para permitir el uso de metales con una menor relación de coeficientes de expansión, como el latón y el acero, una mayor proporción de la longitud de la suspensión debe ser del metal de alta expansión, por lo que se debe utilizar una construcción con más varillas de alta expansión. En la parrilla de 9 varillas, hay dos varillas de alta expansión a cada lado, de longitud y , flanqueadas por tres varillas de baja expansión con longitudes , y . ^[4] Entonces, de la ecuación (3), la condición para la compensación es $L_{\text{2}}$ $L_{\text{4}}$ $L_{\text{1}}$ $L_{\text{3}}$ $L_{\text{5}}$

{\alpha _{\text{alto}} \sobre \alpha _{\text{bajo}}}={L_{\text{1}}+L_{\text{3}}+L_{\text{5}} \sobre L_{\text{2}}+L_{\text{4}}}

Dado que para encajar en el marco cada una de las dos barras de alta expansión debe ser tan corta o más corta que cada una de las barras de alta expansión, la condición geométrica para la construcción es

L_{\text{1}}+L_{\text{3}}+L_{\text{5}}\geq {3 \over 2}(L_{\text{2}}+L_{\text{2}})

Por lo tanto, la parrilla de 9 varillas se puede fabricar con metales con una relación de coeficientes de expansión térmica superior a 1,5. ^[4]^[9]^{: p.251}

{\alpha _{\text{high}} \over \alpha _{\text{low}}}={L_{\text{1}}+L_{\text{3}}+L_{\text{5}} \over L_{\text{2}}+L_{\text{4}}}\geq 1.5

El latón tiene un CTE de aproximadamente 19,3 x 10 ⁻⁶ por °C, una relación de 1,68 veces el acero. Por lo tanto, si bien el latón/acero no se puede utilizar en parrillas de 5 varillas, sí se puede utilizar en la versión de 9 varillas. ^[4] Por lo tanto, la condición de compensación para una parrilla de latón/acero que utiliza latón con el CTE anterior es $\alpha$ $\alpha _{\text{high}}/\alpha _{\text{low}}$

{L_{\text{1}}+L_{\text{3}}+L_{\text{5}} \over L_{\text{2}}+L_{\text{4}}}=1.68

Definición de variables

Referencias

^ abcd Turner, Anthony; Nye, James; Betts, Jonathan (2022). Una historia general de la horología. Oxford University Press. pág. 321. ISBN 9780192609366.
^ abc Baker, Gregory L. (2011). Siete cuentos del péndulo. Oxford University Press. págs. 79–82. ISBN 9780191004841.
^ abcde "Reloj". Encyclopaedia Britannica, 11.ª edición . Vol. 6. The Encyclopaedia Brittanica Co. 1910. pág. 539. Consultado el 7 de julio de 2024 .
^ abcdefghijk Matthys, Robert J. (2004). Péndulos de reloj precisos. Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 8-10. ISBN 9780198529712.
^ ab " Las longitudes totales deben ser inversamente proporcionales a los coeficientes de expansión de los metales utilizados " Glasgow, David (1885) Watch and Clock Making, Cassell and Co., Londres, p.289
^ abcd Kater, Henry; Lardner, Dionysus (1831). Tratado de mecánica. Filadelfia: Carey y Lea.
^ de Beckett, Edmund (Lord Grimsthorpe) (1874). Tratado rudimentario sobre relojes y campanas, 6.ª ed. Londres: Lockwood & Co., págs. 59-60.
^ ab Glasgow, David (1885). Fabricación de relojes. Londres: Cassell and Co.
^ abcde Baker, Gregory L.; Blackburn, James A. (2005). El péndulo: un estudio de caso en física. Oxford University Press. ISBN 9780198567547.

Lectura adicional

Reid, Thomas (1826). Tratado sobre relojería. Edimburgo: James Clarke and Co., págs. 363–371.
Beckett, Edmund (Lord Grimsthorpe) (1874). Tratado rudimentario sobre relojes y campanas, 6.ª ed. Londres: Lockwood & Co., págs. 50-60.
Short, James (1753). «Una carta sobre el inventor del mecanismo que permite evitar las irregularidades de su movimiento por calor o frío en el péndulo de un reloj». Philosophical Transactions of the Royal Society . 47 (LXXXVIII). Londres: Royal Society: 517–525 . Consultado el 9 de julio de 2024 .