Péndulo cónico

Reloj de péndulo cónico monumental de Farcot, 1878

Un péndulo cónico consiste en un peso (o pesa ) fijado en el extremo de una cuerda o varilla suspendida de un pivote. Su construcción es similar a la de un péndulo ordinario ; sin embargo, en lugar de oscilar hacia adelante y hacia atrás a lo largo de un arco circular, la pesa de un péndulo cónico se mueve a una velocidad constante en un círculo o elipse con la cuerda (o varilla) trazando un cono . El péndulo cónico fue estudiado por primera vez por el científico inglés Robert Hooke alrededor de 1660 ^[1] como modelo para el movimiento orbital de los planetas . ^[2] En 1673, el científico holandés Christiaan Huygens calculó su período, utilizando su nuevo concepto de fuerza centrífuga en su libro Horologium Oscillatorium . Más tarde se utilizó como elemento de cronometraje en algunos relojes mecánicos y otros dispositivos de cronometraje de relojería. ^{[3] [4]}

Usos

Durante el siglo XIX, los péndulos cónicos se utilizaron como elemento de cronometraje en algunos mecanismos de cronometraje de relojería donde se requería un movimiento suave, en oposición al movimiento inevitablemente brusco proporcionado por los péndulos ordinarios. ^[4] Dos ejemplos fueron los mecanismos para girar las lentes de los faros para barrer sus rayos a través del mar, y los controladores de ubicación de los telescopios de montura ecuatorial , para permitir que el telescopio siguiera una estrella suavemente a través del cielo mientras la Tierra gira. ^[3]

Uno de los usos más importantes del péndulo cónico fue en el regulador de bola ( regulador centrífugo ) inventado por James Watt en 1788, que regulaba la velocidad de las máquinas de vapor durante la Era del Vapor en el siglo XIX.

Algunos juegos de patio, como el tenis totem y el tetherball , utilizan una pelota unida a un poste mediante una cuerda que funciona como un péndulo cónico, aunque en el tetherball el péndulo se acorta a medida que la cuerda se enrolla alrededor del poste. Algunas atracciones de los parques de diversiones también funcionan como péndulos cónicos.

Análisis

Consideremos un péndulo cónico que consiste en un cuerpo de masa m que gira sin fricción en un círculo a una velocidad constante v sobre una cuerda de longitud L en un ángulo de θ con respecto a la vertical.

Hay dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

• la tensión T en la cuerda, que se ejerce a lo largo de la línea de la cuerda y actúa hacia el punto de suspensión.
• el peso del péndulo hacia abajo mg , donde m es la masa del péndulo y g es la aceleración gravitacional local .

La fuerza ejercida por la cuerda se puede descomponer en un componente horizontal, T  sin( θ ), hacia el centro del círculo, y un componente vertical, T  cos( θ ), en dirección ascendente. Según la segunda ley de Newton , el componente horizontal de la tensión en la cuerda le da a la plomada una aceleración centrípeta hacia el centro del círculo:

${\displaystyle T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,}$

Péndulo cónico cuyo cuerpo se desplaza en un círculo horizontal de radio r . El cuerpo tiene masa m y está suspendido de una cuerda de longitud L. La fuerza de tensión de la cuerda que actúa sobre el cuerpo es el vector T y el peso del cuerpo es el vector mg .

Como no hay aceleración en la dirección vertical, el componente vertical de la tensión en la cuerda es igual y opuesto al peso de la pesa:

${\displaystyle T\cos \theta =mg\,}$

Estas dos ecuaciones se pueden resolver para T / m e igualar, eliminando así T y m y obteniendo la aceleración centrípeta:

${\displaystyle {g\tan \theta }={\frac {v^{2}}{r}}}$

Un pequeño reordenamiento da como resultado:

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}}$

Como la velocidad del péndulo es constante, se puede expresar como la circunferencia 2 πr dividida por el tiempo t requerido para una revolución del péndulo:

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{t}}}$

Sustituyendo el lado derecho de esta ecuación por v en la ecuación anterior, encontramos:

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}}$

Utilizando la identidad trigonométrica tan( θ ) = sin( θ ) / cos( θ ) y resolviendo para t , el tiempo requerido para que la plomada recorra una revolución es

${\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {r}{g\tan \theta }}}}$

En un experimento práctico, r varía y no es tan fácil de medir como la longitud constante de la cuerda L . r se puede eliminar de la ecuación observando que r , h y L forman un triángulo rectángulo, donde θ es el ángulo entre el cateto h y la hipotenusa L (ver diagrama). Por lo tanto,

${\displaystyle r=L\sin \theta \,}$

Sustituyendo este valor por r se obtiene una fórmula cuyo único parámetro variable es el ángulo de suspensión  θ : ^[5]

${\displaystyle \,t=2\pi {\sqrt {\frac {L\cos \theta }{g}}}\,}$

Para ángulos pequeños θ , cos( θ ) ≈ 1; en cuyo caso

${\displaystyle t\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

De modo que, para ángulos pequeños, el período t de un péndulo cónico es igual al período de un péndulo ordinario de la misma longitud. Además, el período para ángulos pequeños es aproximadamente independiente de los cambios en el ángulo θ . Esto significa que el período de rotación es aproximadamente independiente de la fuerza aplicada para mantenerlo en rotación. Esta propiedad, llamada isocronismo, es compartida con los péndulos ordinarios y hace que ambos tipos de péndulos sean útiles para medir el tiempo.

Véase también

• Las tres leyes del movimiento de Newton
• Péndulo
• Péndulo (matemáticas)

Referencias

1. O'Connor, JJ; EF Robertson (agosto de 2002). "Robert Hooke". Biografías, Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St. Andrews, Escocia . Consultado el 21 de febrero de 2009 .
2. Nauenberg, Michael (2006). "La contribución fundamental de Robert Hooke a la dinámica orbital". Robert Hooke: Estudios del tricentenario . Ashgate Publishing. págs. 17-19. ISBN 0-7546-5365-X.
3. Beckett, Edmund (Lord Grimsthorpe) (1874). Tratado rudimentario sobre relojes y campanas, 6.ª ed. Londres: Lockwood & Co., págs. 22-26.
4. "Reloj". Encyclopædia Britannica, 9.ª edición . Vol. 6. Henry G. Allen Co. 1890. pág. 15. Consultado el 25 de febrero de 2008 .
5. Serway, Raymond (1986). Física para científicos e ingenieros, segunda edición . Saunders College Publishing. pág. 109. ISBN 0-03-004534-7.

Enlaces externos

• Una simulación interactiva en Java del péndulo cónico