análisis p-ádico

En matemáticas , el análisis p -ádico es una rama de la teoría de números que se ocupa del análisis matemático de funciones de números p -ádicos .

La teoría de funciones numéricas de valor complejo sobre números p -ádicos es parte de la teoría de grupos localmente compactos . El significado habitual que se le da al análisis p -ádico es teoría de funciones de valor p -ádico sobre espacios de interés.

Las aplicaciones del análisis p -ádico se han dado principalmente en la teoría de números , donde tiene un papel significativo en la geometría diofántica y la aproximación diofántica . Algunas aplicaciones han requerido el desarrollo del análisis funcional p -ádico y la teoría espectral . En muchos sentidos, el análisis p -ádico es menos sutil que el análisis clásico , ya que la desigualdad ultramétrica significa, por ejemplo, que la convergencia de series infinitas de números p -ádicos es mucho más simple. Los espacios vectoriales topológicos sobre cuerpos p -ádicos muestran características distintivas; por ejemplo, los aspectos relacionados con la convexidad y el teorema de Hahn-Banach son diferentes.

Resultados importantes

Teorema de Ostrowski

El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski (1916), establece que cada valor absoluto no trivial de los números racionales Q es equivalente al valor absoluto real usual o a un valor absoluto $p$ -ádico . ^[1]

Teorema de Mahler

El teorema de Mahler , introducido por Kurt Mahler , ^{[2] expresa funciones}p -ádicas continuas en términos de polinomios.

En cualquier campo de característica 0, se tiene el siguiente resultado. Sea

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)

sea el operador de diferencia hacia delante . Entonces, para las funciones polinómicas f tenemos la serie de Newton :

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k},

dónde

{x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}

es el polinomio de coeficiente binomial k -ésimo.

En el campo de los números reales, la suposición de que la función f es un polinomio puede debilitarse, pero no puede debilitarse hasta el punto de la mera continuidad .

Mahler demostró el siguiente resultado:

Teorema de Mahler : si f es una función continua de valor p-ádico sobre los enteros p -ádicos, entonces se cumple la misma identidad.

Lema de Hensel

El lema de Hensel, también conocido como lema de elevación de Hensel, llamado así por Kurt Hensel , es un resultado de la aritmética modular que establece que si una ecuación polinómica tiene una raíz simple módulo un número primo $p$ , entonces esta raíz corresponde a una raíz única de la misma ecuación módulo cualquier potencia superior de $p$ , que se puede encontrar " elevando " iterativamente la solución módulo potencias sucesivas de $p$ . De manera más general, se utiliza como un nombre genérico para análogos de anillos conmutativos completos (incluidos los campos p -ádicos en particular) del método de Newton para resolver ecuaciones. Dado que el análisis p -ádico es en algunos aspectos más simple que el análisis real , existen criterios relativamente fáciles que garantizan una raíz de un polinomio.

Para expresar el resultado, sea un polinomio con coeficientes enteros (o enteros p -ádicos), y sean m , k enteros positivos tales que m ≤ k . Si r es un entero tal que ${\estilo de visualización f(x)}$

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

f'(r)\no es \equiv 0{\pmod {p}}

entonces existe un entero s tal que

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Además, este s es único módulo p ^{k + m} , y puede calcularse explícitamente como

s=r+tp^{k}

dónde

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

Aplicaciones

Mecánica cuántica p-ádica

La mecánica cuántica p -ádica es un enfoque relativamente reciente para comprender la naturaleza de la física fundamental. Es la aplicación del análisis p-ádico a la mecánica cuántica . En la actualidad, existen cientos de artículos de investigación sobre el tema, ^[3]^[4] junto con revistas internacionales.

Existen dos enfoques principales para abordar este tema. ^[5]^[6] El primero considera partículas en un pozo de potencial p-ádico y el objetivo es encontrar soluciones con funciones de onda de valor complejo que varíen suavemente. En este caso, las soluciones deben resultar familiares en cierta medida en la vida cotidiana. El segundo considera partículas en pozos de potencial p-ádicos y el objetivo es encontrar funciones de onda de valor p-ádico. En este caso, la interpretación física es más difícil. Sin embargo, las matemáticas a menudo presentan características sorprendentes, por lo que la gente continúa explorándolas. La situación fue resumida en 2005 por un científico de la siguiente manera: "Simplemente no puedo pensar en todo esto como una secuencia de accidentes divertidos y descartarlo como un 'modelo de juguete'. Creo que es necesario y vale la pena realizar más trabajos al respecto". ^[7]

Principio local-global

El principio local-global de Helmut Hasse , también conocido como principio de Hasse, es la idea de que se puede hallar una solución entera a una ecuación utilizando el teorema del resto chino para unir soluciones módulo potencias de cada número primo diferente . Esto se maneja examinando la ecuación en las compleciones de los números racionales : los números reales y los números p -ádicos . Una versión más formal del principio de Hasse establece que ciertos tipos de ecuaciones tienen una solución racional si y solo si tienen una solución en los números reales y en los números p -ádicos para cada primo p .

Véase también

Referencias

^ Koblitz, Neal (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádicos y funciones zeta (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Recuperado el 24 de agosto de 2012. Teorema 1 (Ostrowski) . Toda norma no trivial ‖ ‖ en es equivalente a $|$ $|$ $p$ para algún primo $p$ o para $p$ $= \infty$ . $\mathbb {Q}$
^ Mahler, K. (1958), "Una serie de interpolación para funciones continuas de una variable p-ádica", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1958 (199): 23–34, doi :10.1515/crll.1958.199.23 , ISSN 0075-4102, SEÑOR 0095821, S2CID 199546556
^ VS Vladimirov, IV Volovich y EI Zelenov Análisis p-ádico y física matemática (World Scientific, Singapur 1994)
^ L. Brekke y PGO Freund, Números p-ádicos en física , Phys. Rep. 233 , 1-66(1993)
^ Dragovich, Branko (2007). "Adeles en la física matemática". arXiv : 0707.3876 [math-ph].
^ Djordjević, GS; Dragovich, B. (2000). "Oscilador armónico p-ádico y adélico con una frecuencia dependiente del tiempo". Física teórica y matemática . 124 (2): 3. arXiv : quant-ph/0005027 . Código Bibliográfico :2000TMP...124.1059D. doi :10.1007/BF02551077. S2CID 14281188.
^ Freund, Peter GO (2006). "Cuerdas P-ádicas y sus aplicaciones". Actas de la conferencia AIP . Vol. 826. págs. 65–73. arXiv : hep-th/0510192 . doi :10.1063/1.2193111. S2CID 119086848.

Lectura adicional

Koblitz, Neal (1980). Análisis p-ádico: un breve curso sobre trabajos recientes . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 46. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-28060-5.Zbl 0439.12011 .
Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 3. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-31525-5.Zbl 0595.12006 .
Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997). "Complejidad de la resolución de ecuaciones polinómicas sobre números enteros p-ádicos". Univ. Of Bonn CS Reports 85183 . S2CID 120604553.
Karpinski, Marek ; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). "Prueba cero de polinomios p-ádicos y modulares". Ciencias de la Computación Teórica . 233 (1–2): 309–317. doi :10.1016/S0304-3975(99)00133-4.(preimpresión)
Un curso de análisis p-ádico, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
Cálculo ultramétrico: Introducción al análisis p-ádico, WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
Ecuaciones diferenciales p-ádicas, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5