valoración p-ádica

Mayor potencia de p que divide un número dado

En teoría de números , la valoración p - ádica u orden p -ádico de un entero n es el exponente de la potencia más alta del número primo p que divide a n . Se denota . Equivalentemente, es el exponente a que aparece en la factorización prima de . ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

La valoración p -ádica es una valoración y da lugar a un análogo del valor absoluto habitual . Mientras que la completitud de los números racionales con respecto al valor absoluto habitual da lugar a los números reales , la completitud de los números racionales con respecto al valor absoluto -ádico da lugar a los números p -ádicos . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Distribución de números naturales según su valoración 2-ádica, etiquetada con las potencias de dos correspondientes en decimal. El cero tiene una valoración infinita.

Definición y propiedades

Sea p un número primo .

Números enteros

La valoración p -ádica de un entero se define como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

donde denota el conjunto de números naturales (incluido el cero) y denota divisibilidad de por . En particular, es una función . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle m\mid n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \nu _{p}}$ ${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$

Por ejemplo, , , y desde . ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$ ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$ ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ ${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$

La notación se utiliza a veces para significar . ^[3] ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$ ${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$

Si es un entero positivo, entonces ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$;

Esto se desprende directamente de . ${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$

Números racionales

La valoración p -ádica se puede extender a los números racionales como la función

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[4] [5]}

definido por

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

Por ejemplo, y desde entonces . ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$ ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$

Algunas propiedades son:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

Además, si , entonces ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

donde es el mínimo (es decir, el menor de los dos). ${\displaystyle \min }$

Fórmula para lapag-Valoración ádica de números enteros

La fórmula de Legendre muestra que:

${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}}}$. Para cualquier entero positivo n , y . ${\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}$

Por lo tanto, . ${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

Esta suma infinita se puede reducir a . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

Esta fórmula se puede extender a valores enteros negativos para obtener:

${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

pag-valor absoluto ádico

El valor absoluto p -ádico (o norma p -ádica, ^[6] aunque no es una norma en el sentido de análisis) en es la función ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definido por

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

Por lo tanto, para todos y por ejemplo, y ${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

El valor absoluto p -ádico satisface las siguientes propiedades.

De la multiplicatividad se sigue que para las raíces de la unidad y y en consecuencia también La subaditividad se sigue de la desigualdad del triángulo no arquimediano . ${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$ ${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

La elección de la base p en la exponenciación no supone ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto: ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

donde se toma el producto de todos los primos p y el valor absoluto usual, denotado . Esto se deduce simplemente de tomar la factorización prima : cada factor de potencia primo contribuye con su recíproco a su valor absoluto p -ádico, y luego el valor absoluto arquimediano usual los cancela a todos. ${\displaystyle |r|_{0}}$ ${\displaystyle p^{k}}$

Se puede formar un espacio métrico en el conjunto con una métrica ( no arquimediana , invariante en la traslación ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definido por

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

La finalización de con respecto a esta métrica conduce al conjunto de números p -ádicos. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Véase también

• número p -ádico
• Valoración (álgebra)
• Propiedad de Arquímedes
• Multiplicidad (matemáticas)
• Teorema de Ostrowski
• Fórmula de Legendre para la valoración -ádica de ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n!}$
• Lema de elevación del exponente , para la valoración -ádica de ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$

Referencias

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley. págs. 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
2. Ireland, K.; Rosen, M. (2000). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Nueva York: Springer-Verlag. pág. 3.^{[ Falta ISBN ]}
3. Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). Introducción a la teoría de números (quinta edición). John Wiley & Sons . pág. 4. ISBN 0-471-62546-9.
4. con la relación de orden habitual, es decir

   ${\displaystyle \infty >n}$,

   y reglas para operaciones aritméticas,

   ${\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }$,

   en la recta numérica extendida.
5. Khrennikov, A.; Nilsson, M. (2004). Dinámica aleatoria y determinista p- ádica . Kluwer Academic Publishers. pág. 9.^{[ Falta ISBN ]}
6. Murty, M. Ram (2001). Problemas en la teoría analítica de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 206. Springer-Verlag, Nueva York. Págs. 147-148. doi :10.1007/978-1-4757-3441-6. ISBN . 0-387-95143-1.Señor 1803093  .