Morfismo externo

Homomorfismo de álgebras exteriores en álgebras unitarias

En álgebra geométrica , el externalmorfismo de una función lineal entre espacios vectoriales es una extensión natural de la función a multivectores arbitrarios . ^[1] Es el único homomorfismo de álgebra unital de álgebras exteriores cuya restricción a los espacios vectoriales es la función original. ^[a]

Definición

Sea una función -lineal de a . La extensión de a un morfismo externo es la única función que satisface ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\underline {\mathsf {f}}}:\bigwedge (V)\to \bigwedge (W)}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(x)=f(x)}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(A\wedge B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)\wedge {\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(A+B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)+{\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

para todos los vectores y todos los multivectores y , donde denota el álgebra exterior sobre . Es decir, un morfismo exterior es un homomorfismo de álgebra unital entre álgebras exteriores. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$ ${\displaystyle V}$

El externalmorfismo hereda las propiedades de linealidad de la función lineal original. Por ejemplo, vemos que para los escalares , y los vectores , , , el externalmorfismo es lineal sobre los bivectores: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(\alpha x\wedge z+\beta y\wedge z)&={\underline {\mathsf {f}}}((\alpha x+\beta y)\wedge z)\\[6pt]&=f(\alpha x+\beta y)\wedge f(z)\\[6pt]&=(\alpha f(x)+\beta f(y))\wedge f(z)\\[6pt]&=\alpha (f(x)\wedge f(z))+\beta (f(y)\wedge f(z))\\[6pt]&=\alpha \,{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge z)+\beta \,{\underline {\mathsf {f}}}(y\wedge z),\end{aligned}}}$

que se extiende a través del axioma de distributividad sobre la adición anterior hasta la linealidad sobre todos los multivectores.

Adjunto

Sea un externalmorfismo. Definimos el adjunto de como el externalmorfismo que satisface la propiedad ${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}}$

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(a)\cdot b=a\cdot {\underline {\mathsf {f}}}(b)}$

para todos los vectores y , donde es la forma bilineal simétrica no degenerada (producto escalar de vectores). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cdot }$

Esto da como resultado la propiedad que

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(A)*B=A*{\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

para todos los multivectores y , donde es el producto escalar de los multivectores . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle *}$

Si se dispone de cálculo geométrico , entonces el adjunto se puede extraer de forma más directa:

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(a)=\nabla _{b}\left\langle a{\underline {\mathsf {f}}}(b)\right\rangle .}$

La definición anterior de función adjunta es similar a la definición de transpuesta en la teoría de matrices. Cuando el contexto es claro, se suele omitir el subrayado debajo de la función.

Propiedades

De la definición dada al principio se desprende que el externalmorfismo de un multivector preserva el grado: ^[2] ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(\left\langle A\right\rangle _{r})=\left\langle {\underline {\mathsf {f}}}(A)\right\rangle _{r}}$

donde la notación indica la parte -vectorial de . ${\displaystyle \langle ~\rangle _{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

Como cualquier vector puede escribirse como , se deduce que los escalares no se ven afectados por . ^[b] De manera similar, como solo hay un pseudoescalar hasta un multiplicador escalar, debemos tener . El determinante se define como el factor de proporcionalidad: ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=1\wedge x}$ ${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$ ${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(I)\propto I}$

${\displaystyle \det {\mathsf {f}}={\underline {\mathsf {f}}}(I)I^{-1}}$

El subrayado no es necesario en este contexto porque el determinante de una función es el mismo que el determinante de su adjunta. El determinante de la composición de funciones es el producto de los determinantes:

${\displaystyle \det({\mathsf {f}}\circ {\mathsf {g}})=\det {\mathsf {f}}\det {\mathsf {g}}}$

Si el determinante de una función no es cero, entonces la función tiene una inversa dada por

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {{\overline {\mathsf {f}}}(XI)I^{-1}}{\det {\mathsf {f}}}}={\overline {\mathsf {f}}}(XI)[{\overline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1},}$

y lo mismo hace su adjunto, con

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {I^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX)}{\det {\mathsf {f}}}}=[{\underline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX).}$

Los conceptos de valores propios y vectores propios pueden generalizarse a los morfismos externos. Sea un número real y sea una hoja (no nula) de grado . Decimos que a es una hoja propia de la función con valor propio si ^[4] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(B)=\lambda B.}$

Puede parecer extraño considerar solo valores propios reales, ya que en álgebra lineal los valores propios de una matriz con todas las entradas reales pueden tener valores propios complejos. Sin embargo, en álgebra geométrica, las aspas de diferentes grados pueden exhibir una estructura compleja. Dado que tanto los vectores como los pseudovectores pueden actuar como aspas propias, cada uno puede tener un conjunto de valores propios que coincidan con los grados de libertad de los valores propios complejos que se encontrarían en el álgebra lineal ordinaria.

Ejemplos

Mapas simples

El mapa de identidad y el operador de proyección escalar son morfismos externos.

Versores

La rotación de un vector por un rotor viene dada por ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f(x)=RxR^{-1}}$

con externalmorfismo

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(X)=RXR^{-1}.}$

Comprobamos que ésta es la forma correcta del externalmorfismo. Como las rotaciones se construyen a partir del producto geométrico, que tiene la propiedad distributiva, deben ser lineales. Para ver que las rotaciones también son externalmorfismos, recordamos que las rotaciones conservan los ángulos entre los vectores: ^[5]

${\displaystyle x\cdot y=(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})}$

A continuación, intentamos ingresar un elemento de grado superior y verificamos que sea consistente con la rotación original de los vectores:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge y)&=R(x\wedge y)R^{-1}\\&=R(xy-x\cdot y)R^{-1}\\&=RxyR^{-1}-R(x\cdot y)R^{-1}\\&=RxR^{-1}RyR^{-1}-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+x\cdot y-x\cdot y\\&=f(x)\wedge f(y)\end{aligned}}}$

Operadores de proyección ortogonal

El operador de proyección ortogonal sobre una hoja es un morfismo externo: ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(x\wedge y)={\mathcal {P}}_{B}(x)\wedge {\mathcal {P}}_{B}(y).}$

Nonexample – operador de rechazo ortogonal

A diferencia del operador de proyección ortogonal, el rechazo ortogonal de una cuchilla es lineal pero no es un morfismo externo: ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(1)=1-{\mathcal {P}}_{B}(1)=0\neq 1.}$

Operador de proyección de calificaciones sin ejemplo

Un ejemplo de una función multivectorial que es lineal pero no es un externalmorfismo es la proyección de calificación donde la calificación es distinta de cero, por ejemplo, la proyección sobre la calificación 1:

${\displaystyle \langle x\wedge y\rangle _{1}=0}$

${\displaystyle \langle x\rangle _{1}\wedge \langle y\rangle _{1}=x\wedge y}$

Notas

1. Véase particularmente Álgebra exterior § Funcionalidad .
2. Excepto en el caso donde es el mapa cero , cuando lo requiere el axioma. ${\displaystyle f}$

Citas

1. Dorst, Doran y Lasenby 2001.
2. Hestenes y Sobczyk 1987, pág. 68. ( aquí en Google Books )
3. Hestenes y Sobczyk 1987, pág. 70. ( aquí en Google Books )
4. Hestenes y Sobczyk 1987, pág. 76. ( aquí en Google Books )
5. Perwass 2008.

Referencias

• Hestenes, D.; Sobczyk, G. (1987), Álgebra de Clifford para cálculo geométrico: un lenguaje unificado para matemáticas y física, Teorías fundamentales de la física, vol. 5, Springer, ISBN 90-277-2561-6
• Crumeyrolle, A.; Ablamowicz, R.; Lounesto, P. (1995), Álgebras de Clifford y estructuras de espinores: un volumen especial dedicado a la memoria de Albert Crumeyrolle (1919–1992), Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 321, Springer, pág. 105, ISBN 0-7923-3366-7
• Baylis, WE (1996), Álgebras de Clifford (geométricas): con aplicaciones en física, matemáticas e ingeniería, Springer, pág. 71, ISBN 0-8176-3868-7
• Dorst, L.; Doran, CJL; Lasenby, J. (2001), Aplicaciones del álgebra geométrica en la ciencia informática y la ingeniería, Springer, pág. 61, ISBN 0-8176-4267-6
• D'Orangeville, C.; Anthony, A.; Lasenby, N. (2003), Álgebra geométrica para físicos, Cambridge University Press, pág. 343, ISBN 0-521-48022-1
• Perwass, C. (2008), Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería, geometría y computación, vol. 4, Springer, pág. 23, ISBN 3-540-89067-X
• Joot, P. (2014), Explorando la física con álgebra geométrica, pág. 157