Espacio vectorial ordenado

Espacio vectorial con orden parcial.

Un punto en y el conjunto de todos los tales que (en rojo). El orden aquí es si y sólo si y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x_{1}\leq y_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}\leq y_{2}.}$

En matemáticas , un espacio vectorial ordenado o espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio vectorial dotado de un orden parcial que es compatible con las operaciones en el espacio vectorial.

Definición

Dado un espacio vectorial sobre los números reales y un preorden en el conjunto , el par se llama espacio vectorial preordenado y decimos que el preorden es compatible con la estructura del espacio vectorial de y llamamos a un preorden vectorial si es para todos y con los dos siguientes los axiomas se satisfacen ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,z\in X}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\geq 0}$

1. ${\displaystyle x\leq y}$implica ${\displaystyle x+z\leq y+z,}$
2. ${\displaystyle y\leq x}$implica ${\displaystyle ry\leq rx.}$

Si un orden parcial es compatible con la estructura del espacio vectorial de entonces se llama espacio vectorial ordenado y se llama orden parcial vectorial en Los dos axiomas implican que las traslaciones y las homotecias positivas son automorfismos de la estructura de orden y el mapeo es un isomorfismo de la estructura de doble orden . Los espacios vectoriales ordenados son grupos ordenados según su operación de suma. Tenga en cuenta que si y sólo si ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\mapsto -x}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle -y\leq -x.}$

Conos positivos y su equivalencia con los ordenamientos.

Un subconjunto de un espacio vectorial se llama cono si para todo real. Un cono se llama puntiagudo si contiene el origen. Un cono es convexo si y sólo si La intersección de cualquier familia de conos no vacía (resp. conos convexos) es nuevamente un cono (resp. cono convexo); Lo mismo ocurre con la unión de una familia de conos creciente (bajo inclusión establecida ) (respectivamente, conos convexos). Se dice que un cono en un espacio vectorial se genera si ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle rC\subseteq C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C+C\subseteq C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=C-C.}$

Dado un espacio vectorial preordenado, el subconjunto de todos los elementos que satisfacen es un cono convexo puntiagudo con vértice (es decir, contiene ) llamado cono positivo de y denotado por Los elementos del cono positivo se llaman positivos . Si y son elementos de un espacio vectorial preordenado entonces si y solo si El cono positivo se genera si y solo si es un conjunto dirigido bajo Dado cualquier cono convexo puntiagudo con vértice se puede definir un preorden que sea compatible con la estructura del espacio vectorial de declarando para todos que si y sólo si el cono positivo de este espacio vectorial preordenado resultante es. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre conos convexos puntiagudos con preordenes de vértices y vectores en ^[1] Si está preordenado entonces podemos formar un relación de equivalencia al definir es equivalente a si y solo si y si es la clase de equivalencia que contiene el origen entonces es un subespacio vectorial de y es un espacio vectorial ordenado bajo la relación: si y solo existe y tal que ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {PosCone} X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in X^{+}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in C;}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x;}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/N}$ ${\displaystyle A\leq B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\leq b.}$

Un subconjunto de un espacio vectorial se llama cono propio si es un cono convexo de vértice que satisface explícitamente, es un cono propio si (1) (2) para todos y (3) ^[2] La intersección de cualquier espacio vectorial no vacío familia de conos propios es nuevamente un cono propio. Cada cono propio en un espacio vectorial real induce un orden en el espacio vectorial al definir si y sólo si y además, el cono positivo de este espacio vectorial ordenado será Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los conos convexos propios de y los órdenes parciales del vector en ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C+C\subseteq C,}$ ${\displaystyle rC\subseteq C}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in C,}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Por ordenamiento total de vectores nos referimos a un orden total que es compatible con la estructura del espacio vectorial de La familia de ordenamientos totales de vectores en un espacio vectorial está en correspondencia uno a uno con la familia de todos los conos propios que son máximos bajo inclusión del conjunto. ^[1] Un orden vectorial total no puede ser Arquímedes si su dimensión , considerada como un espacio vectorial sobre los reales, es mayor que 1. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Si y son dos ordenamientos de un espacio vectorial con conos positivos y respectivamente, entonces decimos que es más fino que si ^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\subseteq Q.}$

Ejemplos

Los números reales con el orden habitual forman un espacio vectorial totalmente ordenado. Para todos los números enteros el espacio euclidiano considerado como un espacio vectorial sobre los reales con el orden lexicográfico forma un espacio vectorial preordenado cuyo orden es de Arquímedes si y sólo si . ^[3] ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$

orden puntual

Si es cualquier conjunto y si es un espacio vectorial (sobre los reales) de funciones con valores reales, entonces el orden puntual de está dado por, para todos , si y solo si para todos ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,g\in X,}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(s)\leq g(s)}$ ${\displaystyle s\in S.}$

Los espacios a los que normalmente se les asigna este orden incluyen:

• el espacio de mapas acotados de valor real en ${\displaystyle \ell ^{\infty }(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S.}$
• el espacio de secuencias de valores reales que convergen a ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 0.}$
• el espacio de funciones continuas de valor real en un espacio topológico ${\displaystyle C(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S.}$
• para cualquier número entero no negativo, el espacio euclidiano se considera como el espacio donde se da la topología discreta . ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C(\{1,\dots ,n\},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S=\{1,\dots ,n\}}$

El espacio de todos los mapas mensurables de valor real delimitados en casi todas partes donde el pedido anticipado se define para todos por si y solo si en casi todas partes. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(s)\leq g(s)}$

Intervalos y el orden vinculado dual

Un intervalo de orden en un espacio vectorial preordenado se establece de la forma

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ or }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}}$$

orden acotado^[2]equilibrado^[2]unidad de ordenabsorbente^[2] ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y}$ ${\displaystyle [a,b];}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle [-x,x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-x,x]}$

El conjunto de todos los funcionales lineales en un espacio vectorial preordenado que asigna cada intervalo de orden a un conjunto acotado se llama orden dual de y se denota por ^[2] Si un espacio es ordenado, entonces su orden dual es un subespacio vectorial de su algebraico doble . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$

Un subconjunto de un espacio vectorial ordenado se llama orden completo si para cada subconjunto no vacío tal que está acotado en orden en ambos y existe y son elementos de Decimos que un espacio vectorial ordenado es de orden completo es un subconjunto de orden completo de ^{[4 ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sup B}$ ${\displaystyle \inf B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

Si es un espacio vectorial preordenado sobre los reales con unidad de orden, entonces el mapa es un funcional sublineal . ^[3] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}}$

Propiedades

Si es un espacio vectorial preordenado entonces para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$

• ${\displaystyle x\geq 0}$e implicar ^[3] ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle x+y\geq 0.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$si y sólo si ^[3] ${\displaystyle -y\leq -x.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$e implicar ^[3] ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle rx\geq ry.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$si y sólo si si y sólo si ^[3] ${\displaystyle y=\sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle x=\inf\{x,y\}}$
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$existe si y sólo si existe, en cuyo caso ^[3] ${\displaystyle \inf\{-x,-y\}}$ ${\displaystyle \inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$existe si y sólo si existe, en cuyo caso para todos ^[3] ${\displaystyle \inf\{x,y\}}$ ${\displaystyle z\in X,}$
  • ${\displaystyle \sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},}$y
  • ${\displaystyle \inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}}$
  • ${\displaystyle x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle X}$es una red vectorial si y sólo si existe para todos ^[3] ${\displaystyle \sup\{0,x\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Espacios de mapas lineales.

Se dice que un cono genera si es igual a todo el espacio vectorial. ^[2] Si y son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con respectivos conos positivos y luego se generan en si y solo si el conjunto es un cono propio en el cual está el espacio de todos los mapas lineales desde En este caso, el orden definido por se llama ordenamiento canónico de ^[2] Más generalmente, si hay algún subespacio vectorial de tal que sea un cono propio, el orden definido por se llama ordenamiento canónico de ^[2] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C-C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}}$ ${\displaystyle L(X;W),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L(X;W).}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L(X;W)}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle M.}$

Funcionales positivos y el orden dual.

Una función lineal en un espacio vectorial preordenado se llama positiva si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle x\geq 0}$implica ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$
2. si entonces ^[3] ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial con cono positivo llamado cono dual y denotado por es un cono igual al polar de El preorden inducido por el cono dual en el espacio de funcionales lineales se llama ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C^{*},}$ ${\displaystyle -C.}$ ${\displaystyle X}$reserva doble . ^[3]

El orden dual de un espacio vectorial ordenado es el conjunto, denotado por definido por Aunque existen espacios vectoriales ordenados para los cuales no se cumple la igualdad de conjuntos. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+},}$ ${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$ ${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}$

Tipos especiales de espacios vectoriales ordenados.

Sea un espacio vectorial ordenado. Decimos que un espacio vectorial ordenado es de Arquímedes y que el orden de es de Arquímedes si siempre que in es mayorizado (es decir, existe algo tal que para todos ) entonces ^[2] Un espacio vectorial topológico ( TVS) que es un espacio vectorial ordenado es necesariamente de Arquímedes si su cono positivo es cerrado. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{nx:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle nx\leq y}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\leq 0.}$

Decimos que un espacio vectorial preordenado está regularmente ordenado y que su orden es regular si es de Arquímedes y distingue puntos en ^[2] Esta propiedad garantiza que haya suficientes formas lineales positivas para poder utilizar con éxito las herramientas de la dualidad para estudiar espacios vectoriales ordenados. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X.}$

Un espacio vectorial ordenado se llama red vectorial si para todos los elementos existen el supremo y el mínimo . ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \sup(x,y)}$ ${\displaystyle \inf(x,y)}$

Subespacios, cocientes y productos.

En todo momento, sea un espacio vectorial preordenado con cono positivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

Subespacios

Si es un subespacio vectorial de entonces el orden canónico inducido por el cono positivo de es el orden parcial inducido por el cono convexo puntiagudo donde este cono es propio si es propio. ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap M,}$ ${\displaystyle C}$

Espacio cociente

Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado la proyección canónica, y sea Entonces un cono que induce un preordenamiento canónico en el espacio cociente. Si es un cono propio, entonces se convierte en un espacio vectorial ordenado. ^[2] Si está saturado, entonces define el orden canónico de ^[1] Nota que proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado donde no hay un cono adecuado. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$ ${\displaystyle \pi (C)}$

Si también es un espacio vectorial topológico (TVS) y si para cada vecindad del origen existe una vecindad del origen tal que entonces es un cono normal para la topología del cociente . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [(U+N)\cap C]\subseteq V+N}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$

Si es una red vectorial topológica y es una subred sólida cerrada, entonces también es una red vectorial topológica. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/L}$

Producto

Si es cualquier conjunto, entonces el espacio de todas las funciones desde dentro está ordenado canónicamente por el cono adecuado ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$

Supongamos que es una familia de espacios vectoriales preordenados y que el cono positivo de es. Entonces es un cono convexo puntiagudo en el que se determina un orden canónico. Es un cono propio si todos son conos propios. ^[2] ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }.}$ ${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$

Suma directa algebraica

La suma directa algebraica de es un subespacio vectorial de que recibe el ordenamiento del subespacio canónico heredado de ^[2] Si hay subespacios vectoriales ordenados de un espacio vectorial ordenado, entonces es la suma directa ordenada de estos subespacios si se cumple el isomorfismo algebraico canónico de onto (con el orden canónico del producto) es un isomorfismo de orden . ^[2] ${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$

Ejemplos

• Los números reales con el orden habitual son un espacio vectorial ordenado.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$es un espacio vectorial ordenado con la relación definida de cualquiera de las siguientes maneras (en orden de fuerza creciente, es decir, conjuntos de pares decrecientes): ${\displaystyle \,\leq \,}$
  • Orden lexicográfico : si y sólo si o Este es un orden total . El cono positivo está dado por o sea, en coordenadas polares , el conjunto de puntos cuya coordenada angular satisface junto con el origen. ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ ${\displaystyle a<c}$ ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b\leq d).}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle (x=0{\text{ and }}y\geq 0),}$ ${\displaystyle -\pi /2<\theta \leq \pi /2,}$
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$si y sólo si y (el pedido del producto de dos copias de con ). Este es un pedido parcial. El cono positivo viene dado por y es decir, en coordenadas polares junto con el origen. ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle y\geq 0,}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2,}$
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$si y sólo si o (el cierre reflexivo del producto directo de dos copias de con "<"). Esta también es una orden parcial. El cono positivo viene dado por o es decir, en coordenadas polares, junto con el origen. ${\displaystyle (a<c{\text{ and }}b<d)}$ ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b=d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x>0{\text{ and }}y>0)}$ ${\displaystyle x=y=0),}$ ${\displaystyle 0<\theta <\pi /2,}$

Sólo el segundo orden es, como subconjunto de cerrado; ver órdenes parciales en espacios topológicos . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

Para el tercer orden, los " intervalos " bidimensionales son conjuntos abiertos que generan la topología. ${\displaystyle p<x<q}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es un espacio vectorial ordenado con la relación definida de manera similar. Por ejemplo, para el segundo orden mencionado anteriormente: ${\displaystyle \,\leq \,}$
  • ${\displaystyle x\leq y}$si y solo si para ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
• Un espacio de Riesz es un espacio vectorial ordenado donde el orden da lugar a una red .
• El espacio de funciones continuas en donde si y solo si para todos en ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,1].}$

Ver también

• Topología de orden (análisis funcional)  : topología de un espacio vectorial ordenado
• Campo ordenado  : objeto algebraico con una estructura ordenada
• Grupo ordenado  – Grupo con un pedido parcial compatiblePages displaying short descriptions of redirect targets
• Anillo pedido  – anillo con un pedido total compatiblePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio parcialmente ordenado  - Espacio topológico parcialmente ordenado
• Orden de producto
• Espacio de Riesz  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red
• Red vectorial topológica
• Red vectorial  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una redPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 205-209.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 139-153.
4. Schaefer y Wolff 1999, págs. 204-214.

Bibliografía

• Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (2003). Espacios de Riesz localmente sólidos con aplicaciones a la economía (Segunda ed.). Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-3408-8.
• Bourbaki, Nicolás ; Elementos de Matemáticas: Espacios vectoriales topológicos ; ISBN 0-387-13627-4 . 
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Wang (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.