Operador Szász-Mirakyan

En análisis funcional , una disciplina dentro de las matemáticas , los operadores Szász-Mirakyan (también escritos "Mirakjan" y "Mirakian") son generalizaciones de polinomios de Bernstein a intervalos infinitos, introducidos por Otto Szász en 1950 y GM Mirakjan en 1941. Están definidos por

${\displaystyle \left[{\mathcal {S}}_{n}(f)\right](x):=e^{-nx}\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {(nx)^{k}}{k!}}f\left({\tfrac {k}{n}}\right)}}$

dónde y . ^{[1] [2]} ${\displaystyle x\in [0,\infty )\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Resultados básicos

En 1964, Cheney y Sharma demostraron que si es convexa y no lineal, la secuencia disminuye con ( ). ^[3] También demostraron que si es un polinomio de grado , también lo es para todos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ({\mathcal {S}}_{n}(f))_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(f)\geq f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \leq m}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(f)}$ ${\displaystyle n}$

Horová mostró un reverso de la primera propiedad en 1968 (Altomare y Campiti 1994:350).

Teorema de la convergencia

En el artículo original de Szász, demostró lo siguiente como Teorema 3 de su artículo:

Si es continua en , y tiene un límite finito en el infinito, entonces converge uniformemente a as . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Esto es análogo a un teorema que establece que los polinomios de Bernstein se aproximan a funciones continuas en [0,1] .

Generalizaciones

A veces se analiza en la literatura una generalización del tipo Kantorovich . Estas generalizaciones también se denominan operadores de Szász-Mirakjan-Kantorovich .

En 1976, CP May demostró que los operadores Baskakov pueden reducirse a los operadores Szász-Mirakyan. ^[4]

Referencias

• Altomare, Francesco; Michele Campiti (1994). Teoría de aproximación tipo Korovkin y sus aplicaciones . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-014178-7.
• Favard, Jean (1944). "Sobre los multiplicadores de interpolación". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés). 23 (9): 219–247.(Ver también: Operadores Favard )
• Horová, Ivana (1968). "Operadores lineales positivos de funciones convexas". Matemática (Cluj) . 10 (33): 275–283. Zbl  0186.11101.
• Kac, Mark (1938). "Une remarque sur les polynomes de MS Bernstein" (PDF) . Studia Mathematica (en francés). 7 : 49–51. doi :10.4064/sm-7-1-49-51. Zbl  0018.20704.
• Kac, M. (1939). "Reconocimiento de prioridad relativa a ma nota 'Une remarque sur les polynomes de MS Bernstein'" (PDF) . Studia Mathematica (en francés). 8 : 170. JFM  65.0248.03.
• Mirakjan, GM (1941). "Aproximación de funciones continuas au moyen de polynômes de la forme " [Aproximación de funciones continuas con ayuda de polinomios de la forma ]. Comptes rendus de l'Académie des sciences de l'URSS (en francés). 31 : 201-205. JFM  67.0216.03. ${\displaystyle e^{-nx}\sum _{k=0}^{m_{n}}{C_{k,n}x^{k}}}$ ${\displaystyle e^{-nx}\sum _{k=0}^{m_{n}}{C_{k,n}x^{k}}}$
• Wood, B. (julio de 1969). "Operadores de Szasz generalizados para la aproximación en el dominio complejo". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 17 (4): 790–801. doi :10.1137/0117071. JSTOR  2099320. Zbl  0182.08801.

Notas a pie de página

1. Szász, Otto (1950). "Generalizaciones de los polinomios de S. Bernstein al intervalo infinito" (PDF) . Revista de Investigación de la Oficina Nacional de Normas . 45 (3): 239–245. doi : 10.6028/jres.045.024 .
2. Walczak, Zbigniew (2003). "Sobre los operadores Szasz-Mirakyan modificados" (PDF) . Revista de Matemáticas de Novi Sad . 33 (1): 93-107.
3. Cheney, Edward W.; A. Sharma (1964). "Serie de poderes de Bernstein". Revista Canadiense de Matemáticas . 16 (2): 241–252. doi : 10.4153/cjm-1964-023-1 .
4. Mayo, CP (1976). "Teoremas de saturación y inversa para combinaciones de una clase de operadores de tipo exponencial". Revista Canadiense de Matemáticas . 28 (6): 1224-1250. doi : 10.4153/cjm-1976-123-8 .