Operador d'Alembert

Operador diferencial de segundo orden

En relatividad especial , electromagnetismo y teoría ondulatoria , el operador de d'Alembert (denotado por un recuadro: ), también llamado operador d'Alembertiano , operador de onda , operador de recuadro o, a veces, operador quabla ^[1] ( cf. símbolo nabla ) es el operador de Laplace del espacio de Minkowski . El operador recibe su nombre del matemático y físico francés Jean le Rond d'Alembert . ${\displaystyle \Box }$

En el espacio de Minkowski, en coordenadas estándar ( t , x , y , z ) , tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}}$

Aquí está el laplaciano tridimensional y η ^μν es la métrica inversa de Minkowski con ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\Delta }$

${\displaystyle \eta _{00}=1}$, , para . ${\displaystyle \eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \mu \neq \nu }$

Téngase en cuenta que los índices de suma μ y ν varían de 0 a 3: consulte la notación de Einstein .

(Algunos autores utilizan alternativamente la firma métrica negativa de (− + + +) , con .) ${\displaystyle \eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1}$

Las transformaciones de Lorentz dejan invariante la métrica de Minkowski , por lo que el d'Alembertiano produce un escalar de Lorentz . Las expresiones de coordenadas anteriores siguen siendo válidas para las coordenadas estándar en todos los sistemas inerciales.

El símbolo de la caja y notaciones alternativas

Existen diversas notaciones para el d'Alembertiano. Las más comunes son el símbolo de caja ( Unicode : U+2610 ☐ BALLOT BOX ), cuyos cuatro lados representan las cuatro dimensiones del espacio-tiempo, y el símbolo de caja cuadrada , que enfatiza la propiedad escalar a través del término al cuadrado (de manera muy similar al laplaciano ). En consonancia con la notación triangular para el laplaciano , a veces se utiliza . ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta _{M}}$

Otra forma de escribir el d'Alembertiano en coordenadas estándar planas es . Esta notación se utiliza ampliamente en la teoría cuántica de campos , donde las derivadas parciales suelen estar indexadas, por lo que la falta de un índice con la derivada parcial al cuadrado indica la presencia del d'Alembertiano. ${\displaystyle \partial ^{2}}$

A veces, el símbolo de caja se utiliza para representar la derivada covariante de Levi-Civita de cuatro dimensiones . El símbolo se utiliza entonces para representar las derivadas espaciales, pero esto depende del gráfico de coordenadas . ${\displaystyle \nabla }$

Aplicaciones

La ecuación de onda para pequeñas vibraciones tiene la forma

${\displaystyle \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,}$

donde u ( x , t ) es el desplazamiento.

La ecuación de onda para el campo electromagnético en el vacío es

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

donde A ^μ es el cuatro-potencial electromagnético en el calibre de Lorenz .

La ecuación de Klein-Gordon tiene la forma

${\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0~.}$

Función de Green

La función de Green , , para el d'Alembertiano está definida por la ecuación ${\displaystyle G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

${\displaystyle \Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

donde es la función delta de Dirac multidimensional y y son dos puntos en el espacio de Minkowski. ${\displaystyle \delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}'}$

Una solución especial la da la función de Green retardada , que corresponde a la propagación de la señal sólo hacia adelante en el tiempo ^[2].

${\displaystyle G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}$

¿Dónde está la función escalón de Heaviside ? ${\displaystyle \Theta }$

Véase también

• Cuatro gradientes
• La fórmula de d'Alembert
• Ecuación de Klein-Gordon
• Conducción de calor relativista
• Cálculo de Ricci
• Ecuación de onda

Referencias

1. Bartelmann, Matías; Feuerbacher, Björn; Krüger, Timm; Lujuria, Dieter; Rebhan, Antón; Wipf, Andreas (2015). Theoretische Physik (edición de agosto de 2015). Berlín, Heidelberg. ISBN 978-3-642-54618-1.OCLC 899608232  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. S. Siklos. «La función de Green causal para la ecuación de onda» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 30 de noviembre de 2016. Consultado el 2 de enero de 2013 .

Enlaces externos

• "Operador D'Alembert", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Poincaré, Henri (1906). Traducción:Sobre la dinámica del electrón (julio)  – vía Wikisource ., impreso originalmente en Rediconti del Circolo Matematico di Palermo .
• Weisstein, Eric W. "d'Alembertian". MundoMatemático .