Antiderivada

Concepto en cálculo

El campo de pendientes de , que muestra tres de las infinitas soluciones que se pueden producir variando la constante arbitraria c . ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c}$

En cálculo , una primitiva , derivada inversa , función primitiva , integral primitiva o integral indefinida ^{[Nota 1]} de una función f es una función diferenciable F cuya derivada es igual a la función original f . Esto se puede expresar simbólicamente como F' = f . ^{[1] [2]} El proceso de resolución de antiderivadas se llama antidiferenciación (o integración indefinida ), y su operación opuesta se llama diferenciación , que es el proceso de encontrar una derivada. Las antiderivadas a menudo se indican con letras romanas mayúsculas como F y G.

Las antiderivadas están relacionadas con las integrales definidas a través del segundo teorema fundamental del cálculo : la integral definida de una función en un intervalo cerrado donde la función es integrable de Riemann es igual a la diferencia entre los valores de una antiderivada evaluada en los puntos finales del intervalo.

En física , las antiderivadas surgen en el contexto del movimiento rectilíneo (por ejemplo, al explicar la relación entre posición , velocidad y aceleración ). ^[3] El equivalente discreto de la noción de antiderivada es antidiferencia .

Ejemplos

La función es una antiderivada de , ya que la derivada de es . Y dado que la derivada de una constante es cero , tendrá un número infinito de antiderivadas, como por ejemplo , etc. Así, todas las antiderivadas de se pueden obtener cambiando el valor de c en , donde c es una constante arbitraria conocida como constante de integración . Esencialmente, las gráficas de las primitivas de una función dada son traslaciones verticales entre sí, y la ubicación vertical de cada gráfica depende del valor c . ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c}$

De manera más general, la función de potencia tiene primitiva si n ≠ −1 y si n = −1 . ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c}$ ${\displaystyle F(x)=\log |x|+c}$

En física , la integración de la aceleración produce la velocidad más una constante. La constante es el término de velocidad inicial que se perdería al tomar la derivada de la velocidad, porque la derivada de un término constante es cero. Este mismo patrón se aplica a otras integraciones y derivadas del movimiento (posición, velocidad, aceleración, etc.). ^[3] Así, la integración produce las relaciones de aceleración, velocidad y desplazamiento :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,\mathrm {d} t&=v+C\\\int v\,\mathrm {d} t&=s+C\end{aligned}}}$$

Usos y propiedades

Las antiderivadas se pueden utilizar para calcular integrales definidas , utilizando el teorema fundamental del cálculo : si F es una antiderivada de la función continua f en el intervalo , entonces: ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}$$

Debido a esto, cada una de las infinitas primitivas de una función dada f puede denominarse "integral indefinida" de f y escribirse usando el símbolo integral sin límites:

$${\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Si F es una primitiva de f , y la función f está definida en algún intervalo, entonces cualquier otra primitiva G de f difiere de F en una constante: existe un número c tal que para todo x . c se llama constante de integración . Si el dominio de F es una unión disjunta de dos o más intervalos (abiertos), entonces se puede elegir una constante de integración diferente para cada uno de los intervalos. Por ejemplo ${\displaystyle G(x)=F(x)+c}$

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}$$

es la antiderivada más general de en su dominio natural ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty ).}$

Cada función continua f tiene una primitiva, y una primitiva F viene dada por la integral definida de f con límite superior variable:

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t~,}$$

afteorema fundamental del cálculo

Hay muchas funciones cuyas antiderivadas, aunque existen, no pueden expresarse en términos de funciones elementales (como polinomios , funciones exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas y sus combinaciones). Ejemplos de estos son

• la función de error
  $${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,}$$
• la función de Fresnel
  $${\displaystyle \int \sin x^{2}\,\mathrm {d} x,}$$
• la integral seno
  $${\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x,}$$
• la función integral logarítmica
  $${\displaystyle \int {\frac {1}{\log x}}\,\mathrm {d} x,}$$
  y
• el sueño del estudiante de segundo año
  $${\displaystyle \int x^{x}\,\mathrm {d} x.}$$

Para una discusión más detallada, véase también Teoría diferencial de Galois .

Técnicas de integración

Encontrar antiderivadas de funciones elementales suele ser considerablemente más difícil que encontrar sus derivadas (de hecho, no existe un método predefinido para calcular integrales indefinidas). ^[4] Para algunas funciones elementales, es imposible encontrar una antiderivada en términos de otras funciones elementales. Para obtener más información, consulte funciones elementales e integral no elemental .

Existen muchas propiedades y técnicas para encontrar antiderivadas. Estos incluyen, entre otros:

• La linealidad de la integración (que divide integrales complicadas en otras más simples)
• Integración por sustitución , a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo natural
• El método de la regla de la cadena inversa (un caso especial de integración por sustitución)
• Integración por partes (para integrar productos de funciones)
• Integración de función inversa (fórmula que expresa la antiderivada de la inversa f ⁻¹ de una función invertible y continua f , en términos de la antiderivada de f y de f ⁻¹ ).
• El método de fracciones parciales en integración (que nos permite integrar todas las funciones racionales —fracciones de dos polinomios)
• El algoritmo de Risch
• Técnicas adicionales para integraciones múltiples (ver por ejemplo integrales dobles , coordenadas polares , el jacobiano y el teorema de Stokes )
• Integración numérica (una técnica para aproximar una integral definida cuando no existe una primitiva elemental, como en el caso de exp(− x ² ) )
• Manipulación algebraica del integrando (para que se puedan utilizar otras técnicas de integración, como la integración por sustitución)
• Fórmula de Cauchy para integración repetida (para calcular la primitiva n veces de una función)
  $${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.}$$

Los sistemas de álgebra informática se pueden utilizar para automatizar parte o la totalidad del trabajo involucrado en las técnicas simbólicas anteriores, lo cual es particularmente útil cuando las manipulaciones algebraicas involucradas son muy complejas o largas. Las integrales que ya se han obtenido se pueden buscar en una tabla de integrales .

De funciones no continuas

Las funciones no continuas pueden tener antiderivadas. Si bien aún quedan interrogantes abiertos en este ámbito, se sabe que:

• Sin embargo, algunas funciones altamente patológicas con grandes conjuntos de discontinuidades pueden tener antiderivadas.
• En algunos casos, las primitivas de tales funciones patológicas pueden encontrarse mediante integración de Riemann , mientras que en otros casos estas funciones no son integrables de Riemann.

Suponiendo que los dominios de las funciones son intervalos abiertos:

• Una condición necesaria, pero no suficiente, para que una función f tenga una primitiva es que f tenga la propiedad de valor intermedio . Es decir, si [ a , b ] es un subintervalo del dominio de f y y es cualquier número real entre f ( a ) y f ( b ) , entonces existe una c entre a y b tal que f ( c ) = y . Esta es una consecuencia del teorema de Darboux .
• El conjunto de discontinuidades de f debe ser un conjunto escaso . Este conjunto también debe ser un conjunto F-sigma (ya que el conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser de este tipo). Además, para cualquier conjunto F-sigma escaso, se puede construir alguna función f que tenga una antiderivada, que tenga el conjunto dado como su conjunto de discontinuidades.
• Si f tiene una primitiva, está acotada por subintervalos finitos cerrados del dominio y tiene un conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue 0, entonces se puede encontrar una primitiva mediante integración en el sentido de Lebesgue. De hecho, al utilizar integrales más potentes como la integral de Henstock-Kurzweil , toda función para la que existe una antiderivada es integrable y su integral general coincide con su antiderivada.
• Si f tiene una primitiva F en un intervalo cerrado , entonces, para cualquier elección de partición , si se eligen puntos muestrales como lo especifica el teorema del valor medio , entonces la suma de Riemann correspondiente se ajusta al valor . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle F(b)-F(a)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}$$
  Sin embargo, si f no está acotada, o si f está acotada pero el conjunto de discontinuidades de f tiene una medida de Lebesgue positiva, una elección diferente de puntos muestrales puede dar un valor significativamente diferente para la suma de Riemann, sin importar cuán fina sea la partición. Vea el Ejemplo 4 a continuación. ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

Algunos ejemplos

1. La función
   $${\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)}$$
   con no es continua en pero tiene la primitiva ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$
   $${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$$
   con . Dado que f está acotada en intervalos finitos cerrados y sólo es discontinua en 0, la primitiva F puede obtenerse por integración: . ${\displaystyle F(0)=0}$ ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
2. La función
   $${\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$$
   con no es continua en pero tiene la primitiva ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$
   $${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$$
   con . A diferencia del ejemplo 1, f ( x ) no está acotada en cualquier intervalo que contenga 0, por lo que la integral de Riemann no está definida. ${\displaystyle F(0)=0}$
3. Si f ( x ) es la función del ejemplo 1 y F es su antiderivada, y es un subconjunto contable denso del intervalo abierto, entonces la función ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (-1,1),}$
   $${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}}$$
   tiene una antiderivada
   $${\displaystyle G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.}$$
   El conjunto de discontinuidades de g es precisamente el conjunto . Dado que g está acotado en intervalos finitos cerrados y el conjunto de discontinuidades tiene medida 0, la antiderivada G puede encontrarse por integración. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$
4. Sea un subconjunto contable denso del intervalo abierto. Considere la función continua estrictamente creciente en todas partes. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (-1,1).}$
   $${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.}$$
   Se puede demostrar que
   $${\displaystyle F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}}$$

   

   Figura 1.

   

   Figura 2.

   para todos los valores x donde la serie converge, y que la gráfica de F ( x ) tiene rectas tangentes verticales en todos los demás valores de x . En particular, la gráfica tiene líneas tangentes verticales en todos los puntos del conjunto . ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$

   Además, para todo x donde se define la derivada. De ello se deduce que la función inversa es derivable en todas partes y que ${\displaystyle F(x)\geq 0}$ ${\displaystyle G=F^{-1}}$

   $${\displaystyle g(x)=G'(x)=0}$$

   para todo x en el conjunto que es denso en el intervalo Por tanto, g tiene una primitiva G. Por otra parte, no puede ser cierto que ${\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle [F(-1),F(1)].}$

   $${\displaystyle \int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,}$$
   ya que para cualquier partición de , se pueden elegir puntos de muestra para la suma de Riemann del conjunto , dando un valor de 0 para la suma. De ello se deduce que g tiene un conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue positiva. La Figura 1 a la derecha muestra una aproximación a la gráfica de g ( x ) donde y la serie está truncada a 8 términos. La Figura 2 muestra la gráfica de una aproximación a la antiderivada G ( x ) , también truncada a 8 términos. Por otro lado, si la integral de Riemann se reemplaza por la integral de Lebesgue , entonces el lema de Fatou o el teorema de convergencia dominada muestra que g satisface el teorema fundamental del cálculo en ese contexto. ${\displaystyle [F(-1),F(1)]}$ ${\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle \{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}}$
5. En los ejemplos 3 y 4, los conjuntos de discontinuidades de las funciones g son densos sólo en un intervalo abierto finito. Sin embargo, estos ejemplos se pueden modificar fácilmente para tener conjuntos de discontinuidades que sean densos en toda la recta real . Dejar ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
   $${\displaystyle \lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.}$$
   Luego tiene un denso conjunto de discontinuidades y tiene antiderivada. ${\displaystyle g(\lambda (x))\lambda '(x)}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle G\cdot \lambda .}$
6. Usando un método similar al del Ejemplo 5, se puede modificar g en el Ejemplo 4 para que desaparezca en todos los números racionales . Si se utiliza una versión ingenua de la integral de Riemann definida como el límite de las sumas de Riemann por la izquierda o por la derecha sobre particiones regulares, se obtendrá que la integral de dicha función g en un intervalo es 0 siempre que a y b sean ambos racional, en lugar de . Por tanto, el teorema fundamental del cálculo fracasará espectacularmente. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle G(b)-G(a)}$
7. Una función que tiene una primitiva aún puede no ser integrable con Riemann. La derivada de la función de Volterra es un ejemplo.

Fórmulas básicas

• Si entonces . ${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle \int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C}$
• ${\displaystyle \int 1\ \mathrm {d} x=x+C}$
• ${\displaystyle \int a\ \mathrm {d} x=ax+C}$
• ${\displaystyle \int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\log |x|+C}$
• ${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\log a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1}$

Ver también

• Antiderivada (análisis complejo)
• Antiderivada formal
• integral de jackson
• Listas de integrales
• Integración simbólica
• Área

Notas

1. Las antiderivadas también se denominan integrales generales y, a veces, integrales . Este último término es genérico y se refiere no sólo a integrales indefinidas (antiderivadas), sino también a integrales definidas . Cuando la palabra integral se usa sin especificación adicional, se supone que el lector debe deducir del contexto si se refiere a una integral definida o indefinida. Algunos autores definen la integral indefinida de una función como el conjunto de sus infinitas antiderivadas posibles. Otros lo definen como un elemento seleccionado arbitrariamente de ese conjunto. Este artículo adopta este último enfoque. En los libros de texto de Matemáticas de nivel A en inglés se puede encontrar el término primitivo completo : L. Bostock y S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ; La solución de una ecuación diferencial que incluye la constante arbitraria se llama solución general (o, a veces, primitiva completa) .

Referencias

1. Stewart, James (2008). Cálculo: primeros trascendentales (6ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (9ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2.
3. "4.9: Antiderivadas". Matemáticas LibreTexts . 2017-04-27 . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
4. "Integración antiderivada e indefinida | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 18 de agosto de 2020 .

Otras lecturas

• Introducción al Análisis Real Clásico , de Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (ver también)
• Ensayo histórico sobre la continuidad de los derivados por Dave L. Renfro

enlaces externos

• Wolfram Integrator: integración simbólica en línea gratuita con Mathematica
• Calculadora de funciones de WIMS
• Integral en Hiperfísica
• Antiderivadas e integrales indefinidas en la Khan Academy
• Calculadora de integrales en Symbolab
• La antiderivada en el MIT
• Introducción a las integrales en SparkNotes
• Antiderivadas en Harvy Mudd College