Fórmula de Cauchy para la integración repetida

Método en matemáticas

La fórmula de Cauchy para integración repetida , llamada así en honor a Augustin-Louis Cauchy , permite comprimir n antiderivadas de una función en una única integral (cf. fórmula de Cauchy ).

Caso escalar

Sea f una función continua en la recta real. Entonces la n -ésima integral repetida de f con punto base a , está dada por integración simple $${\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},}$$ $${\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Prueba

Se da una prueba por inducción . El caso base con n = 1 es trivial, ya que es equivalente a $${\displaystyle f^{(-1)}(x)={\frac {1}{0!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Ahora, supongamos que esto es cierto para n , y demostrémoslo para n + 1. Primero, usando la regla integral de Leibniz , note que Luego, aplicando la hipótesis de inducción, Note que el término dentro del corchete tiene n veces integración sucesiva, y el límite superior de la integral más externa dentro del corchete es . Por lo tanto, comparando con el caso para n = n y reemplazando la fórmula en el paso de inducción n = n con respectivamente conduce a Poner esta expresión dentro del corchete da como resultado $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}\left[\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle x,\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n+1}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$$

• Se ha demostrado que esta afirmación es válida para el caso base . ${\displaystyle n=1}$
• Si la afirmación es verdadera para , entonces se ha demostrado que la afirmación es verdadera para . ${\displaystyle n=k}$ ${\displaystyle n=k+1}$
• De esta manera se ha demostrado que esta afirmación es cierta para todos los números enteros positivos.

Con esto finaliza la prueba.

Generalizaciones y aplicaciones

La fórmula de Cauchy se generaliza a parámetros no enteros mediante la integral de Riemann-Liouville , donde se reemplaza por , y el factorial se reemplaza por la función gamma . Las dos fórmulas coinciden cuando . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$

Tanto la fórmula de Cauchy como la integral de Riemann-Liouville se generalizan a dimensiones arbitrarias mediante el potencial de Riesz .

En el cálculo fraccionario , estas fórmulas se pueden utilizar para construir una integral diferencial , lo que permite diferenciar o integrar una cantidad fraccionaria de veces. La diferenciación de una cantidad fraccionaria de veces se puede lograr mediante la integración fraccionaria y luego diferenciando el resultado.

Referencias

• Augustin-Louis Cauchy : Trente-Cinquième Leçon . En: Résumé des leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal . Imprimerie Royale, París 1823. Reimpresión: Œuvres complètes II(4), Gauthier-Villars, París, págs.
• Gerald B. Folland, Cálculo avanzado , pág. 193, Prentice Hall (2002). ISBN  0-13-065265-2

Enlaces externos

• Alan Beardon (2000). "Cálculo fraccional II". Universidad de Cambridge.

• Maurice Mischler (2023). "Acerca de algunas integrales repetidas y polinomios asociados".