opción asiática

Una opción asiática (u opción de valor medio ) es un tipo especial de contrato de opción . Para las opciones asiáticas, la rentabilidad está determinada por el precio subyacente promedio durante un período de tiempo preestablecido. Esto es diferente del caso de la opción europea y la opción americana habituales , donde el pago del contrato de opción depende del precio del instrumento subyacente en el momento del ejercicio; Las opciones asiáticas son, pues, una de las formas básicas de opciones exóticas .

Hay dos tipos de opciones asiáticas: Opción de precio promedio (ejercicio fijo), donde el precio de ejercicio está predeterminado y el precio promedio del activo subyacente se utiliza para calcular el pago; y Opción de ejercicio promedio (ejecución flotante), donde el precio promedio del activo subyacente a lo largo de la duración se convierte en el precio de ejercicio.

Una ventaja de las opciones asiáticas es que reducen el riesgo de manipulación del mercado del instrumento subyacente al vencimiento. ^[1] Otra ventaja de las opciones asiáticas implica el costo relativo de las opciones asiáticas en comparación con las opciones europeas o americanas. Debido a la característica de promedio, las opciones asiáticas reducen la volatilidad inherente a la opción; por lo tanto, las opciones asiáticas suelen ser más baratas que las europeas o americanas. Esto puede ser una ventaja para las corporaciones que están sujetas a la Declaración revisada No. 123 de la Junta de Normas de Contabilidad Financiera , que exige que las corporaciones gasten las opciones sobre acciones de los empleados. ^[2]

Etimología

En la década de 1980, Mark Standish trabajaba en Bankers Trust, con sede en Londres, en derivados de renta fija y operaciones de arbitraje por cuenta propia. David Spaughton trabajó como analista de sistemas en los mercados financieros con Bankers Trust desde 1984, cuando el Banco de Inglaterra otorgó por primera vez licencias a los bancos para ofrecer opciones de divisas en el mercado de Londres. En 1987, Standish y Spaughton estaban en Tokio por negocios cuando "desarrollaron la primera fórmula de fijación de precios utilizada comercialmente para opciones vinculadas al precio promedio del petróleo crudo". A esta opción exótica la llamaron opción asiática porque estaban en Asia. ^{[3] [4] [5] [6]}

Permutaciones de opción asiática

Existen numerosas permutaciones de la opción asiática; los más básicos se enumeran a continuación:

• Strike fijo (o tasa promedio) Pago call asiático

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(A(0,T)-K,0\right),}$

donde A denota el precio promedio para el período [0, T] y K es el precio de ejercicio. La opción de venta
equivalente está dada por

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(K-A(0,T),0\right).}$

• Pago de opción de compra asiática de strike flotante (o tasa flotante)

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),}$

donde S(T) es el precio al vencimiento y k es una ponderación, normalmente 1 que a menudo se omite en las descripciones.
El pago equivalente de la opción de venta está dado por

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).}$

Tipos de promedio

El Promedio se puede obtener de muchas maneras. Convencionalmente, esto significa una media aritmética . En el caso continuo , esto se obtiene por ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.}$

Para el caso de seguimiento discreto (con seguimiento en los tiempos y ) tenemos el promedio dado por ${\displaystyle 0=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=T}$ ${\displaystyle t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S(t_{i}).}$

También existen opciones asiáticas con media geométrica ; en el caso continuo, esto viene dado por

${\displaystyle A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).}$

Precios de opciones asiáticas

En un artículo de Kemna y Vorst se analiza el problema de valorar las opciones asiáticas con métodos de Monte Carlo . ^[7]

En el enfoque integral de trayectoria para la valoración de opciones, ^[8] el problema del promedio geométrico se puede resolver mediante el potencial clásico efectivo ^[9] de Feynman y Kleinert . ^[10]

Rogers y Shi resuelven el problema de los precios con un enfoque PDE. ^[11]

Se puede implementar de manera eficiente un modelo Variance Gamma al fijar el precio de opciones de estilo asiático. Luego, utilizar la representación de la serie de Bondesson para generar el proceso de varianza gamma puede aumentar el rendimiento computacional del fijador de precios de opciones asiático. ^[12]

Dentro de los modelos de difusiones de salto y de volatilidad estocástica, el problema de los precios de las opciones asiáticas geométricas aún puede resolverse. ^[13] Para la opción aritmética asiática en los modelos de Lévy, se puede confiar en métodos numéricos ^[13] o en límites analíticos. ^[14]

Opciones call y put asiáticas europeas con promedio geométrico

Podemos derivar una solución de forma cerrada para la opción asiática geométrica; Cuando se utiliza junto con variables de control en simulaciones de Monte Carlo , la fórmula es útil para derivar valores razonables para la opción aritmética asiática.

Defina la media geométrica en tiempo continuo como: ${\displaystyle G_{T}}$

$${\displaystyle G_{T}=\exp \left[{1 \over {T}}\int _{0}^{T}\log S(t)dt\right]}$$

movimiento browniano geométrico ${\displaystyle S(t)}$

$${\displaystyle G_{T}=S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}}$$

${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}$

$${\displaystyle d[(T-t)W_{t}]=(T-t)dW_{t}-W_{t}dt}$$

el lema de Itôprecios martingala ${\displaystyle W_{0}=0}$ ${\displaystyle C_{G}}$

$${\displaystyle C_{G}=e^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\ell }^{\infty }\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx}$$

${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle G_{T}\geq K\implies S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}\geq K}$$

$${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}$$

la isometría de Itôdistribuye normalmente

$${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}{T \over {3}}\right)}$$

${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}$ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$

$${\displaystyle x\geq {\log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T \over {\sigma {\sqrt {T/3}}}}\equiv \ell }$$

$${\displaystyle b={1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right),\;\sigma _{G}={\sigma \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{\sqrt {T}}}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{\sqrt {T}}}$$

modelo de Black-Scholes

$${\displaystyle C_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})}$$

${\textstyle P_{G}}$

$${\displaystyle P_{G}=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (-d_{1})}$$

paridad put-call

$${\displaystyle C_{G}-P_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}-Ke^{-rT}}$$

Variaciones de la opción asiática.

Hay algunas variaciones que se venden en el mercado de venta libre. Por ejemplo, BNP Paribas introdujo una variación, denominada opción asiática condicional, donde el precio subyacente promedio se basa en observaciones de precios por encima de un umbral preespecificado. Una opción de venta asiática condicional tiene beneficios

${\displaystyle \max \left(K-{\frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)>b\}}dt}},0\right),}$

donde es el umbral y es una función indicadora que es igual si es verdadero y es igual a cero en caso contrario. Esta opción ofrece una alternativa más barata que la clásica opción de venta asiática, ya que la limitación del rango de observaciones reduce la volatilidad del precio medio. Por lo general, se vende por dinero y dura hasta cinco años. Feng y Volkmer analizan el precio de la opción asiática condicional. ^[15] ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$

Referencias

1. Kemna y Vorst 1990, pág. 1077
2. FASB (2004). Pago basado en acciones (Informe). Junta de Normas de Contabilidad Financiera. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2018 . Consultado el 7 de abril de 2010 .
3. William Falloon; David Turner, eds. (1999). "La evolución de un mercado". Gestión del riesgo del precio de la energía . Londres: Libros de riesgos.
4. Wilmott, Paul (2006). "25". Paul Wilmott sobre finanzas cuantitativas . John Wiley e hijos. pag. 427.ISBN​ 9780470060773.
5. Palmer, Brian (14 de julio de 2010), ¿Por qué llamamos "exóticos" a los instrumentos financieros? Porque algunos de ellos son de Japón., Pizarra
6. Glyn A. Holton (2013). "Opción asiática (opción promedio)". Enciclopedia de riesgos. Archivado desde el original el 6 de diciembre de 2013 . Consultado el 10 de agosto de 2013 . Una opción asiática (también llamada opción promedio) es una opción cuyo pago está vinculado al valor promedio del subyacente en un conjunto específico de fechas durante la vida de la opción". "[E]n situaciones en las que el subyacente se negocia poco o existe la posibilidad de que su precio sea manipulado, una opción asiática ofrece cierta protección. Es más difícil manipular el valor promedio de un subyacente durante un período prolongado de tiempo que manipularlo justo al vencimiento de una opción.
7. Kemna, AGZ; Vorst, ACF (1990), "Un método de fijación de precios para opciones basado en valores promedio de activos", Journal of Banking & Finance , 14 (1): 113–129, doi :10.1016/0378-4266(90)90039-5
8. Kleinert , H. (2009), Integrales de ruta en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros, archivado desde el original el 24 de abril de 2009 , consultado el 10 de enero de 2010
9. Feynman RP , Kleinert H. (1986), "Funciones de partición clásicas efectivas" (PDF) , Physical Review A , 34 (6): 5080–5084, Bibcode :1986PhRvA..34.5080F, doi :10.1103/PhysRevA.34.5080, PMID  9897894
10. APP de Devreese; Lemmens D.; Tempere J. (2010), "Enfoque integral de ruta para las opciones asiáticas en el modelo Black-Scholes", Physica A , 389 (4): 780–788, arXiv : 0906.4456 , Bibcode :2010PhyA..389..780D, doi :10.1016 /j.physa.2009.10.020, S2CID  122748812
11. Rogers, LCG; Shi, Z. (1995), "El valor de una opción asiática" (PDF) , Journal of Applied Probability , 32 (4): 1077–1088, doi :10.2307/3215221, JSTOR  3215221, S2CID  120793076, archivado desde el original (PDF) el 20 de marzo de 2009 , consultado el 28 de noviembre de 2008
12. Mattías Sander. Representación de Bondesson del modelo de varianza gamma y fijación de precios de opciones de Monte Carlo. Lunds Tekniska Högskola 2008
13. Kirkby, JL; Nguyen, Duy (2020), "Precio eficiente de opciones asiáticas bajo difusiones de salto de cambio de régimen y modelos de volatilidad estocástica", Annals of Finance , 16 (3): 307–351, doi :10.1007/s10436-020-00366-0, S2CID  8038376
14. Lemmens, Damián; Liang, Ling Zhi; Tempère, Jacques; De Schepper, Ann (2010), "Límites de precios para opciones asiáticas de aritmética discreta según los modelos de Lévy", Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones , 389 (22): 5193–5207, Bibcode :2010PhyA..389.5193L, doi :10.1016 /j.physa.2010.07.026
15. Feng, R.; Volkmer, HW (2015), "Opciones asiáticas condicionales", Revista internacional de finanzas teóricas y aplicadas , 18 (6): 1550040, arXiv : 1505.06946 , doi : 10.1142/S0219024915500405, S2CID  3245552