Variantes de control

Técnica para aumentar la precisión de las estimaciones en experimentos de Monte Carlo

El método de control de las variables es una técnica de reducción de la varianza que se utiliza en los métodos de Monte Carlo . Aprovecha la información sobre los errores en las estimaciones de cantidades conocidas para reducir el error de una estimación de una cantidad desconocida. ^{[1] [2] [3]}

Principio subyacente

Sea , el parámetro de interés desconocido , y supongamos que tenemos una estadística tal que el valor esperado de m es μ: , es decir, m es un estimador insesgado para μ. Supongamos que calculamos otra estadística tal que sea un valor conocido. Entonces ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \left[m\right]=\mu }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$

${\displaystyle m^{\star }=m+c\left(t-\tau \right)\,}$

es también un estimador insesgado para cualquier elección del coeficiente . La varianza del estimador resultante es ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m^{\star }}$

${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)={\textrm {Var}}\left(m\right)+c^{2}\,{\textrm {Var}}\left(t\right)+2c\,{\textrm {Cov}}\left(m,t\right).}$

Al diferenciar la expresión anterior con respecto a , se puede demostrar que al elegir el coeficiente óptimo ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}}$

minimiza la varianza de . (Tenga en cuenta que este coeficiente es el mismo que el coeficiente obtenido a partir de una regresión lineal ). Con esta elección, ${\displaystyle m^{\star }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)&={\textrm {Var}}\left(m\right)-{\frac {\left[{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)\right]^{2}}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}\\&=\left(1-\rho _{m,t}^{2}\right){\textrm {Var}}\left(m\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \rho _{m,t}={\textrm {Corr}}\left(m,t\right)\,}$

es el coeficiente de correlación de y . Cuanto mayor sea el valor de , mayor será la reducción de la varianza lograda. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \vert \rho _{m,t}\vert }$

En el caso de que , , y/o sean desconocidos, se pueden estimar a través de las réplicas de Monte Carlo. Esto es equivalente a resolver un determinado sistema de mínimos cuadrados ; por lo tanto, esta técnica también se conoce como muestreo de regresión . ${\displaystyle {\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}$ ${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle \rho _{m,t}\;}$

Cuando la expectativa de la variable de control, , no se conoce analíticamente, aún es posible aumentar la precisión en la estimación (para un presupuesto de simulación fijo dado), siempre que se cumplan las dos condiciones: 1) evaluar es significativamente más barato que calcular ; 2) la magnitud del coeficiente de correlación es cercana a la unidad. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle |\rho _{m,t}|}$

Ejemplo

Nos gustaría estimar

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x}$

utilizando la integración de Monte Carlo . Esta integral es el valor esperado de , donde ${\displaystyle f(U)}$

${\displaystyle f(U)={\frac {1}{1+U}}}$

y U sigue una distribución uniforme  [0, 1]. Utilizando una muestra de tamaño n, denotemos los puntos de la muestra como . Entonces la estimación está dada por ${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i}).}$

Ahora introducimos como variable de control un valor esperado conocido y combinamos los dos en una nueva estimación. ${\displaystyle g(U)=1+U}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})+c\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}g(u_{i})-3/2\right).}$

Utilizando realizaciones y un coeficiente óptimo estimado obtenemos los siguientes resultados ${\displaystyle n=1500}$ ${\displaystyle c^{\star }\approx 0.4773}$

La varianza se redujo significativamente después de utilizar la técnica de variables de control. (El resultado exacto es .) ${\displaystyle I=\ln 2\approx 0.69314718}$

Véase también

• Variantes antitéticas
• Muestreo de importancia

Notas

1. Lemieux, C. (2017). "Variantes de control". Wiley StatsRef: Statistics Reference Online : 1–8. doi :10.1002/9781118445112.stat07947. ISBN 9781118445112.
2. Glasserman, P. (2004). Métodos de Monte Carlo en ingeniería financiera . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-00451-3 (p. 185) 
3. Botev, Z.; Ridder, A. (2017). "Reducción de la varianza". Wiley StatsRef: Statistics Reference Online : 1–6. doi :10.1002/9781118445112.stat07975. ISBN 9781118445112.

Referencias

• Ross, Sheldon M. (2002) Simulación 3.ª edición ISBN 978-0-12-598053-1 
• Averill M. Law y W. David Kelton (2000), Modelado y análisis de simulación , 3.ª edición. ISBN 0-07-116537-1 
• SP Meyn (2007) Control Techniques for Complex Networks (Técnicas de control para redes complejas ), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88441-9 . Borrador descargable (Sección 11.4: Variables de control y funciones de sombra)