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Número perfecto

Ilustración del estado de número perfecto del número 6

En teoría de números , un número perfecto es un entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos , es decir, divisores excluyendo al número en sí. Por ejemplo, 6 tiene divisores propios 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 = 6, por lo que 6 es un número perfecto. El siguiente número perfecto es 28, ya que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Los primeros cuatro números perfectos son 6 , 28 , 496 y 8128. [1 ]

La suma de los divisores propios de un número se denomina suma alícuota , por lo que un número perfecto es aquel que es igual a su suma alícuota. De manera equivalente, un número perfecto es un número que es la mitad de la suma de todos sus divisores positivos; en símbolos, donde es la función suma de divisores .

Esta definición es antigua, ya que aparece en los Elementos de Euclides (VII.22), donde se denomina τέλειος ἀριθμός ( número perfecto , ideal o completo ). Euclides también demostró una regla de formación (IX.36) por la cual es un número perfecto par siempre que es un primo de la forma de un entero positivo —lo que ahora se llama primo de Mersenne— . Dos milenios después, Leonhard Euler demostró que todos los números perfectos pares son de esta forma. [2] Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler .

No se sabe si existen números perfectos impares ni si existen infinitos números perfectos.

Historia

En el año 300 a. C., Euclides demostró que si 2 p  − 1 es primo, entonces 2 p −1 (2 p  − 1) es perfecto. Los primeros cuatro números perfectos eran los únicos conocidos por los matemáticos griegos primitivos , y el matemático Nicómaco anotó 8128 alrededor del año 100 d. C. [3] En lenguaje moderno, Nicómaco afirma sin prueba que todo número perfecto es de la forma donde es primo. [4] [5] Parece ignorar que n en sí mismo tiene que ser primo. También dice (erróneamente) que los números perfectos terminan en 6 u 8 alternativamente. (Los primeros 5 números perfectos terminan con los dígitos 6, 8, 6, 8, 6; pero el sexto también termina en 6.) Filón de Alejandría en su libro del primer siglo "Sobre la creación" menciona los números perfectos, afirmando que el mundo fue creado en 6 días y la luna orbita en 28 días porque 6 y 28 son perfectos. A Filón le siguen Orígenes , [6] y Dídimo el Ciego , quien añade la observación de que sólo hay cuatro números perfectos que sean menores que 10.000. (Comentario sobre Génesis 1. 14–19). [7] San Agustín define los números perfectos en Ciudad de Dios (Libro XI, Capítulo 30) a principios del siglo V d.C., repitiendo la afirmación de que Dios creó el mundo en 6 días porque 6 es el número perfecto más pequeño. El matemático egipcio Ismail ibn Fallūs (1194-1252) mencionó los siguientes tres números perfectos (33.550.336; 8.589.869.056; y 137.438.691.328) y enumeró algunos más que ahora se sabe que son incorrectos. [8] La primera mención europea conocida del quinto número perfecto es un manuscrito escrito entre 1456 y 1461 por un matemático desconocido. [9] En 1588, el matemático italiano Pietro Cataldi identificó el sexto (8.589.869.056) y el séptimo (137.438.691.328) números perfectos, y también demostró que todo número perfecto obtenido a partir de la regla de Euclides termina con un 6 o un 8. [10] [11] [12]

Números perfectos incluso

Problema sin resolver en matemáticas :
¿Existen infinitos números perfectos?

Euclides demostró que es un número par perfecto siempre que es primo ( Elementos , Prop. IX.36).

Por ejemplo, los primeros cuatro números perfectos se generan mediante la fórmula con p como número primo , de la siguiente manera:

Los números primos de la forma se conocen como primos de Mersenne , en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne , que estudió la teoría de números y los números perfectos. Para que sean primos, es necesario que p sea primo. Sin embargo, no todos los números de la forma con un primo p son primos; por ejemplo, 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 no es un número primo. [a] De hecho, los primos de Mersenne son muy raros: de los primos p hasta 68.874.199, es primo solo para 48 de ellos. [13]

Aunque Nicómaco había afirmado (sin pruebas) que todos los números perfectos eran de la forma donde es primo (aunque lo afirmó de forma algo diferente), Ibn al-Haytham (Alhazen) alrededor del año 1000 d. C. no estaba dispuesto a ir tan lejos, declarando en cambio (también sin pruebas) que la fórmula arrojaba solo todos los números pares perfectos. [14] No fue hasta el siglo XVIII que Leonhard Euler demostró que la fórmula arrojará todos los números pares perfectos. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los números pares perfectos y los primos de Mersenne; cada primo de Mersenne genera un número par perfecto, y viceversa. Este resultado a menudo se conoce como el teorema de Euclides-Euler .

Una búsqueda exhaustiva realizada por el proyecto de computación distribuida GIMPS ha demostrado que los primeros 48 números pares perfectos son para

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 y 57885161 (secuencia A000043 en la OEIS ). [13]

También se han descubierto tres números perfectos superiores, a saber, aquellos para los que p = 74207281, 77232917 y 82589933. Aunque todavía es posible que haya otros dentro de este rango, las pruebas iniciales pero exhaustivas de GIMPS no han revelado otros números perfectos para p por debajo de 109332539. A diciembre de 2018 , se conocen 51 primos de Mersenne, [15] y, por lo tanto, 51 números perfectos pares (el mayor de los cuales es 2 82589932 × (2 82589933 − 1) con 49.724.095 dígitos). No se sabe si hay infinitos números perfectos, ni si hay infinitos primos de Mersenne.

Además de tener la forma , cada número par perfecto es el -ésimo número triangular (y por lo tanto igual a la suma de los enteros de 1 a ) y el -ésimo número hexagonal . Además, cada número par perfecto excepto 6 es el -ésimo número no agonal centrado y es igual a la suma de los primeros cubos impares (cubos impares hasta el cubo de ):

Incluso los números perfectos (excepto el 6) tienen la forma

con cada número triangular resultante T 7 = 28 , T 31 = 496 , T 127 = 8128 (después de restar 1 del número perfecto y dividir el resultado por 9) terminando en 3 o 5, la secuencia que comienza con T 2 = 3 , T 10 = 55 , T 42 = 903 , T 2730 = 3727815, ... [16] De ello se deduce que al sumar los dígitos de cualquier número par perfecto (excepto 6), luego sumar los dígitos del número resultante y repetir este proceso hasta obtener un solo dígito (llamado raíz digital ), siempre se produce el número 1. Por ejemplo, la raíz digital de 8128 es 1, porque 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 y 1 + 0 = 1 . Esto funciona con todos los números perfectos con primo impar p y, de hecho, con todos los números de la forma de entero impar (no necesariamente primo) m .

Debido a su forma, todo número par perfecto se representa en forma binaria como p unos seguidos de p − 1 ceros; por ejemplo:

Por lo tanto, todo número par perfecto es un número pernicioso .

Todo número par perfecto es también un número práctico (cf. Conceptos relacionados).

Números perfectos impares

Problema sin resolver en matemáticas :
¿Existen números perfectos impares?

Se desconoce si existen números perfectos impares, aunque se han obtenido varios resultados. En 1496, Jacques Lefèvre afirmó que la regla de Euclides da todos los números perfectos, [17] lo que implica que no existe ningún número perfecto impar, pero el propio Euler afirmó: "Si ... hay algún número perfecto impar es una pregunta muy difícil". [18] Más recientemente, Carl Pomerance ha presentado un argumento heurístico que sugiere que, de hecho, no debería existir ningún número perfecto impar. [19] Todos los números perfectos también son números divisores armónicos , y también se ha conjeturado que no hay números divisores armónicos impares distintos de 1. Muchas de las propiedades demostradas sobre los números perfectos impares también se aplican a los números de Descartes , y Pace Nielsen ha sugerido que un estudio suficiente de esos números puede llevar a una prueba de que no existen números perfectos impares. [20]

Cualquier número perfecto impar N debe satisfacer las siguientes condiciones:

dónde:
  • qp 1 , ...,  p k son primos impares distintos (Euler).
  • q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
  • El factor primo más pequeño de N es como máximo [32]
  • Al menos una de las potencias primas que dividen a N es mayor que 10 62 . [21]
  • [33] [34]
  • . [32] [35] [36]
  • . [37]
  • . [38] [39]

Además, se conocen varios resultados menores sobre los exponentes e 1 , ...,  e k .

En 1888, Sylvester afirmó: [48]

... una meditación prolongada sobre el tema me ha convencido de que la existencia de cualquiera de esos [números perfectos impares] —su escape, por así decirlo, de la compleja red de condiciones que lo encierran por todos lados— sería poco menos que un milagro.

Resultados menores

Todos los números perfectos pares tienen una forma muy precisa; los números perfectos impares no existen o son raros. Hay una serie de resultados sobre los números perfectos que son bastante fáciles de demostrar, pero que, sin embargo, resultan impresionantes; algunos de ellos también se incluyen en la ley fuerte de los números pequeños de Richard Guy :

Conceptos relacionados

Diagrama de Euler de números menores de 100:
   Perfecto

La suma de divisores propios da lugar a otros tipos de números. Los números cuya suma es menor que el número mismo se denominan deficientes , y aquellos cuya suma es mayor que el número, abundantes . Estos términos, junto con el propio perfecto , proceden de la numerología griega . Un par de números que son la suma de los divisores propios de cada uno de ellos se denominan amigables , y los ciclos de números mayores se denominan sociables . Un entero positivo tal que cada entero positivo menor es una suma de divisores distintos de él es un número práctico .

Por definición, un número perfecto es un punto fijo de la función divisora ​​restringida s ( n ) = σ ( n ) − n , y la secuencia alícuota asociada con un número perfecto es una secuencia constante. Todos los números perfectos son también números -perfectos o números de Granville .

Un número semiperfecto es un número natural que es igual a la suma de todos o algunos de sus divisores propios. Un número semiperfecto que es igual a la suma de todos sus divisores propios es un número perfecto. La mayoría de los números abundantes también son semiperfectos; los números abundantes que no son semiperfectos se denominan números impares .

Véase también

Notas

  1. ^ Todos los factores de son congruentes con 1 mod 2 p . Por ejemplo, 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 , y tanto 23 como 89 dan un resto de 1 cuando se dividen por 22. Además, siempre que p sea un primo de Sophie Germain —es decir, 2 p + 1 también es primo— y 2 p + 1 sea congruente con 1 o 7 mod 8, entonces 2 p + 1 será un factor de lo cual es el caso para p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEIS : A002515 .

Referencias

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Fuentes

Lectura adicional

Enlaces externos