Función continua en ninguna parte

Función que no es continua en ningún punto de su dominio

En matemáticas , una función continua en ningún punto , también llamada función discontinua en todos los puntos , es una función que no es continua en ningún punto de su dominio . Si es una función de números reales a números reales, entonces no es continua en ningún punto si para cada punto hay alguno tal que para cada podemos encontrar un punto tal que y . Por lo tanto, no importa cuán cerca esté de cualquier punto fijo, hay puntos aún más cercanos en los que la función toma valores no cercanos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\geq \varepsilon }$

Se pueden obtener definiciones más generales de este tipo de función, reemplazando el valor absoluto por la función de distancia en un espacio métrico , o utilizando la definición de continuidad en un espacio topológico .

Ejemplos

Función de Dirichlet

Un ejemplo de una función de este tipo es la función indicadora de los números racionales , también conocida como función de Dirichlet . Esta función se denota como y tiene dominio y codominio iguales a los números reales . Por definición, es igual a si es un número racional y es igual a si en caso contrario. ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$

En términos más generales, si es cualquier subconjunto de un espacio topológico tal que tanto y el complemento de son densos en entonces la función de valor real que toma el valor en y en el complemento de no será continua en ninguna parte. Las funciones de este tipo fueron investigadas originalmente por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$

Funciones aditivas no triviales

Una función se denomina función aditiva si satisface la ecuación funcional de Cauchy : por ejemplo, toda función de la forma donde es una constante, es aditiva (de hecho, es lineal y continua). Además, toda función lineal tiene esta forma (tomando ). ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} .}$$ ${\displaystyle x\mapsto cx,}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c:=L(1)}$

Aunque toda función lineal es aditiva, no todas las funciones aditivas son lineales. Una función aditiva es lineal si y solo si existe un punto en el que es continua, en cuyo caso es continua en todas partes. En consecuencia, toda función aditiva no lineal es discontinua en cada punto de su dominio. Sin embargo, la restricción de cualquier función aditiva a cualquier múltiplo escalar real de los números racionales es continua; explícitamente, esto significa que para cada real la restricción al conjunto es una función continua. Por lo tanto, si es una función aditiva no lineal entonces para cada punto es discontinua en pero también está contenida en algún subconjunto denso en el que la restricción de es continua (específicamente, tome si y tome si ). ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\,\mathbb {Q} :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{D}:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D:=x\,\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle D:=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x=0}$

Mapas lineales discontinuos

Una función lineal entre dos espacios vectoriales topológicos , como por ejemplo los espacios normados , es continua (en todas partes) si y solo si existe un punto en el que es continua, en cuyo caso es incluso uniformemente continua . En consecuencia, toda función lineal es continua en todas partes o no lo es en ninguna. Toda función lineal es una función lineal y en todo espacio normado de dimensión infinita existe alguna función lineal discontinua .

Otras funciones

La función base 13 de Conway es discontinua en cada punto.

Caracterización hiperreal

Una función real no es continua en ninguna parte si su extensión hiperreal natural tiene la propiedad de que cada es infinitamente cercano a tal que la diferencia es apreciable (es decir, no infinitesimal ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)-f(y)}$

Véase también

• Teorema de Blumberg  : incluso si una función real no es continua en ninguna parte, existe un subconjunto denso de tal que la restricción de a es continua. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$
• Función de Thomae (también conocida como función de las palomitas de maíz): una función que es continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los números racionales.
• Función de Weierstrass  : función continua en todas partes (dentro de su dominio) y no diferenciable en ninguna parte.

Referencias

1. Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1829). "Sobre la convergencia de series trigonométricas que sirven para representar una función arbitraria entre los límites de los données". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 4 : 157–169.

Enlaces externos

• "Función de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Función de Dirichlet — de MathWorld
• La función de Dirichlet modificada Archivado el 2 de mayo de 2019 en Wayback Machine por George Beck, The Wolfram Demonstrations Project .