Notación Steinhaus-Moser

Notación para números extremadamente grandes

En matemáticas , la notación de Steinhaus-Moser es una notación para expresar ciertos números grandes . Es una extensión (ideada por Leo Moser ) de la notación poligonal de Hugo Steinhaus . ^[1]

Definiciones

un número n en un triángulo significa n ⁿ .

un número n en un cuadrado es equivalente al "número n dentro de n triángulos, que están todos anidados".

un número n en un pentágono es equivalente al "número n dentro de n cuadrados, que están todos anidados".

etc.: n escrito en un polígono de ( m + 1 ) lados es equivalente a "el número n dentro de n polígonos anidados de m lados". En una serie de polígonos anidados, están asociados hacia adentro. El número n dentro de dos triángulos es equivalente a n ⁿ dentro de un triángulo, lo que es equivalente a n ⁿ elevado a la potencia de n ⁿ .

Steinhaus definió únicamente el triángulo, el cuadrado y el círculo. , que es equivalente al pentágono definido anteriormente.

Valores especiales

Steinhaus definió:

• mega es el número equivalente a 2 en un círculo: ②
• megiston es el número equivalente a 10 en un círculo: ⑩

El número de Moser es el número representado por "2 en un megágono". Megágono es aquí el nombre de un polígono con "mega" lados (no debe confundirse con el polígono de un millón de lados ).

Notaciones alternativas:

• Utilice las funciones cuadrado(x) y triángulo(x)
• Sea M ( n , m , p ) el número representado por el número n en m polígonos anidados de p lados; entonces las reglas son:
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• y
  • mega=  ${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • megistón =  ${\displaystyle M(10,1,5)}$
  • Moser =  ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Mega

Un mega, ②, ya es un número muy grande, ya que ② = cuadrado(cuadrado(2)) = cuadrado(triángulo(triángulo(2))) = cuadrado(triángulo(2 ² )) = cuadrado(triángulo(4)) = cuadrado(4 ⁴ ) = cuadrado(256) = triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(256)...))) [256 triángulos] = triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(256 256 ⁾ ...))) [255 triángulos] ~ triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(3.2317 × 10 ⁶¹⁶ )...))) [255 triángulos] ...

Usando la otra notación:

mega= ${\displaystyle M(2,1,5)=M(256,256,3)}$

Con la función tenemos mega = donde el superíndice denota una potencia funcional , no una potencia numérica. ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ ${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$

Tenemos (nótese la convención de que las potencias se evalúan de derecha a izquierda):

• ${\displaystyle M(256,2,3)=}$ ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)=}$ ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈ ${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

Similarmente:

• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,5,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,6,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}}$

etc.

De este modo:

• mega = , donde denota una potencia funcional de la función . ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$ ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$ ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$

Redondeando de forma más burda (reemplazando el 257 al final por 256), obtenemos mega ≈ , usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth . ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$

Después de los primeros pasos, el valor de es cada vez aproximadamente igual a . De hecho, incluso es aproximadamente igual a (véase también aritmética aproximada para números muy grandes ). Usando potencias de base 10 obtenemos: ${\displaystyle n^{n}}$ ${\displaystyle 256^{n}}$ ${\displaystyle 10^{n}}$

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$( se añade al 616) ${\displaystyle \log _{10}616}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$( se agrega a , lo cual es insignificante; por lo tanto, solo se agrega un 10 en la parte inferior) ${\displaystyle 619}$ ${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• mega = , donde denota una potencia funcional de la función . Por lo tanto ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$ ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

El número de Moser

Se ha demostrado que en la notación de flecha encadenada de Conway ,

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

y, en la notación de flecha hacia arriba de Knuth ,

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Por lo tanto, el número de Moser, aunque incomprensiblemente grande, es extremadamente pequeño comparado con el número de Graham : ^[2]

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.}$

Véase también

• Función de Ackermann

Referencias

1. Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas , Oxford University Press 1969 ³ , ISBN  0195032675 , págs. 28-29
2. Prueba de que G >> M

Enlaces externos

• Los grandes números de Robert Munafo
• Dato curioso sobre los grandes números
• Megistron en mathworld.wolfram.com (Steinhaus se refirió a este número como "megiston" sin "r").
• Notación circular en mathworld.wolfram.com
• Notación de Steinhaus-Moser: números grandes y sin sentido