En geometría , la notación Hermann-Mauguin se utiliza para representar los elementos de simetría en grupos puntuales , grupos planos y grupos espaciales . Recibe su nombre del cristalógrafo alemán Carl Hermann (quien la introdujo en 1928) y del mineralogista francés Charles-Victor Mauguin (quien la modificó en 1931). Esta notación a veces se denomina notación internacional , porque fue adoptada como estándar por las Tablas Internacionales de Cristalografía desde su primera edición en 1935.
La notación de Hermann-Mauguin, en comparación con la notación de Schoenflies , se prefiere en cristalografía porque se puede utilizar fácilmente para incluir elementos de simetría traslacional y especifica las direcciones de los ejes de simetría. [1] [2]
Los ejes de rotación se denotan por un número n – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... (ángulo de rotación φ = 360°/norte ). Para rotaciones impropias , los símbolos de Hermann-Mauguin muestran ejes de rotoinversión, a diferencia delas notaciones de Schoenflies y Shubnikov , que muestran ejes de rotación-reflexión. Los ejes de rotoinversión están representados por el número correspondiente con un macrón , n – 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ... . 2 es equivalente a un plano especular y generalmente se anota como m. La dirección del plano especular se define como la dirección perpendicular a él (la dirección del eje 2 ).
Los símbolos de Hermann-Mauguin muestran ejes y planos no equivalentes de manera simétrica. La dirección de un elemento de simetría corresponde a su posición en el símbolo de Hermann-Mauguin. Si un eje de rotación n y un plano de simetría m tienen la misma dirección, se denotan como una fracción .norte/metro o n /m.
Si dos o más ejes tienen la misma dirección, se muestra el eje con mayor simetría. Una mayor simetría significa que el eje genera un patrón con más puntos. Por ejemplo, los ejes de rotación 3, 4, 5, 6, 7, 8 generan patrones de 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos, respectivamente. Los ejes de rotación inadecuados 3 , 4 , 5 , 6 , 7 y 8 generan patrones de 6, 4, 10, 6, 14 y 8 puntos, respectivamente. Si un eje de rotación y un eje de rotoinversión generan la misma cantidad de puntos, se debe elegir el eje de rotación. Por ejemplo, el eje 3/metroLa combinación es equivalente a 6. Como 6 genera 6 puntos y 3 genera solo 3, se debe escribir 6 en lugar de 3/metro (no 6/metro , porque 6 ya contiene el plano de espejo m). Análogamente, en el caso en que estén presentes los ejes 3 y 3 , se debe escribir 3. Sin embargo, escribimos 4/metro , no 4/metro , porque tanto 4 como 4 generan cuatro puntos. En el caso de 6/metro combinación, donde están presentes los ejes 2, 3, 6, 3 y 6 , los ejes 3 , 6 y 6 generan patrones de 6 puntos, como podemos ver en la figura de la derecha, pero se debe usar este último porque es un eje de rotación: el símbolo será 6/metro .
Finalmente, el símbolo de Hermann-Mauguin depende del tipo [ aclaración necesaria ] del grupo .
Estos grupos pueden contener solo ejes dobles, planos especulares y/o un centro de inversión. Estos son los grupos puntuales cristalográficos 1 y 1 ( sistema cristalino triclínico ), 2, m y 2/metro ( monoclínico ), y 222, 2/metro 2/metro 2/metro , y mm2 ( ortorrómbico ). (La forma corta de 2/metro 2/metro 2/metro es mmm.) Si el símbolo contiene tres posiciones, entonces denotan elementos de simetría en la dirección x , y , z , respectivamente.
Estos son los grupos cristalográficos 3, 32, 3m, 3 y 3 2/metro ( sistema cristalino trigonal ), 4, 422, 4 mm, 4 , 4 2 m, 4/metro , y 4/metro 2/metro 2/metro ( tetragonal ), y 6, 622, 6 mm, 6 , 6 m2, 6/metro , y 6/metro 2/metro 2/metro ( hexagonal ). De manera análoga, se pueden construir símbolos de grupos no cristalográficos (con ejes de orden 5, 7, 8, 9, ...). Estos grupos se pueden ordenar en la siguiente tabla
Se puede observar que en los grupos con ejes de orden impar n y n la tercera posición en el símbolo siempre está ausente, porque todas las n direcciones, perpendiculares al eje de orden superior, son simétricamente equivalentes. Por ejemplo, en la imagen de un triángulo los tres planos especulares ( S 0 , S 1 , S 2 ) son equivalentes – todos ellos pasan por un vértice y el centro del lado opuesto. Para los ejes de orden par n y n hay norte/2 direcciones secundarias y norte/2 direcciones terciarias. Por ejemplo, en la imagen de un hexágono regular se pueden distinguir dos conjuntos de planos especulares: tres planos pasan por dos vértices opuestos y otros tres planos pasan por los centros de lados opuestos. En este caso, cualquiera de los dos conjuntos se puede elegir como direcciones secundarias , el resto serán direcciones terciarias . Por lo tanto, los grupos 4 2m, 6 2m, 8 2m, ... se pueden escribir como 4 m2, 6 m2, 8 m2, ... . Para los símbolos de grupos puntuales, este orden normalmente no importa; sin embargo, será importante para los símbolos de Hermann-Mauguin de grupos espaciales correspondientes, donde las direcciones secundarias son direcciones de elementos de simetría a lo largo de las traslaciones de celdas unitarias b y c , mientras que las direcciones terciarias corresponden a la dirección entre las traslaciones de celdas unitarias b y c . Por ejemplo, los símbolos P 6 m2 y P 6 2m denotan dos grupos espaciales diferentes. Esto también se aplica a los símbolos de grupos espaciales con ejes de orden impar 3 y 3 . Los elementos de simetría perpendiculares pueden ir a lo largo de las traslaciones de las celdas unitarias b y c o entre ellas. Los grupos espaciales P321 y P312 son ejemplos del primer y del segundo caso, respectivamente.
El símbolo del grupo de puntos 3 2/metro puede ser confuso; el símbolo correspondiente de Schoenflies es D 3 d , lo que significa que el grupo consta de ejes de 3 pliegues, tres ejes de 2 pliegues perpendiculares y 3 planos diagonales verticales que pasan entre estos ejes de 2 pliegues, por lo que parece que el grupo puede denotarse como 32m o 3m2. Sin embargo, uno debe recordar que, a diferencia de la notación de Schoenflies, la dirección de un plano en un símbolo de Hermann-Mauguin se define como la dirección perpendicular al plano, y en el grupo D 3 d todos los planos especulares son perpendiculares a los ejes de 2 pliegues, por lo que deben escribirse en la misma posición que 2/metroEn segundo lugar , estos2/metroLos complejos generan un centro de inversión, que al combinarse con el eje de rotación triple genera un eje de rotoinversión triple .
Los grupos con n = ∞ se denominan grupos límite o grupos de Curie .
Estos son los grupos cristalográficos de un sistema cristalino cúbico : 23, 432, 2/metro3 , 4 , 3 m y 3 m4/metro3 2/metro . Todos ellos contienen cuatro ejes triples diagonales. Estos ejes están dispuestos como ejes triples en un cubo, dirigidos a lo largo de sus cuatro diagonales espaciales (el cubo tiene 4/metro3 2/metro simetría). Estos símbolos se construyen de la siguiente manera:
Todos los símbolos de Hermann-Mauguin presentados anteriormente se denominan símbolos completos . Para muchos grupos, se pueden simplificar omitiendo los ejes de rotación de n pliegues en norte/metro posiciones. Esto se puede hacer si el eje de rotación se puede obtener de forma inequívoca a partir de la combinación de elementos de simetría presentados en el símbolo. Por ejemplo, el símbolo corto para 2/metro 2/metro 2/metro es mmm, para 4/metro 2/metro 2/metro es 4/metro mm, y para 4/metro3 2/metro es m 3 m. En los grupos que contienen un eje de orden superior, este eje de orden superior no se puede omitir. Por ejemplo, los símbolos 4/metro 2/metro 2/metro y 6/metro 2/metro 2/metro se puede simplificar a 4/mmm (o 4/metro mm) y 6/mmm (o 6/metro mm), pero no mmm; el símbolo corto para 3 2/metro es de 3 m. Los símbolos completos y cortos para los 32 grupos puntuales cristalográficos se dan en la página de grupos puntuales cristalográficos .
Además de cinco grupos cúbicos, hay dos grupos icosaédricos no cristalográficos más ( I e I h en la notación de Schoenflies ) y dos grupos límite ( K y K h en la notación de Schoenflies ). Los símbolos de Hermann-Mauguin no fueron diseñados para grupos no cristalográficos, por lo que sus símbolos son más bien nominales y se basan en la similitud con los símbolos de los grupos cristalográficos de un sistema cristalino cúbico. [3] [4] [5] [6] [7] El grupo I puede denotarse como 235, 25, 532, 53. Los posibles símbolos cortos para I h son m 35 , m 5 , m 5 m, 53 m. Los posibles símbolos para el grupo límite K son ∞∞ o 2∞, y para K h son ∞/metro ∞ o m ∞ o ∞∞m.
Los grupos de planos se pueden representar utilizando el sistema Hermann-Mauguin. La primera letra es p minúscula o c para representar celdas unitarias primitivas o centradas . El siguiente número es la simetría rotacional, como se indicó anteriormente. La presencia de planos de simetría se denota m , mientras que las reflexiones de deslizamiento solo se denotan g . Los ejes de tornillo no existen en espacios bidimensionales.
El símbolo de un grupo espacial se define combinando la letra mayúscula que describe el tipo de red con símbolos que especifican los elementos de simetría. Los elementos de simetría se ordenan de la misma manera que en el símbolo del grupo de puntos correspondiente (el grupo que se obtiene si se eliminan todos los componentes de traslación del grupo espacial). Los símbolos para los elementos de simetría son más diversos, porque además de los ejes de rotación y los planos de simetría, el grupo espacial puede contener elementos de simetría más complejos: ejes de tornillo (combinación de rotación y traslación) y planos de deslizamiento (combinación de reflexión especular y traslación). Como resultado, muchos grupos espaciales diferentes pueden corresponder al mismo grupo de puntos. Por ejemplo, al elegir diferentes tipos de red y planos de deslizamiento, se pueden generar 28 grupos espaciales diferentes a partir del grupo de puntos mmm, p. ej., Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd, etc. En algunos casos, se genera un grupo espacial cuando simplemente se añaden traslaciones a un grupo de puntos. [8] En otros casos no hay ningún punto alrededor del cual se aplique el grupo de puntos. La notación es algo ambigua, sin una tabla que proporcione más información. Por ejemplo, los grupos espaciales I23 e I2 1 3 (números 197 y 199) contienen ambos ejes de rotación dobles, así como ejes de tornillo dobles. En el primero, los ejes dobles intersecan los ejes triples, mientras que en el segundo no lo hacen. [9]
Estos son los tipos de red de Bravais en tres dimensiones:
El eje del tornillo se indica mediante un número, n , donde el ángulo de rotación es 360°/norte . Luego se agrega el grado de traslación como un subíndice que muestra qué tan lejos a lo largo del eje se encuentra la traslación, como una porción del vector reticular paralelo. Por ejemplo, 2 1 es una rotación de 180° (doble) seguida de una traslación de 1/2 del vector reticular. 3 1 es una rotación de 120° (triple) seguida de una traslación de 1/3 del vector reticular.
Los posibles ejes de los tornillos son: 2 1 , 3 1 , 3 2 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 y 6 5 . Hay 4 pares de ejes enantiomórficos : (3 1 – 3 2 ), (4 1 – 4 3 ), (6 1 – 6 5 ) y (6 2 – 6 4 ). Este enantiomorfismo da como resultado 11 pares de grupos espaciales enantiomórficos, a saber:
La orientación de un plano de deslizamiento se da por la posición del símbolo en la designación de Hermann-Mauguin, al igual que con los planos de espejo. Se indican con a , b o c según el eje (dirección) a lo largo del cual se produce el deslizamiento. También existe el deslizamiento n , que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento d , que es a lo largo de un cuarto de una cara o diagonal espacial de la celda unitaria. El deslizamiento d a menudo se denomina plano de deslizamiento de diamante, ya que aparece en la estructura de diamante . En los casos en los que hay dos posibilidades entre a , b y c (como a o b ), se utiliza la letra e . (En estos casos, el centrado implica que se producen ambos deslizamientos). Para resumir: