Notación científica

Método de escritura de números con una gran cantidad de dígitos

La notación científica es una forma de expresar números que son demasiado grandes o demasiado pequeños para escribirse convenientemente en forma decimal , ya que para hacerlo se requeriría escribir una cadena de dígitos incómodamente larga. Puede denominarse forma científica o forma de índice estándar , o forma estándar en el Reino Unido. Esta notación de base diez es comúnmente utilizada por científicos, matemáticos e ingenieros, en parte porque puede simplificar ciertas operaciones aritméticas . En las calculadoras científicas , generalmente se conoce como modo de visualización "SCI".

En notación científica, los números distintos de cero se escriben en la forma

m ×10 ⁿ

o m por diez elevado a la potencia de n , donde n es un entero y el coeficiente m es un número real distinto de cero (normalmente entre 1 y 10 en valor absoluto, y casi siempre escrito como decimal terminal ). El entero n se llama exponente y el número real m se llama mantisa o significando . ^[1] El término "mantisa" puede ser ambiguo cuando se trata de logaritmos, porque también es el nombre tradicional de la parte fraccionaria del logaritmo común . Si el número es negativo, entonces un signo menos precede a m , como en la notación decimal ordinaria. En la notación normalizada, el exponente se elige de modo que el valor absoluto (módulo) del significando m sea al menos 1 pero menor que 10.

El punto flotante decimal es un sistema aritmético informático estrechamente relacionado con la notación científica.

Historia

Notación normalizada

Cualquier número real se puede escribir en la forma m × 10 ⁿ^ de muchas maneras: por ejemplo, 350 se puede escribir como3,5 × 10 ² o35 × 10 ¹ o350 × 10 ⁰ .

En la notación científica normalizada (llamada "forma estándar" en el Reino Unido), el exponente n se elige de modo que el valor absoluto de m siga siendo al menos uno pero menor que diez ( 1 ≤ | m | < 10 ). Por lo tanto, 350 se escribe como3,5 × 10 ² . Esta forma permite una fácil comparación de números: los números con exponentes mayores son (debido a la normalización) mayores que aquellos con exponentes menores, y la resta de exponentes proporciona una estimación del número de órdenes de magnitud que separan los números. También es la forma que se requiere cuando se utilizan tablas de logaritmos comunes . En la notación normalizada, el exponente n es negativo para un número con valor absoluto entre 0 y 1 (por ejemplo, 0,5 se escribe como5 × 10 ⁻¹ ). El 10 y el exponente a menudo se omiten cuando el exponente es 0. Para una serie de números que se deben sumar o restar (o comparar de otra manera), puede ser conveniente usar el mismo valor de m para todos los elementos de la serie.

La forma científica normalizada es la forma típica de expresión de números grandes en muchos campos, a menos que se desee una forma no normalizada o normalizada de manera diferente, como la notación de ingeniería . La notación científica normalizada a menudo se denomina notación exponencial , aunque el último término es más general y también se aplica cuando m no está restringido al rango de 1 a 10 (como en la notación de ingeniería, por ejemplo) y a bases distintas de 10 (por ejemplo, 3,15 × 2 ²⁰^ ).

Notación de ingeniería

La notación de ingeniería (a menudo denominada "ENG" en las calculadoras científicas) difiere de la notación científica normalizada en que el exponente n está restringido a múltiplos de 3. En consecuencia, el valor absoluto de m está en el rango 1 ≤ | m | < 1000, en lugar de 1 ≤ | m | < 10. Aunque similar en concepto, la notación de ingeniería rara vez se llama notación científica. La notación de ingeniería permite que los números coincidan explícitamente con sus prefijos SI correspondientes , lo que facilita la lectura y la comunicación oral. Por ejemplo,12,5 × 10 ⁻⁹  m se puede leer como "doce coma cinco nanómetros" y escribir como12,5 nm , mientras que su notación científica equivalente1,25 × 10 ⁻⁸  m probablemente se leería como "uno coma dos cinco por diez elevado a menos ocho metros".

Cifras significativas

Una cifra significativa es un dígito en un número que aumenta su precisión. Esto incluye todos los números distintos de cero, ceros entre dígitos significativos y ceros indicados como significativos . Los ceros iniciales y finales no son dígitos significativos, porque existen solo para mostrar la escala del número. Desafortunadamente, esto conduce a la ambigüedad. El númeroEl número 1 230 400 suele tener cinco cifras significativas: 1, 2, 3, 0 y 4. Los dos últimos ceros sirven solo como marcadores de posición y no aportan precisión. Sin embargo, se utilizaría el mismo número si los dos últimos dígitos también se midieran con precisión y se descubriera que suman 0, es decir, siete cifras significativas.

Cuando un número se convierte a notación científica normalizada, se reduce a un número entre 1 y 10. Todos los dígitos significativos permanecen, pero los ceros de reserva ya no son necesarios.1 230 400 se convertiría en1,2304 × 10 ⁶ si tuviera cinco dígitos significativos. Si el número se conociera con seis o siete cifras significativas, se mostraría como1.230 40 × 10 ⁶ o1.230 400 × 10 ⁶ . Por lo tanto, una ventaja adicional de la notación científica es que el número de cifras significativas es inequívoco.

Cifras finales estimadas

En las mediciones científicas, es habitual registrar todos los dígitos conocidos con certeza de la medición y estimar al menos un dígito adicional si existe alguna información disponible sobre su valor. El número resultante contiene más información que sin el dígito adicional, que puede considerarse un dígito significativo porque transmite cierta información que conduce a una mayor precisión en las mediciones y en las agregaciones de mediciones (sumándolas o multiplicándolas entre sí).

Se puede transmitir información adicional sobre la precisión mediante una notación adicional. A menudo resulta útil saber cuán exactos son el dígito o los dígitos finales. Por ejemplo, el valor aceptado de la masa del protón se puede expresar correctamente como1.672 621 923 69 (51) × 10 ⁻²⁷  kg , que es la abreviatura de(1,672 621 923 69 ± 0,000 000 000 51 ) × 10 ⁻²⁷  kg . Sin embargo, todavía no está claro si el error (5,1 × 10 ⁻³⁷ en este caso) es el error máximo posible, el error estándar o algún otro intervalo de confianza .

Notación E

Las calculadoras y los programas informáticos suelen presentar números muy grandes o muy pequeños utilizando notación científica, y algunos pueden configurarse para presentar todos los números de manera uniforme de esa manera. Debido a que los exponentes en superíndice como 10 ⁷ pueden ser incómodos de mostrar o escribir, la letra "E" o "e" (de "exponente") se utiliza a menudo para representar "diez veces elevado a la potencia de", de modo que la notación m  E  n para un decimal con significando m y un exponente entero n significa lo mismo que m × 10 ⁿ . Por ejemplo6.022 × 10 ²³ se escribe como6.022E23o6.022e23, y1,6 × 10 ⁻³⁵ se escribe como1.6E-35o1.6e-35. Si bien es común en los documentos informáticos, algunas guías de estilo desaconsejan el uso de esta versión abreviada de la notación científica para documentos publicados. ^{[2] [3]}

La mayoría de los lenguajes de programación más populares, incluidos Fortran , C / C++ , Python y JavaScript , utilizan esta notación "E", que proviene de Fortran y estaba presente en la primera versión lanzada para el IBM 704 en 1956. ^[4] La notación E ya fue utilizada por los desarrolladores de SHARE Operating System (SOS) para el IBM 709 en 1958. ^[5] Las versiones posteriores de Fortran (al menos desde FORTRAN IV a partir de 1961) también usan "D" para significar números de doble precisión en notación científica, ^[6] y los compiladores de Fortran más nuevos usan "Q" para significar precisión cuádruple . ^[7] El lenguaje de programación MATLAB admite el uso de "E" o "D".

El lenguaje de programación ALGOL 60 (1960) utiliza un subíndice de diez " ₁₀ " en lugar de la letra "E", por ejemplo: . ^{[8] [9]} Esto presentó un desafío para los sistemas informáticos que no proporcionaban dicho carácter, por lo que ALGOL W (1966) reemplazó el símbolo por una comilla simple, p. ej ., ^[10] y algunas variantes soviéticas de Algol permitieron el uso de la letra cirílica " ю ", p. ej ., . Posteriormente, el lenguaje de programación ALGOL 68 proporcionó una selección de caracteres: , , , o . ^[11] El carácter ALGOL " ₁₀ " se incluyó en la codificación de texto soviética GOST 10859 (1964) y se agregó a Unicode 5.2 (2009) como U+23E8 ⏨ SÍMBOLO DE EXPONENTE DECIMAL . ^[12]6.02210236.022'+236.022ю+23Ee\⊥10

Algunos lenguajes de programación utilizan otros símbolos. Por ejemplo, Simula utiliza &(o &&para ) , como en 6.022&23. ^[13] Mathematica admite la notación abreviada 6.022*^23(reservando la letra Epara la constante matemática e ).

Pantalla de calculadora Texas Instruments TI-84 Plus que muestra la constante de Avogadro con tres cifras significativas en notación E

Las primeras calculadoras de bolsillo que admitían notación científica aparecieron en 1972. ^[14] Las pantallas de las calculadoras de bolsillo de la década de 1970 no mostraban un símbolo explícito entre la significación y el exponente; en su lugar, uno o más dígitos se dejaban en blanco (por ejemplo 6.022 23, como se ve en la HP-25 ), o se reservaban un par de dígitos más pequeños y ligeramente elevados para el exponente (por ejemplo , como se ve en la Commodore PR100 ). En 1976, el usuario de calculadoras Hewlett-Packard Jim Davidson acuñó el término decapotencia para el exponente de notación científica para distinguirlo de los exponentes "normales", y sugirió la letra "D" como separador entre la significación y el exponente en números escritos a máquina (por ejemplo, ); estos ganaron cierta aceptación en la comunidad de usuarios de calculadoras programables. ^[15] Las letras "E" o "D" se utilizaron como separador de notación científica en las computadoras de bolsillo Sharp lanzadas entre 1987 y 1995, "E" se utilizaba para números de 10 dígitos y "D" se utilizaba para números de doble precisión de 20 dígitos. ^[16] Las series de calculadoras Texas Instruments TI-83 y TI-84 (1996-presente) utilizan una mayúscula pequeña como separador. ^[17]6.022 236.022D23 E

En 1962, Ronald O. Whitaker de Rowco Engineering Co. propuso una nomenclatura del sistema de potencias de diez donde el exponente estaría encerrado en un círculo, por ejemplo, 6,022 × 10 ³ se escribiría como "6,022③". ^[18]

Uso de espacios

En la notación científica normalizada, en la notación E y en la notación de ingeniería, el espacio (que en composición tipográfica puede representarse mediante un espacio de ancho normal o un espacio fino ) que se permite solo antes y después de "×" o delante de "E" a veces se omite, aunque es menos común hacerlo antes del carácter alfabético. ^[19]

Más ejemplos de notación científica

• La masa de un electrón es aproximadamente0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 356  kg . ^[20] En notación científica, esto se escribe9.109 383 56 × 10 ⁻³¹  kg .
• La masa de la Tierra es de aproximadamente5 972 400 000 000 000 000 000 000  kg . ^[21] En notación científica, esto se escribe5,9724 × 10 ²⁴  kilogramos .
• La circunferencia de la Tierra es aproximadamente40 000 000  m . ^[22] En notación científica, esto es4 × 10 ⁷  m . En notación de ingeniería, esto se escribe40 × 10 ⁶  m . En el estilo de escritura SI , esto se puede escribir40 mm (40 megametros ).
• Una pulgada se define exactamente como 25,4 mm . Utilizando la notación científica, este valor se puede expresar de manera uniforme con cualquier precisión deseada, desde la décima de milímetro más cercana. 2,54 × 10 ¹  mm al nanómetro más cercano 2.540 0000 × 10 ¹  mm , o más.
• La hiperinflación significa que se pone en circulación demasiado dinero, tal vez mediante la impresión de billetes, para comprar muy pocos bienes. A veces se la define como una inflación del 50% o más en un solo mes. En tales condiciones, el dinero pierde rápidamente su valor. Algunos países han tenido episodios de inflación de 1 millón por ciento o más en un solo mes, lo que suele dar lugar al rápido abandono de la moneda. Por ejemplo, en noviembre de 2008 la tasa de inflación mensual del dólar zimbabuense alcanzó el 79,6 mil millones por ciento; el valor aproximado con tres cifras significativas sería7,96 × 10 ¹⁰  %, ^{[23] [24]} o más simplemente una tasa de7,96 × 10 ⁸ .

Conversión de números

En estos casos, convertir un número significa convertirlo a notación científica, volver a convertirlo a notación decimal o cambiar la parte exponencial de la ecuación. Ninguna de estas opciones altera el número real, solo la forma en que se expresa.

De decimal a científico

Primero, mueva el punto separador decimal los lugares suficientes, n , para poner el valor del número dentro de un rango deseado, entre 1 y 10 para la notación normalizada. Si el decimal se movió a la izquierda, agregue ; a la derecha, . Para representar el número× 10n× 10−n1.230.400 en notación científica normalizada, el separador decimal se movería 6 dígitos hacia la izquierda y se agregaría, lo que daría como resultado× 1061,2304 × 10 ⁶ . El número−0.004 0321 tendría su separador decimal desplazado 3 dígitos hacia la derecha en lugar de hacia la izquierda y obtendría−4,0321 × 10 ⁻³ como resultado.

Científico a decimal

Para convertir un número de notación científica a notación decimal, primero elimine el al final y luego desplace el separador decimal n dígitos hacia la derecha ( n positivo ) o hacia la izquierda ( n negativo ). El número× 10n1.2304 × 10 ⁶ tendría su separador decimal desplazado 6 dígitos hacia la derecha y se convertiría en1.230.400 , mientras que−4.0321 × 10 ⁻³ tendría su separador decimal movido 3 dígitos hacia la izquierda y sería−0,004 0321 .

Exponencial

La conversión entre distintas representaciones en notación científica del mismo número con distintos valores exponenciales se logra realizando operaciones opuestas de multiplicación o división por una potencia de diez en la mantisa y una resta o suma de uno en la parte del exponente. El separador decimal en la mantisa se desplaza x lugares hacia la izquierda (o derecha) y x se suma (o resta) al exponente, como se muestra a continuación.

1,234 × 10 ³ =12,34 × 10 ² =123,4 × 10 ¹ = 1234

Operaciones básicas

Dados dos números en notación científica, y $${\displaystyle x_{0}=m_{0}\times 10^{n_{0}}}$$ $${\displaystyle x_{1}=m_{1}\times 10^{n_{1}}}$$

La multiplicación y la división se realizan utilizando las reglas para la operación con exponenciación : y $${\displaystyle x_{0}x_{1}=m_{0}m_{1}\times 10^{n_{0}+n_{1}}}$$ $${\displaystyle {\frac {x_{0}}{x_{1}}}={\frac {m_{0}}{m_{1}}}\times 10^{n_{0}-n_{1}}}$$

Algunos ejemplos son: y $${\displaystyle 5.67\times 10^{-5}\times 2.34\times 10^{2}\approx 13.3\times 10^{-5+2}=13.3\times 10^{-3}=1.33\times 10^{-2}}$$ $${\displaystyle {\frac {2.34\times 10^{2}}{5.67\times 10^{-5}}}\approx 0.413\times 10^{2-(-5)}=0.413\times 10^{7}=4.13\times 10^{6}}$$

La suma y la resta requieren que los números se representen utilizando la misma parte exponencial, de modo que el mantisa se pueda sumar o restar simplemente:

${\displaystyle x_{0}=m_{0}\times 10^{n_{0}}}$y con ${\displaystyle x_{1}=m_{1}\times 10^{n_{1}}}$ ${\displaystyle n_{0}=n_{1}}$

A continuación, suma o resta los significados: $${\displaystyle x_{0}\pm x_{1}=(m_{0}\pm m_{1})\times 10^{n_{0}}}$$

Un ejemplo: $${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$$

Otras bases

Si bien la base diez se utiliza normalmente para la notación científica, también se pueden utilizar potencias de otras bases, siendo ^[25] la base 2 la siguiente más comúnmente utilizada.

Por ejemplo, en notación científica base 2, el número 1001 _b en binario (=9 _d ) se escribe como 1.001 _b × 2 _d ^{11 _b} o 1.001 _b × 10 _b ^{11 _b} usando números binarios (o más corto 1.001 × 10 ¹¹ si el contexto binario es obvio). ^{[ cita requerida ]} En notación E, esto se escribe como 1.001 _b E11 _b (o más corto: 1.001E11) con la letra "E" que ahora representa "por dos (10 _b ) a la potencia" aquí. Para distinguir mejor este exponente de base 2 de un exponente de base 10, un exponente de base 2 a veces también se indica utilizando la letra "B" en lugar de "E", ^[26] una notación abreviada propuesta originalmente por Bruce Alan Martin del Laboratorio Nacional de Brookhaven en 1968, ^[27] como en 1.001 _b B11 _b (o más corto: 1.001B11). A modo de comparación, el mismo número en representación decimal : 1.125 × 2 ³ (utilizando la representación decimal), o 1.125B3 (aún utilizando la representación decimal). Algunas calculadoras utilizan una representación mixta para números binarios de punto flotante, donde el exponente se muestra como número decimal incluso en modo binario, por lo que lo anterior se convierte en 1.001 _b × 10 _b ^{3 _d} o más corto 1.001B3. ^[26]

Esto está estrechamente relacionado con la representación de punto flotante de base 2 comúnmente utilizada en aritmética informática y el uso de prefijos binarios IEC (por ejemplo, 1B10 para 1×2 ¹⁰ ( kibi ), 1B20 para 1×2 ²⁰ ( mebi ), 1B30 para 1×2 ³⁰ ( gibi ), 1B40 para 1×2 ⁴⁰ ( tebi )).

De manera similar a "B" (o "b" ^[28] ), las letras "H" ^[26] (o "h" ^[28] ) y "O" ^[26] (o "o", ^[28] o "C" ^[26] ) a veces también se usan para indicar 16 u 8 elevado a la potencia , como en 1,25 = 1,40 _h × 10 _h ^{0 _h} = 1,40H0 = 1,40h0, o 98000 = 2,7732 _o × 10 _o ^{5 _o} = 2,7732o5 = 2,7732C5. ^[26]

Otra convención similar para denotar exponentes de base 2 es usar una letra "P" (o "p", para "potencia"). En esta notación, el mantisa siempre debe ser hexadecimal, mientras que el exponente siempre debe ser decimal. ^[29] Esta notación se puede producir mediante implementaciones de la familia de funciones printf siguiendo la especificación C99 y el estándar IEEE Std 1003.1 POSIX ( Especificación Única de Unix ) , cuando se usan los especificadores de conversión %a o %A . ^{[29] [30] [31]} A partir de C++11 , las funciones de E/S de C++ también podían analizar e imprimir la notación P. Mientras tanto, la notación ha sido completamente adoptada por el estándar del lenguaje desde C++17 . ^[32] Swift de Apple también lo admite. ^[33] También lo requiere el estándar de punto flotante binario IEEE 754-2008 . Ejemplo: 1.3DEp42 representa 1.3DE _h × 2 ⁴² .

La notación de ingeniería puede verse como una notación científica de base 1000.

Véase también

• Notación posicional
• ISO/IEC 80000 : una norma internacional que guía el uso de cantidades físicas y unidades de medida en la ciencia.
• Numerales de Suzhou : un sistema de numeración chino utilizado anteriormente en el comercio, con el orden de magnitud escrito debajo del mantisa.
• Código RKM : una notación para especificar valores de resistencias y capacitores, con símbolos para potencias de 1000

Referencias

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15. Jim Davidson acuñó el término decapower y recomendó el separador "D" en el boletín 65 Notes para los usuarios de Hewlett-Packard HP-65 , y Richard C. Vanderburgh los promocionó en el boletín 52-Notes para los usuarios de Texas Instruments SR-52 .
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16. En concreto, los modelos PC-1280 (1987), PC-1470U (1987), PC-1475 (1987), PC-1480U (1988), PC-1490U (1990), PC-1490UII (1991), PC-E500 (1988), PC-E500S (1995), PC-E550 (1990), PC-E650 (1993) y PC-U6000 (1993).
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Enlaces externos

• Convertidor de notación decimal a notación científica
• Convertidor de notación científica a decimal
• La notación científica en la vida cotidiana
• Un ejercicio de conversión hacia y desde notación científica
• Convertidor de notación científica
• Capítulo de Notación científica de Lecciones de circuitos eléctricos Vol 1 DC, libro electrónico gratuito y serie Lecciones de circuitos eléctricos.