Cierre normal (teoría de grupos)

Grupo normal más pequeño que contiene un conjunto.

En teoría de grupos , el cierre normal de un subconjunto de un grupo es el subgrupo normal más pequeño que contiene ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S.}$

Propiedades y descripción

Formalmente, si es un grupo y es un subconjunto del cierre normal de es la intersección de todos los subgrupos normales de que contiene : ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.}$$

El cierre normal es el subgrupo normal más pequeño de que contiene ^[1] en el sentido de que es un subconjunto de cada subgrupo normal de que contiene ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S.}$

El subgrupo es generado por el conjunto de todos los conjugados de elementos de en ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G.}$

Por lo tanto también se puede escribir

$${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.}$$

Cualquier subgrupo normal es igual a su cierre normal. La clausura conjugada del conjunto vacío es el subgrupo trivial . ^[2] ${\displaystyle \varnothing }$

En la literatura se utilizan una variedad de otras notaciones para el cierre normal, incluidas y ${\displaystyle \langle S^{G}\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle S\rangle ^{G},}$ ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle _{G},}$ ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.}$

Dual al concepto de cierre normal es el de interior normal o núcleo normal , definido como la unión de todos los subgrupos normales contenidos en ^[3] ${\displaystyle S.}$

Presentaciones grupales

Para un grupo dado por una presentación con generadores y reladores que definen , la notación de presentación significa que es el grupo cociente donde hay un grupo libre en ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=F(S)/\operatorname {ncl} _{F(S)}(R),}$ ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle S.}$

Referencias

1. Derek F. Holt; Bettina Eick; Eamonn A. O'Brien (2005). Manual de teoría de grupos computacional. Prensa CRC. pag. 14.ISBN​ 1-58488-372-3.
2. Rotman, Joseph J. (1995). Una introducción a la teoría de grupos. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 148 (Cuarta ed.). Nueva York: Springer-Verlag . pag. 32.doi : 10.1007 /978-1-4612-4176-8. ISBN 0-387-94285-8. SEÑOR  1307623.
3. Robinson, Derek JS (1996). Un curso de teoría de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 80 (2ª ed.). Springer-Verlag . pag. 16.ISBN​ 0-387-94461-3. Zbl  0836.20001.
4. Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (2001). Teoría combinatoria de grupos. Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín. pag. 87.ISBN​  3-540-41158-5. SEÑOR  1812024.