norma de thurston

En matemáticas, la norma de Thurston es una función del segundo grupo de homología de una variedad 3 orientada introducida por William Thurston , que mide de forma natural la complejidad topológica de las clases de homología representadas por superficies.

Definición

Sea una variedad diferenciable y . Entonces se puede representar mediante una incrustación suave , donde hay una superficie (no necesariamente conectada) que es compacta y sin límites. La norma de Thurston se define entonces como ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c\in H_{2}(M)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S\to M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \|c\|_{T}=\min _{S}\sum _{i=1}^{n}\chi _{-}(S_{i})}$,

donde el mínimo se toma sobre todas las superficies incrustadas ( siendo los componentes conectados) que representan lo anterior, y es el valor absoluto de la característica de Euler para superficies que no son esferas (y 0 para esferas). ${\displaystyle S=\bigcup _{i}S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \chi _{-}(F)=\max(0,-\chi (F))}$

Esta función satisface las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \|kc\|_{T}=|k|\cdot \|c\|_{T}}$para ; ${\displaystyle c\in H_{2}(M),k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \|c_{1}+c_{2}\|_{T}\leq \|c_{1}\|_{T}+\|c_{2}\|_{T}}$para . ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in H_{2}(M)}$

Estas propiedades implican que se extiende a una función que luego puede extenderse por continuidad a una seminorma de . ^[2] Por dualidad de Poincaré , se puede definir la norma de Thurston en . ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle H_{2}(M,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{T}}$ ${\displaystyle H_{2}(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )}$

Cuando es compacto con límite, la norma de Thurston se define de manera similar sobre el grupo de homología relativa y su dual de Poincaré . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{2}(M,\partial M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )}$

Del trabajo posterior de David Gabai ^[3] se desprende que también se puede definir la norma Thurston utilizando únicamente superficies sumergidas . Esto implica que la norma de Thurston también es igual a la mitad de la norma de Gromov en homología.

Aplicaciones topológicas

La norma Thurston se introdujo en vista de sus aplicaciones a las fibras y foliaciones de 3 variedades.

La bola unitaria de la norma de Thurston de una variedad 3 es un politopo con vértices enteros. Se puede utilizar para describir la estructura del conjunto de fibras sobre el círculo: si se puede escribir como el toro de mapeo de un difeomorfismo de una superficie, entonces la incrustación representa una clase en una cara de dimensión superior (o abierta) de : además, todos los demás puntos enteros de la misma cara también son fibras en dicha fibración. ^[4] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle B}$

Las superficies incrustadas que minimizan la norma de Thurston en su clase de homología son exactamente las hojas cerradas de las foliaciones de . ^[3] ${\displaystyle M}$

Notas

1. Thurston 1986.
2. Thurston 1986, Teorema 1.
3. Gabai 1983.
4. Thurston 1986, Teorema 5.

Referencias

• Gabai, David (1983). "Foliaciones y topología de 3 variedades". Revista de Geometría Diferencial . 18 (3): 445–503. doi : 10.4310/jdg/1214437784 . SEÑOR  0723813.
• Thurston, William (1986). "Una norma para la homología de 3 variedades". Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense . 59 (33): i-vi y 99-130. SEÑOR  0823443.