Espacio Orlicz

Tipo de espacio funcional

En el análisis matemático , y especialmente en el análisis real , armónico y funcional , un espacio de Orlicz es un tipo de espacio funcional que generaliza los espacios L p . Al igual que estos , son espacios de Banach . Los espacios reciben su nombre de Władysław Orlicz , quien fue el primero en ^definirlos en 1932.

Además de los espacios L ^p , una variedad de espacios funcionales que surgen naturalmente en el análisis son los espacios de Orlicz. Uno de estos espacios L  log ⁺  L , que surge en el estudio de las funciones máximas de Hardy-Littlewood , consiste en funciones mensurables f tales que

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\log ^{+}|f(x)|\,dx<\infty .}$

Aquí log ⁺ es la parte positiva del logaritmo. También se incluyen en la clase de espacios de Orlicz muchos de los espacios de Sobolev más importantes . Además, los espacios de secuencias de Orlicz son ejemplos de espacios de Orlicz.

Terminología

Estos espacios son llamados espacios de Orlicz por una abrumadora mayoría de matemáticos y por todas las monografías que los estudian, porque Władysław Orlicz fue el primero en introducirlos, en 1932. ^[1] Algunos matemáticos, incluidos Wojbor Woyczyński, Edwin Hewitt y Vladimir Mazya , incluyen también el nombre de Zygmunt Birnbaum , haciendo referencia a su trabajo conjunto anterior con Władysław Orlicz . Sin embargo, en el artículo de Birnbaum-Orlicz no se introduce el espacio de Orlicz, ni explícitamente ni implícitamente, por lo que se prefiere el nombre de espacio de Orlicz. Por las mismas razones, esta convención también ha sido abiertamente criticada por otro matemático (y experto en la historia de los espacios de Orlicz), Lech Maligranda. ^[2] Orlicz fue confirmado como la persona que introdujo los espacios de Orlicz ya por Stefan Banach en su monografía de 1932. ^[3]

Definición

Configuración

μ es una medida σ-finita en un conjunto X ,

${\displaystyle \Phi :[0,\infty )\to [0,\infty ]}$, es una función de Young , es decir, convexa , semicontinua inferior y no trivial, en el sentido de que no es la función cero , y no es el dual convexo de la función cero ${\displaystyle x\mapsto 0}$ ${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}0{\text{ if }}x=0,\\+\infty {\text{ else.}}\end{cases}}}$

Espacios de Orlicz

Sea el conjunto de funciones mensurables f  : X → R tales que la integral ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$

${\displaystyle \int _{X}\Phi (|f|)\,d\mu }$

es finito, donde, como es habitual, se identifican funciones que concuerdan casi en todas partes .

Es posible que no sea un espacio vectorial (es decir, que no se pueda cerrar bajo la multiplicación escalar). El espacio vectorial de funciones abarcadas por es el espacio de Orlicz, denotado como . En otras palabras, es el espacio lineal más pequeño que contiene . En otras palabras, hay otro espacio de Orlicz (el espacio de Orlicz "pequeño") definido por En otras palabras, es el espacio lineal más grande contenido en . ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$ ${\displaystyle L_{\Phi }}$ ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$ $${\displaystyle L_{\Phi }=\left\{f{\Big |}\exists k>0,\int _{X}\Phi (k|f|)\,d\mu <\infty \right\}}$$ $${\displaystyle M_{\Phi }=\left\{f{\Big |}\forall k>0,\int _{X}\Phi (k|f|)\,d\mu <\infty \right\}}$$ ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$

Norma

Para definir una norma en , sea Ψ el complemento de Young de Φ; es decir, ${\displaystyle L_{\Phi }}$

${\displaystyle \Psi (x)=\int _{0}^{x}(\Phi ')^{-1}(t)\,dt.}$

Nótese que la desigualdad de Young para los productos se cumple:

${\displaystyle ab\leq \Phi (a)+\Psi (b).}$

La norma viene entonces dada por

${\displaystyle \|f\|_{\Phi }=\sup \left\{\|fg\|_{1}\mid \int \Psi (|g|)\,d\mu \leq 1\right\}.}$

Además, el espacio es precisamente el espacio de funciones mensurables para el cual esta norma es finita. ${\displaystyle L_{\Phi }}$

Una norma equivalente, ^{[4] : §3.3} llamada norma de Luxemburgo, se define en L _Φ por

${\displaystyle \|f\|'_{\Phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \int _{X}\Phi (|f|/k)\,d\mu \leq 1\right\},}$

y asimismo es el espacio de todas las funciones mensurables para las cuales esta norma es finita. ${\displaystyle L_{\Phi }(\mu )}$

Proposición. ^[5]

• Las dos normas son equivalentes en el sentido de que para todo medible . ${\displaystyle \|f\|_{\Phi }'\leq \|f\|_{\Phi }\leq 2\|f\|_{\Phi }'}$ ${\displaystyle f}$
• Por el teorema de convergencia monótona , si , entonces . ${\displaystyle 0<\|f\|_{\Phi }'<\infty }$ ${\displaystyle \int _{X}\Phi (|f|/\|f\|_{\Phi }')\,d\mu \leq 1}$

Ejemplos

Para cualquier , el espacio es el espacio de Orlicz con función de Orlicz . Aquí ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \Phi (t)=t^{p}}$ ${\displaystyle t^{\infty }={\begin{cases}0&{\text{ if }}t\in [0,1],\\+\infty &{\text{ else.}}\end{cases}}}$

Cuando , los espacios de Orlicz pequeño y grande para son iguales: . ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle \Phi (x)=x^{p}}$ ${\displaystyle M_{\Phi }\simeq L_{\Phi }}$

Ejemplo donde no es un espacio vectorial y es estrictamente menor que . Supóngase que X es el intervalo unitario abierto (0,1), Φ( x ) = exp( x ) – 1 –  x , y f ( x ) = log( x ). Entonces af está en el espacio pero solo está en el conjunto si | a | < 1. ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$ ${\displaystyle L_{\Phi }}$ ${\displaystyle L_{\Phi }}$ ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$

Propiedades

Proposición. La norma de Orlicz es una norma.

Demostración. Dado que para algunos , tenemos ae. Esto es obvio por definición. Para la desigualdad triangular, tenemos: Teorema. El espacio de Orlicz es un espacio de Banach , un espacio vectorial normado completo . ${\displaystyle \Phi (x)>0}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \|f\|_{\Phi }=0\to f=0}$ ${\displaystyle \|kf\|_{\Phi }=|k|\|f\|_{\Phi }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathcal {X}}\Phi \left({\frac {f+g}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}\right)d\mu \\=&\int _{\mathcal {X}}\Phi \left({\frac {\|f\|_{\Phi }}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}{\frac {f}{\|f\|_{\Phi }}}+{\frac {\|g\|_{\Phi }}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}{\frac {g}{\|g\|_{\Phi }}}\right)d\mu \\\leq &{\frac {\|f\|_{\Phi }}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}\int _{\mathcal {X}}\Phi \left({\frac {f}{\|f\|_{\Phi }}}\right)d\mu +{\frac {\|g\|_{\Phi }}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}\int _{\mathcal {X}}\Phi \left({\frac {g}{\|g\|_{\Phi }}}\right)d\mu \\\leq &1\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L^{\varphi }(X)}$

Teorema. ^[5] son ​​espacios de Banach duales topológicos . ${\displaystyle M_{\Phi },L_{\Phi ^{*}}}$

En particular, si , entonces son espacios duales topológicos. En particular, son espacios duales de Banach cuando y . ${\displaystyle M_{\Phi }=L_{\Phi }}$ ${\displaystyle L_{\Phi ^{*}},L_{\Phi }}$ ${\displaystyle L^{p},L^{q}}$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

Relación con los espacios de Sobolev

Ciertos espacios de Sobolev están incrustados en espacios de Orlicz: para y abiertos y acotados con el límite de Lipschitz , tenemos ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial X}$

${\displaystyle W_{0}^{1,n}(X)\subseteq L^{\varphi }(X)}$

para

${\displaystyle \varphi (t):=\exp \left(|t|^{n/(n-1)}\right)-1.}$

Este es el contenido analítico de la desigualdad de Trudinger : Para espacios abiertos y acotados con frontera de Lipschitz , considérese el espacio con y . Entonces existen constantes tales que ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(X)}$ ${\displaystyle kp=n}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2}>0}$

${\displaystyle \int _{X}\exp \left(\left({\frac {|u(x)|}{C_{1}\|\mathrm {D} ^{k}u\|_{L^{p}(X)}}}\right)^{n/(n-k)}\right)\,\mathrm {d} x\leq C_{2}|X|.}$

Norma de Orlicz de una variable aleatoria

De manera similar, la norma de Orlicz de una variable aleatoria la caracteriza de la siguiente manera:

${\displaystyle \|X\|_{\Psi }\triangleq \inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \operatorname {E} [\Psi (|X|/k)]\leq 1\right\}.}$

Esta norma es homogénea y se define sólo cuando este conjunto no está vacío.

Cuando , esto coincide con el momento p -ésimo de la variable aleatoria. Se toman otros casos especiales en la familia exponencial con respecto a las funciones (para ). Una variable aleatoria con norma finita se dice que es " subgaussiana " y una variable aleatoria con norma finita se dice que es " subexponencial ". De hecho, la acotación de la norma caracteriza el comportamiento limitante de la función de distribución de probabilidad: ${\displaystyle \Psi (x)=x^{p}}$ ${\displaystyle \Psi _{q}(x)=\exp(x^{q})-1}$ ${\displaystyle q\geq 1}$ ${\displaystyle \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Psi _{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{p}}$

${\displaystyle \|X\|_{\Psi _{p}}<\infty \iff {\mathbb {P}}(|X|\geq x)\leq Ke^{-K'x^{p}}\qquad {\rm {for\ some\ constants\ }}K,K'>0,}$

de modo que la cola de la función de distribución de probabilidad está limitada superiormente por . ${\displaystyle O(e^{-K'x^{p}})}$

La norma se puede calcular fácilmente a partir de una función generadora de momentos estrictamente monótona . Por ejemplo, la función generadora de momentos de una variable aleatoria chi-cuadrado X con K grados de libertad es , de modo que el recíproco de la norma está relacionado con la inversa funcional de la función generadora de momentos: ${\displaystyle \Psi _{1}}$ ${\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-K/2}}$ ${\displaystyle \Psi _{1}}$

${\displaystyle \|X\|_{\Psi _{1}}^{-1}=M_{X}^{-1}(2)=(1-4^{-1/K})/2.}$

Referencias

1. Über eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus B, Bull. Internacional. Acad. Polon. Ciencia. Lett., Clase. Ciencia. Matemáticas. Natur.: Sér. A, ciencia. Matemáticas. 1932:8/9, 207–220.
2. Lech Maligranda, Osiągnięcia polskich matematyków w teorii interpolacji operatorów: 1910–1960 , 2015, „Wiadomości matematyczne”, 51, 239-281 (en polaco).
3. Stefan Banach, 1932, Théorie des opérations linéaires, Warszawa (p.202)
4. Rao, MM; Ren, ZD (1991). Teoría de los espacios de Orlicz . Matemáticas puras y aplicadas. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8478-2.
5. Léonard, Christian. "Espacios de Orlicz". (2007).

Lectura adicional

• Krasnosel'skii, MA; Rutickii, Ya B. (1 de enero de 1961). Funciones convexas y espacios de Orlicz (1 ed.). Gordon y violación. ISBN 978-0-677-20210-5.Contiene las propiedades más comúnmente utilizadas de los espacios de Orlicz con la medida de Lebesgue. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Rao, MM; Ren, ZD (1991). Teoría de los espacios de Orlicz . Matemáticas puras y aplicadas. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8478-2.Contiene propiedades de los espacios de Orlicz sobre espacios generales con medidas generales, incluidos muchos ejemplos patológicos.
• Rubshtein, Ben-Zion A.; Grabarnik, Genady Ya; Muratov, Mustafa A.; Pashkova, Yulia S. (2016-12-20). Fundamentos de espacios simétricos de funciones mensurables: espacios de Lorentz, Marcinkiewicz y Orlicz (1.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. ISBN 978-3-319-42756-0.
• Birnbaum, ZW; Orlicz, W. (1931), "Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander Konjugierten Potenzen" (PDF) , Studia Mathematica , 3 : 1–67, archivado desde el original (PDF) el 27 de septiembre de 2011. El documento original.
• Bund, Iracema (1975), "Espacios de funciones de Birnbaum-Orlicz en grupos", Pacific Mathematics Journal , 58 (2): 351–359.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl, Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
• Zygmund, Antoni , "Capítulo IV: Clases de funciones y series de Fourier", Trigonometric Series, Volumen 1 (3.ª ed.), Cambridge University Press.
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel, Probabilidad en espacios de Banach , Springer-Verlag.

Enlaces externos

• "Espacio de Orlicz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]