Espacio de secuencias de Orlicz

En matemáticas , un espacio de secuencia de Orlicz es cualquiera de cierta clase de espacios lineales de secuencias escalares , dotado de una norma especial , especificada a continuación, bajo la cual forma un espacio de Banach . Los espacios de secuencia de Orlicz generalizan los espacios y, como tales, juegan un papel importante en el análisis funcional . Los espacios de secuencia de Orlicz son ejemplos particulares de espacios de Orlicz . ${\displaystyle \ell _{p}}$

Definición

Fije de modo que denote el campo escalar real o complejo. Decimos que una función es una función de Orlicz si es continua, no decreciente y (quizás no estrictamente) convexa, con y . En el caso especial donde existe con para todo se llama degenerada . ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle M:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle M(0)=0}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }M(t)=\infty }$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle M(t)=0}$ ${\displaystyle t\in [0,b]}$

En lo que sigue, a menos que se indique lo contrario, supondremos que todas las funciones de Orlicz son no degeneradas. Esto implica que para todos los . ${\displaystyle M(t)>0}$ ${\displaystyle t>0}$

Para cada conjunto de secuencias escalares ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{M}=\inf \left\{\rho >0:\sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )\leqslant 1\right\}.}$

Definimos entonces el espacio de secuencia de Orlicz con respecto a , denotado , como el espacio lineal de todos tales que para algún , dotado de la norma . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell _{M}}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$ ${\displaystyle \rho >0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$

Otras dos definiciones serán importantes en la discusión que sigue. Se dice que una función de Orlicz satisface la condición Δ ₂ en cero siempre que ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \limsup _{t\to 0}{\frac {M(2t)}{M(t)}}<\infty .}$

Denotamos por el subespacio de sucesiones escalares tales que para todo . ${\displaystyle h_{M}}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$ ${\displaystyle \rho >0}$

Propiedades

El espacio es un espacio de Banach, y generaliza los espacios clásicos en el siguiente sentido preciso: cuando , , entonces coincide con la -norma, y ​​por lo tanto ; si es la función de Orlicz degenerada, entonces coincide con la -norma, y ​​por lo tanto en este caso especial, y cuando es degenerada. ${\displaystyle \ell _{M}}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle M(t)=t^{p}}$ ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{p}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$ ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ ${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{\infty }}$ ${\displaystyle h_{M}=c_{0}}$ ${\displaystyle M}$

En general, los vectores unitarios pueden no formar una base para , y por lo tanto el siguiente resultado es de considerable importancia. ${\displaystyle \ell _{M}}$

Teorema 1. Si es una función de Orlicz entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle M}$

1. ${\displaystyle M}$satisface la condición Δ ₂ en cero, es decir . ${\textstyle \limsup _{t\to 0}M(2t)/M(t)<\infty }$
2. Para cada existen constantes positivas y por lo tanto para todo . ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle K=K(\lambda )}$ ${\displaystyle b=b(\lambda )}$ ${\displaystyle M(\lambda t)\leqslant KM(t)}$ ${\displaystyle t\in [0,b]}$
3. ${\textstyle \limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)<\infty }$(donde es una función no decreciente definida en todas partes excepto quizás en un conjunto contable, donde en lugar de eso podemos tomar la derivada de la derecha que está definida en todas partes). ${\displaystyle M'}$
4. ${\displaystyle \ell _{M}=h_{M}}$.
5. Los vectores unitarios forman una base simétrica acotada y completa para . ${\displaystyle \ell _{M}}$
6. ${\displaystyle \ell _{M}}$es separable
7. ${\displaystyle \ell _{M}}$no contiene ningún subespacio isomorfo a . ${\displaystyle \ell _{\infty }}$
8. ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}}$si y sólo si . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|)<\infty }$

Dos funciones de Orlicz y que satisfacen la condición Δ ₂ en cero se denominan equivalentes siempre que existan constantes positivas tales que para todo . Este es el caso si y solo si las bases de los vectores unitarios de y son equivalentes. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,B,b>0}$ ${\displaystyle AN(t)\leqslant M(t)\leqslant BN(t)}$ ${\displaystyle t\in [0,b]}$ ${\displaystyle \ell _{M}}$ ${\displaystyle \ell _{N}}$

${\displaystyle \ell _{M}}$pueden ser isomorfos sin que sus bases de vector unitario sean equivalentes. (Véase el ejemplo siguiente de un espacio de secuencia de Orlicz con dos bases simétricas no equivalentes). ${\displaystyle \ell _{N}}$

Teorema 2. Sea una función de Orlicz. Entonces es reflexiva si y sólo si ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell _{M}}$

${\displaystyle \liminf _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}>1\;\;}$y . ${\displaystyle \;\;\limsup _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}<\infty }$

Teorema 3 (KJ Lindberg). Sea un subespacio cerrado de dimensión infinita de un espacio de secuencias de Orlicz separable . Entonces tiene un subespacio isomorfo a algún espacio de secuencias de Orlicz para alguna función de Orlicz que satisface la condición Δ ₂ en cero. Si además tiene una base incondicional entonces puede elegirse que se complemente en , y si tiene una base simétrica entonces es isomorfo a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell _{M}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell _{N}}$

Teorema 4 (Lindenstrauss/Tzafriri). Todo espacio de secuencias de Orlicz separable contiene un subespacio isomorfo a para algún . ${\displaystyle \ell _{M}}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$

Corolario. Todo subespacio cerrado de dimensión infinita de un espacio de secuencia de Orlicz separable contiene un subespacio adicional isomorfo a para algún . ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$

Nótese que en el Teorema 4 anterior, no siempre se puede elegir la copia para complementarla, como lo muestra el siguiente ejemplo. ${\displaystyle \ell _{p}}$

Ejemplo (Lindenstrauss/Tzafriri). Existe un espacio de secuencias de Orlicz separable y reflexivo que no contiene una copia complementada de para ningún . Este mismo espacio contiene al menos dos bases simétricas no equivalentes. ${\displaystyle \ell _{M}}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$ ${\displaystyle \ell _{M}}$

Teorema 5 (KJ Lindberg y Lindenstrauss/Tzafriri). Si es un espacio de secuencias de Orlicz que satisface (es decir, existe el límite bilateral), entonces todas las siguientes afirmaciones son verdaderas. ${\displaystyle \ell _{M}}$ ${\textstyle \liminf _{t\to 0}tM'(t)/M(t)=\limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)}$

1. ${\displaystyle \ell _{M}}$es separable
2. ${\displaystyle \ell _{M}}$contiene una copia complementada de para algunos . ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$
3. ${\displaystyle \ell _{M}}$tiene una base simétrica única (hasta equivalencia).

Ejemplo. Para cada , la función de Orlicz satisface las condiciones del Teorema 5 anterior, pero no es equivalente a . ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ ${\displaystyle M(t)=t^{p}/(1-\log(t))}$ ${\displaystyle t^{p}}$

Referencias

• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1977), Espacios de Banach clásicos I, Espacios de secuencias , ISBN 978-3-642-66559-2
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (septiembre de 1971). "Sobre los espacios de secuencia de Orlicz". Revista Israelí de Matemáticas . 10 (3): 379–390. doi : 10.1007/BF02771656 .
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (diciembre de 1972). "Sobre los espacios de secuencia de Orlicz. II". Revista Israelí de Matemáticas . 11 (4): 355–379. doi : 10.1007/BF02761463 .
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (diciembre de 1973). "Sobre los espacios de secuencia de Orlicz III". Revista Israelí de Matemáticas . 14 (4): 368–389. doi : 10.1007/BF02764715 .