No dimensionalización y escalamiento de las ecuaciones de Navier-Stokes

En mecánica de fluidos , la adimensionalización de las ecuaciones de Navier-Stokes es la conversión de la ecuación de Navier-Stokes a una forma adimensional . Esta técnica puede facilitar el análisis del problema en cuestión y reducir el número de parámetros libres . Los tamaños pequeños o grandes de ciertos parámetros adimensionales indican la importancia de ciertos términos en las ecuaciones para el flujo estudiado. Esto puede proporcionar posibilidades de descuidar términos en (ciertas áreas del) flujo considerado. Además, las ecuaciones de Navier-Stokes adimensionalizadas pueden ser beneficiosas si uno se enfrenta a situaciones físicas similares, es decir, problemas en los que los únicos cambios son los de las dimensiones básicas del sistema.

El escalamiento de la ecuación de Navier-Stokes se refiere al proceso de selección de las escalas espaciales adecuadas (para un cierto tipo de flujo) que se utilizarán en la adimensionalización de la ecuación. Dado que las ecuaciones resultantes deben ser adimensionales, se debe encontrar una combinación adecuada de parámetros y constantes de las ecuaciones y características del flujo (dominio). Como resultado de esta combinación, se reduce el número de parámetros a analizar y los resultados se pueden obtener en términos de las variables escaladas .

Necesidad de no dimensionalización y escalabilidad

Además de reducir el número de parámetros, la ecuación no dimensionalizada ayuda a obtener una mayor comprensión del tamaño relativo de los diversos términos presentes en la ecuación. ^{[1] [2]} Después de la selección adecuada de escalas para el proceso de no dimensionalización, esto conduce a la identificación de términos pequeños en la ecuación. Despreciar los términos más pequeños en relación con los más grandes permite la simplificación de la situación. Para el caso de flujo sin transferencia de calor , la ecuación de Navier-Stokes no dimensionalizada depende solo del Número de Reynolds y, por lo tanto, todas las realizaciones físicas del experimento relacionado tendrán el mismo valor de variables no dimensionalizadas para el mismo Número de Reynolds. ^[3]

El escalamiento ayuda a comprender mejor la situación física, con la variación de las dimensiones de los parámetros que intervienen en la ecuación. Esto permite realizar experimentos en prototipos de menor escala, siempre que los efectos físicos que no estén incluidos en la ecuación no dimensionalizada no sean importantes.

Ecuación de Navier-Stokes no dimensionalizada

La ecuación de momento incompresible de Navier-Stokes se escribe como:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {g} .}$ ^{[4] [5]}

donde ρ es la densidad , p es la presión , ν es la viscosidad cinemática , u es la velocidad de flujo y g es el campo de aceleración del cuerpo.

La ecuación anterior se puede adimensionalizar mediante la selección de escalas apropiadas de la siguiente manera:

Sustituyendo las escalas la ecuación no dimensionalizada obtenida es:

donde es el número de Froude y es el número de Reynolds ( ). ${\displaystyle Fr}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re=UL/\nu }$

Flujos con gran viscosidad

Para flujos donde predominan las fuerzas viscosas , es decir, flujos lentos con gran viscosidad, se utiliza una escala de presión viscosa μ U / L . En ausencia de superficie libre, la ecuación obtenida es

Régimen de Stokes

Se puede escalar la ecuación ( 1 ) en un flujo donde el término de inercia es menor que el término viscoso, es decir, cuando Re → 0, entonces se pueden descuidar los términos de inercia, dejando la ecuación de un movimiento de arrastre .

${\displaystyle Re{\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}=-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$

Estos flujos tienden a tener influencia de interacción viscosa a grandes distancias de un objeto. ^{[ cita requerida ]} Con un número de Reynolds bajo, la misma ecuación se reduce a una ecuación de difusión , llamada ecuación de Stokes.

${\displaystyle -\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} =\mathbf {0} .}$

Régimen de Euler

De manera similar, si Re → ∞, es decir, cuando predominan las fuerzas de inercia, se puede despreciar la contribución viscosa. La ecuación de Euler no dimensionalizada para un flujo no viscoso es

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}.}$^[6]

Cuando la densidad varía debido tanto a la concentración como a la temperatura

La variación de la densidad debido tanto a la concentración como a la temperatura es un campo de estudio importante en la convección difusiva doble . Si se tienen en cuenta los cambios de densidad debidos tanto a la temperatura como a la salinidad, se suman algunos términos más al componente Z del momento de la siguiente manera: ^{[7] [8]}

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}+U{\frac {\partial W}{\partial X}}+W{\frac {\partial W}{\partial Z}}\ =-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z}}+v\left({\frac {\partial ^{2}W}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial Z^{2}}}\right)\ -g\left(\beta _{s}\nabla {S}-\beta _{T}\nabla {T}\right)}$

Donde S es la salinidad del fluido, β _T es el coeficiente de expansión térmica a presión constante y β _S es el coeficiente de expansión salina a presión y temperatura constantes.

No dimensionalización utilizando la escala:

${\displaystyle S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}}}$y ${\displaystyle T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}}}$

Nosotros conseguimos

${\displaystyle {\frac {\partial W^{*}}{\partial t^{*}}}+U^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial X^{*}}}+W^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial Z^{*}}}\ =-{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z^{*}}}+Pr\left({\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial X^{*2}}}+{\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial Z^{*2}}}\right)\ -{Ra_{s}Pr_{s}S}+{Ra_{T}Pr_{T}T}}$

donde S _T , T _T denotan la salinidad y temperatura en la capa superior, S _B , T _B denotan la salinidad y temperatura en la capa inferior, Ra es el número de Rayleigh y Pr es el número de Prandtl . El signo de Ra _S y Ra _T cambiará dependiendo de si estabiliza o desestabiliza el sistema.

Referencias

Notas al pie

1. Versteeg HK, Introducción a la dinámica de fluidos computacional: el método de volumen finito, 2007, prentice hall, 9780131274983
2. Patankar Suhas V., Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos, 1980, Taylor & Francis, 9780891165224
3. Salvi Rodolfo, La teoría de ecuaciones de Navier Stokes y los métodos numéricos, 2002, M. Dekker, 9780824706722
4. Fox, Robert W.; Alan T. McDonald; Philip J. Pritchard (2006). Introducción a la mecánica de fluidos (6.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. págs. 213-215. ISBN 9780471735588.
5. Tritton, DJ (1988). Dinámica de fluidos físicos (2.ª ed.). Oxford [Inglaterra]: Clarendon Press. pp. 55–58. ISBN 0198544898.
6. White, Frank M. (2003). Mecánica de fluidos (5.ª ed.). Boston: McGraw-Hill. pp. 188-189. ISBN 9780072402179.
7. Sobre la relación entre el ancho de los dedos, la velocidad y los flujos en la convección termohalina, 2009, KR Sreenivas, OP Singh y J. Srinivasan, Phys. Fluids (American Institute of Physics) 21(2), págs. 026-601.
8. Aproximación del sistema hidrostático Navier-Stokes para flujos estratificados por densidad mediante un modelo multicapa. Interpretación cinética y validación numérica, E. Audusse, M.-O. Bristeau, M. Pelanti, J. Sainte-Marie, Université Paris 13, Institut Galilée, 99 Avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, Francia. INRIA Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex, Francia. Laboratorio Saint-Venant, 6 quai Watier, 78400 Chatou, Francia.

Otro

• "Navier–Stokes no dimensionalizado". CFD Online . Consultado el 11 de octubre de 2012 .
• T. Cebeci, J. RShao, F. Kafyeke, E. Laurendeau, Dinámica de fluidos computacional para ingenieros, Springer, 2005
• C. Pozrikidis, Teoría, computación y simulación numérica de la DINÁMICA DE FLUIDOS, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, 2001

• Y. Cengel y J. Cimbala, MECÁNICA DE FLUIDOS: Fundamentos y aplicaciones, 4.ª edición, McGraw-Hill Education, 2018 (ver pág. 521, sección 10.2. Ecuaciones de movimiento no dimensionalizadas).

Lectura adicional

• Doering, CR ; Gibbon, JD (1995). Análisis aplicado de las ecuaciones de Navier-Stokes . Cambridge Texts in Applied Mathematics. Vol. 12. Cambridge University Press. ISBN 9780521445689.
• Tritton, DJ (1988). "Capítulo 7 – Similitud dinámica". Dinámica de fluidos físicos (2.ª ed.). Oxford [Inglaterra]: Clarendon Press. ISBN 0198544898.
• Mattheij, RMM; Rienstra, SW; ten Thije Boonkkamp, ​​JHM (2005). "§7.4 – Escalamiento y reducción de las ecuaciones de Navier–Stokes". Ecuaciones diferenciales parciales: modelado, análisis, cálculo . SIAM. págs. 148–155. ISBN 9780898715941.
• Graebel, William (2007). "§6.2 – Las ecuaciones de la capa límite". Mecánica de fluidos avanzada . Academic Press. pp. 171–174. ISBN 9780123708854.
• Leal, L. Gary (2007). Fenómenos de transporte avanzados: mecánica de fluidos y procesos de transporte convectivo . Cambridge University Press. ISBN 9780521849104.
  Este libro contiene varios ejemplos de diferentes no dimensionalizaciones y escalamientos de las ecuaciones de Navier-Stokes, ver pág. 430.
• Krantz, William B. (2007). Análisis de escala en el modelado de procesos de transporte y reacción: un enfoque sistemático para la construcción de modelos y el arte de la aproximación . John Wiley & Sons. ISBN 9780471772613.
• Zeytounian, Radyadour Kh. (2002). Modelado asintótico de fenómenos de flujo de fluidos . Mecánica de fluidos y sus aplicaciones. Vol. 64. Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-0432-2.