La geometría algebraica no conmutativa es una rama de las matemáticas , y más específicamente una dirección de la geometría no conmutativa , que estudia las propiedades geométricas de los duales formales de objetos algebraicos no conmutativos como anillos , así como objetos geométricos derivados de ellos (por ejemplo, pegando localizaciones o tomando cocientes de pila no conmutativos ).
Por ejemplo, se supone que la geometría algebraica no conmutativa amplía la noción de un esquema algebraico mediante el pegado adecuado de espectros de anillos no conmutativos; Dependiendo de cuán literal y cuán generalmente se entienda este objetivo (y una noción de espectro) en un entorno no conmutativo, esto se ha logrado con diversos niveles de éxito. El anillo no conmutativo generaliza aquí un anillo conmutativo de funciones regulares en un esquema conmutativo . Las funciones en espacios habituales en la geometría algebraica tradicional (conmutativa) tienen un producto definido por multiplicación puntual ; a medida que los valores de estas funciones se conmutan , las funciones también se conmutan: a por b es igual a b por a . Es notable que considerar las álgebras asociativas no conmutativas como álgebras de funciones en un espacio potencial "no conmutativo" sea una intuición geométrica de largo alcance, aunque formalmente parezca una falacia. [ cita necesaria ]
Gran parte de la motivación para la geometría no conmutativa, y en particular para la geometría algebraica no conmutativa, proviene de la física; especialmente de la física cuántica, donde las álgebras de observables se consideran análogas no conmutativas de funciones, por lo que es deseable tener la capacidad de observar sus aspectos geométricos.
Uno de los valores del campo es que también proporciona nuevas técnicas para estudiar objetos en geometría algebraica conmutativa como los grupos de Brauer .
Los métodos de geometría algebraica no conmutativa son análogos de los métodos de geometría algebraica conmutativa, pero frecuentemente los fundamentos son diferentes. El comportamiento local en geometría algebraica conmutativa es capturado por el álgebra conmutativa y especialmente por el estudio de anillos locales . Éstos no tienen un análogo de la teoría de anillos en el entorno no conmutativo; aunque en una configuración categórica se puede hablar de pilas de categorías locales de haces cuasicoherentes sobre espectros no conmutativos. Las propiedades globales como las que surgen del álgebra homológica y la teoría K se trasladan con mayor frecuencia al entorno no conmutativo.
La geometría algebraica conmutativa comienza construyendo el espectro de un anillo . Los puntos de la variedad algebraica (o más generalmente, esquema ) son los ideales primos del anillo, y las funciones de la variedad algebraica son los elementos del anillo. Sin embargo, un anillo no conmutativo puede no tener ideales primos bilaterales distintos de cero. Por ejemplo, esto es cierto para el álgebra de Weyl de operadores diferenciales polinómicos en espacios afines: El álgebra de Weyl es un anillo simple . Por lo tanto, se puede, por ejemplo, intentar sustituir un espectro primo por un espectro primitivo : también existen la teoría de la localización no conmutativa y la teoría de la descendencia . Esto funciona hasta cierto punto: por ejemplo, se puede considerar que las álgebras envolventes de Dixmier resuelven una geometría algebraica no conmutativa para el espectro primitivo de un álgebra envolvente de un álgebra de Lie . Otro trabajo con un espíritu similar son las notas de Michael Artin tituladas “anillos no conmutativos”, [1] que en parte son un intento de estudiar la teoría de la representación desde un punto de vista de la geometría no conmutativa. La idea clave de ambos enfoques es que las representaciones irreductibles , o al menos los ideales primitivos , pueden considerarse "puntos no conmutativos".
Al final resultó que, partiendo, digamos, de espectros primitivos, no fue fácil desarrollar una teoría de haz viable . Uno podría imaginar que esta dificultad se debe a una especie de fenómeno cuántico: los puntos en un espacio pueden influir en puntos lejanos (y, de hecho, no es apropiado tratar los puntos individualmente y ver un espacio como una mera colección de puntos).
Debido a lo anterior, se acepta un paradigma implícito en la tesis de Pierre Gabriel y parcialmente justificado por el teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg (según Pierre Gabriel y Alexander L. Rosenberg ) de que un esquema conmutativo puede reconstruirse, hasta el isomorfismo de esquemas, únicamente de la categoría abeliana de haces cuasicoherentes en el esquema. Alexander Grothendieck enseñó que para hacer geometría no se necesita un espacio, basta con tener una categoría de haces que sería espacio; esta idea ha sido transmitida al álgebra no conmutativa por Yuri Manin . Hay teoremas de reconstrucción, un poco más débiles, de las categorías derivadas de haces (cuasi) coherentes que motivan la geometría algebraica no conmutativa derivada (ver más abajo).
Quizás el enfoque más reciente sea a través de la teoría de la deformación , colocando la geometría algebraica no conmutativa en el ámbito de la geometría algebraica derivada .
Como ejemplo motivador, considere el álgebra de Weyl unidimensional sobre los números complejos C. Este es el cociente del anillo libre C < x , y > por la relación
Este anillo representa los operadores diferenciales polinómicos en una sola variable x ; y sustituye al operador diferencial ∂ x . Este anillo encaja en una familia de un parámetro dada por las relaciones xy - yx = α . Cuando α no es cero, entonces esta relación determina un anillo isomorfo al álgebra de Weyl. Sin embargo, cuando α es cero, la relación es la relación de conmutatividad para x e y , y el anillo cociente resultante es el anillo polinómico en dos variables, C [ x , y ]. Geométricamente, el anillo polinómico en dos variables representa el espacio afín bidimensional A 2 , por lo que la existencia de esta familia uniparamétrica dice que el espacio afín admite deformaciones no conmutativas al espacio determinadas por el álgebra de Weyl. Esta deformación está relacionada con el símbolo de un operador diferencial y que A 2 es el fibrado cotangente de la recta afín. (El estudio del álgebra de Weyl puede conducir a información sobre el espacio afín: la conjetura de Dixmier sobre el álgebra de Weyl es equivalente a la conjetura jacobiana sobre el espacio afín).
En esta línea de enfoque, la noción de operad , un conjunto o espacio de operaciones, se vuelve prominente: en la introducción a (Francis 2008) , Francis escribe:
Comenzamos el estudio de ciertas geometrías algebraicas menos conmutativas. … Se puede considerar que los anillos superiores de la geometría algebraica interpolan entre algunas teorías derivadas de geometrías algebraicas conmutativas y no conmutativas. A medida que n aumenta, estas -álgebras convergen a la geometría algebraica derivada de Toën-Vezzosi y Lurie .
Una de las construcciones básicas en geometría algebraica conmutativa es la construcción Proj de un anillo conmutativo graduado . Esta construcción construye una variedad algebraica proyectiva junto con un haz de líneas muy amplio cuyo anillo de coordenadas homogéneo es el anillo original. Construir el espacio topológico subyacente de la variedad requiere localizar el anillo, pero construir gavillas en ese espacio no. Según un teorema de Jean-Pierre Serre , las gavillas cuasi coherentes en Proj de un anillo graduado son iguales que los módulos graduados sobre el anillo hasta factores de dimensiones finitas. La filosofía de la teoría del topos promovida por Alexander Grothendieck dice que la categoría de haces en un espacio puede servir como el espacio mismo. En consecuencia, en geometría algebraica no conmutativa uno a menudo define Proj de la siguiente manera: Sea R un álgebra C graduada , y sea Mod- R la categoría de R -módulos rectos graduados . Sea F la subcategoría de Mod- R que consta de todos los módulos de longitud finita. Proj R se define como el cociente de la categoría abeliana Mod - R por F. De manera equivalente, es una localización de Mod- R en la que dos módulos se vuelven isomorfos si, después de tomar sus sumas directas con objetos de F apropiadamente elegidos , son isomorfos en Mod- R .
Este enfoque conduce a una teoría de la geometría proyectiva no conmutativa . Una curva proyectiva suave no conmutativa resulta ser una curva conmutativa suave, pero para curvas singulares o espacios suaves de dimensiones superiores, la configuración no conmutativa permite nuevos objetos.
