En matemáticas , los espacios de curvatura no positiva se dan en muchos contextos y forman una generalización de la geometría hiperbólica . En la categoría de variedades de Riemann , se puede considerar la curvatura seccional de la variedad y exigir que esta curvatura sea en todas partes menor o igual a cero. La noción de curvatura se extiende a la categoría de espacios métricos geodésicos , donde se pueden utilizar triángulos de comparación para cuantificar la curvatura de un espacio; en este contexto, los espacios de curvatura no positiva se conocen como espacios CAT(0) (localmente) .
Si es una superficie de Riemann cerrada y orientable , entonces se sigue del teorema de uniformización que puede estar dotada de una métrica de Riemann completa con curvatura gaussiana constante de o bien , o bien . Como resultado del teorema de Gauss-Bonnet se puede determinar que las superficies que tienen una métrica de Riemann de curvatura constante , es decir, superficies de Riemann con una métrica de Riemann completa de curvatura constante no positiva, son exactamente aquellas cuyo género es al menos . El teorema de uniformización y el teorema de Gauss-Bonnet se pueden aplicar a superficies de Riemann orientables con borde para mostrar que aquellas superficies que tienen una característica de Euler no positiva son exactamente aquellas que admiten una métrica de Riemann de curvatura no positiva. Por lo tanto, existe una familia infinita de tipos de homeomorfismo de tales superficies, mientras que la esfera de Riemann es la única superficie de Riemann cerrada y orientable de curvatura gaussiana constante .
La definición de curvatura anterior depende de la existencia de una métrica de Riemann y, por lo tanto, pertenece al campo de la geometría. Sin embargo, el teorema de Gauss-Bonnet asegura que la topología de una superficie impone restricciones a las métricas de Riemann completas que se pueden imponer a una superficie, por lo que el estudio de los espacios métricos de curvatura no positiva es de vital interés tanto en los campos matemáticos de la geometría como en los de la topología . Ejemplos clásicos de superficies de curvatura no positiva son el plano euclidiano y el toro plano (para la curvatura ) y el plano hiperbólico y la pseudoesfera (para la curvatura ). Por esta razón, estas métricas, así como las superficies de Riemann en las que se encuentran como métricas completas, se denominan euclidianas e hiperbólicas respectivamente.
Las características de la geometría de las superficies de Riemann de curvatura no positiva se utilizan para generalizar la noción de no positivo más allá del estudio de las superficies de Riemann. En el estudio de variedades u orbifolds de mayor dimensión, se utiliza la noción de curvatura seccional , en la que se restringe la atención a los subespacios bidimensionales del espacio tangente en un punto dado. En dimensiones mayores que el teorema de rigidez de Mostow-Prasad asegura que una variedad hiperbólica de área finita tiene una métrica hiperbólica completa única, por lo que el estudio de la geometría hiperbólica en este contexto es parte integral del estudio de la topología .
En un espacio métrico geodésico arbitrario, las nociones de ser hiperbólico de Gromov o de ser un espacio CAT(0) generalizan la noción de que en una superficie de Riemann de curvatura no positiva, los triángulos cuyos lados son geodésicos aparecen delgados mientras que en entornos de curvatura positiva aparecen gruesos . Esta noción de curvatura no positiva permite que la noción de curvatura no positiva se aplique más comúnmente a los grafos y, por lo tanto, es de gran utilidad en los campos de la combinatoria y la teoría de grupos geométricos .
