Matriz no negativa

Matriz sin elementos negativos

En matemáticas , una matriz no negativa , escrita

${\displaystyle \mathbf {X} \geq 0,}$

es una matriz en la que todos los elementos son iguales o mayores que cero, es decir,

${\displaystyle x_{ij}\geq 0\qquad \forall {i,j}.}$

Una matriz positiva es una matriz en la que todos los elementos son estrictamente mayores que cero. El conjunto de matrices positivas es el interior del conjunto de todas las matrices no negativas. Si bien este tipo de matrices se encuentran con frecuencia, el término "matriz positiva" solo se utiliza ocasionalmente debido a la posible confusión con las matrices definidas positivas , que son diferentes. Una matriz que es a la vez no negativa y semidefinida positiva se denomina matriz doblemente no negativa .

Una matriz rectangular no negativa se puede aproximar mediante una descomposición con otras dos matrices no negativas mediante factorización de matrices no negativas .

Los valores propios y vectores propios de matrices cuadradas positivas se describen mediante el teorema de Perron-Frobenius .

Propiedades

• La traza y cada suma/producto de filas y columnas de una matriz no negativa es no negativa.

Inversión

La inversa de cualquier matriz M no singular ^{[ aclaración necesaria ]} es una matriz no negativa. Si la matriz M no singular también es simétrica, se denomina matriz de Stieltjes .

La inversa de una matriz no negativa no suele ser no negativa. La excepción son las matrices monomiales no negativas : una matriz no negativa tiene inversa no negativa si y solo si es una matriz monomial (no negativa). Nótese que, por lo tanto, la inversa de una matriz positiva no es positiva ni tampoco no negativa, ya que las matrices positivas no son monomiales, para dimensión n > 1 .

Especializaciones

Hay varios grupos de matrices que forman especializaciones de matrices no negativas, por ejemplo: matriz estocástica , matriz doblemente estocástica y matriz simétrica no negativa.

Véase también

• Matriz de Metzler

Bibliografía

• Berman, Abraham; Plemmons, Robert J. (1994). Matrices no negativas en las ciencias matemáticas . SIAM. doi :10.1137/1.9781611971262. ISBN. 0-89871-321-8.
• Berman y Plemmons 1994, 2. Matrices no negativas, págs. 26-62. doi :10.1137/1.9781611971262.ch2
• Horn, RA; Johnson, CR (2013). "8. Matrices positivas y no negativas". Análisis de matrices (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-78203-6.OCLC 817562427  .
• Krasnosel'skii, MA (1964). Soluciones positivas de ecuaciones de operadores . Groningen : P. Noordhoff. OCLC  609079647.
• Krasnosel'skii, MA ; Lifshits, Je.A.; Sobolev, AV (1990). Sistemas lineales positivos: el método de operadores positivos . Serie Sigma en Matemáticas Aplicadas. Vol. 5. Helderman Verlag. ISBN 3-88538-405-1.OCLC 1409010096  .
• Minc, Henryk (1988). Matrices no negativas . Wiley. ISBN 0-471-83966-3.OCLC 1150971811  .
• Seneta, E. (1981). Matrices no negativas y cadenas de Markov . Springer Series in Statistics (2.ª ed.). Springer. doi :10.1007/0-387-32792-4. ISBN. 978-0-387-29765-1.OCLC 209916821  .
• Varga, RS (2009). "Matrices no negativas". Análisis iterativo de matrices . Springer Series in Computational Mathematics. Vol. 27. Springer. págs. 31–62. doi :10.1007/978-3-642-05156-2_2. ISBN. 978-3-642-05156-2.