Esfericidad

Representación esquemática de la diferencia en la forma del grano. Se muestran dos parámetros: esfericidad (vertical) y redondez (horizontal).

La esfericidad es una medida de la similitud entre la forma de un objeto y la de una esfera perfecta . Por ejemplo, la esfericidad de las bolas dentro de un rodamiento determina la calidad del rodamiento, como la carga que puede soportar o la velocidad a la que puede girar sin fallar. La esfericidad es un ejemplo específico de una medida de compacidad de una forma .

La esfericidad se aplica en tres dimensiones ; su análogo en dos dimensiones , como los círculos de la sección transversal a lo largo de un objeto cilíndrico como un eje , se llama redondez .

Definición

Definida por Wadell en 1935, ^[1] la esfericidad, , de un objeto es la relación entre el área de superficie de una esfera con el mismo volumen y el área de superficie del objeto: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

donde es el volumen del objeto y es el área de la superficie. La esfericidad de una esfera es la unidad por definición y, por la desigualdad isoperimétrica , cualquier forma que no sea una esfera tendrá una esfericidad menor que 1. ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle A_{p}}$

Objetos elipsoidales

La esfericidad, , de un esferoide achatado (similar a la forma del planeta Tierra ) es: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},}$

donde a y b son los ejes semimayor y semimenor respectivamente.

Derivación

Hakon Wadell definió la esfericidad como el área de superficie de una esfera del mismo volumen que la partícula dividida por el área de superficie real de la partícula.

Primero necesitamos escribir el área de la superficie de la esfera, en términos del volumen del objeto que se está midiendo. ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle V_{p}}$

${\displaystyle A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}}$

por lo tanto

${\displaystyle A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}$

Por lo tanto definimos como: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

Esfericidad de objetos comunes

Véase también

• Diámetro esférico equivalente
• Aplastamiento
• Relación isoperimétrica
• Redondeo (sedimento)
• Redondez
• Energía Willmore

Referencias

1. Wadell, Hakon (1935). "Volumen, forma y redondez de partículas de cuarzo". Revista de geología . 43 (3): 250–280. Código Bibliográfico :1935JG.....43..250W. doi :10.1086/624298.

Enlaces externos

• Morfología del grano: redondez, características de la superficie y esfericidad de los granos