No co-otiente

En teoría de números , un no cociente es un entero positivo $n$ que no se puede expresar como la diferencia entre un entero positivo $m$ y el número de enteros coprimos por debajo de él. Es decir, $m - φ (m) = n$ , donde $φ$ representa la función cociente de Euler , no tiene solución para $m$ . El cociente de $n$ se define como $n - φ (n)$ , por lo que un no cociente es un número que nunca es cociente.

Se conjetura que todos los no cocientes son pares. Esto se desprende de una forma modificada de la versión ligeramente más fuerte de la conjetura de Goldbach : si el número par $n$ puede representarse como una suma de dos primos distintos $p$ y $q$ , entonces

${\begin{aligned}pq-\varphi (pq)&=pq-(p-1)(q-1)\\&=p+q-1\\&=n-1.\end{ alineado}}$

Se espera que cada número par mayor que 6 sea una suma de dos primos distintos, por lo que probablemente ningún número impar mayor que 5 sea un no co-cotiente. Los números impares restantes están cubiertos por las observaciones $1 = 2 - φ (2)$ , $3 = 9 - φ (9)$ y $5 = 25 - φ (25)$ .

Para números pares, se puede demostrar ${\begin{aligned}2pq-\varphi (2pq)&=2pq-(p-1)(q-1)\\&=pq+p+q-1\\&=(p+1)(q+1)-2\end{aligned}}$

Por lo tanto, todos los números pares $n$ tales que $n + 2$ pueden escribirse como $(p + 1) (q + 1)$ con $p, q$ primos son cocientes.

Los primeros no co-totientes son

10 , 26 , 34 , 50 , 52 , 58 , 86 , 100 , 116 , 122 , 130 , 134 , 146 , 154 , 170 , 172 , 186, 202, 206, 218, 222 , 232, 4, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, ... (secuencia A005278 en la OEIS )

Los cocientes de $n$ son

0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... (secuencia A051953 en la OEIS )

El menor $k$ tal que el cociente de $k$ es $n$ es (comienza con $n = 0$ , 0 si no existe tal $k )$

1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... (secuencia A063507 en la OEIS )

El mayor $k$ tal que el cociente de $k$ es $n$ son (comienza con $n = 0$ , 0 si no existe tal $k )$

1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... (secuencia A063748 en la OEIS )

Número de $k$ s tales que $k - φ (k)$ es $n$ son (comienza con $n = 0$ )

1, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... (secuencia A063740 en la OEIS )

Erdős (1913-1996) y Sierpinski (1882-1969) se preguntaron si existían infinitos no co-totientes. Esta pregunta fue finalmente respondida afirmativamente por Browkin y Schinzel (1995), quienes demostraron que cada miembro de la familia infinita es un ejemplo (véase el número de Riesel ). Desde entonces, Flammenkamp y Luca (2000) han propuesto otras familias infinitas, aproximadamente de la misma forma. $2^{k}\cdot 509203$

Referencias

Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). "Sobre números enteros que no son de la forma n-φ(n)". Colloq. Math . 68 (1): 55–58. doi : 10.4064/cm-68-1-55-58 . Zbl 0820.11003.
Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). "Familias infinitas de no co-totientes". Colloq. Math . 86 (1): 37–41. doi : 10.4064/cm-86-1-37-41 . Zbl 0965.11003.
Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3.ª ed.). Springer-Verlag . pp. 138–142. ISBN 978-0-387-20860-2.Zbl 1058.11001 .

Enlaces externos

Definición de no co-totiente de MathWorld