no cociente

En teoría de números , un no cotiliente es un entero positivo $n$ que no se puede expresar como la diferencia entre un entero positivo $m$ y el número de enteros coprimos debajo de él. Es decir, $m - φ (m) = n$ , donde $φ$ representa la función totiente de Euler , no tiene solución para $m$ . El cototiente de $n$ se define como $n - φ (n)$ , por lo que un no cototiente es un número que nunca es cototiente.

Se conjetura que todos los no cotientes son pares. Esto se desprende de una forma modificada de la versión ligeramente más fuerte de la conjetura de Goldbach : si el número par $n$ puede representarse como una suma de dos primos distintos $p$ y $q$ , entonces

{\begin{aligned}pq-\varphi (pq)&=pq-(p-1)(q-1)\\&=p+q-1\\&=n-1.\end{ alineado}}

Se espera que todo número par mayor que 6 sea una suma de dos primos distintos, por lo que probablemente ningún número impar mayor que 5 sea no cototiente. Los números impares restantes están cubiertos por las observaciones $1 = 2 - φ (2)$ , $3 = 9 - φ (9)$ y $5 = 25 - φ (25)$ .

Para números pares, se puede mostrar.

{\begin{aligned}2pq-\varphi (2pq)&=2pq-(p-1)(q-1)\\&=pq+p+q-1\\&=(p+1)(q+1)-2\end{aligned}}

Por lo tanto, todos los números pares $n$ tales que $n + 2$ pueden escribirse como $(p + 1)(q + 1)$ con $p, q$ primos son cotocientes.

Los primeros no cotientes son

10 , 26 , 34 , 50 , 52 , 58 , 86 , 100 , 116 , 122 , 130 , 134 , 146 , 154 , 170 , 172 , 186, 202, 206, 218, 222, 232 , 4, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, ... ( secuencia A005278 en el OEIS )

Los cotocientes de $n$ son

0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... (secuencia A051953 en la OEIS )

Los mínimos $k$ tales que el cotociente de $k$ sea $n$ son (comience con $n = 0$ , 0 si no existe tal $k$ )

1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... (secuencia A063507 en el OEIS )

$Los k$ más grandes tales que el cotociente de $k$ es $n$ (comience con $n = 0$ , 0 si no existe tal $k$ )

1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... (secuencia A063748 en el OEIS )

El número de $k$ s tales que $k - φ (k)$ es $n$ son (comience con $n = 0$ )

1, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... ( secuencia A063740 en el OEIS )

Erdős (1913-1996) y Sierpinski (1882-1969) se preguntaron si existen infinitos no cotientes. Esto fue finalmente respondido afirmativamente por Browkin y Schinzel (1995), quienes demostraron que cada miembro de la familia infinita es un ejemplo (ver Número de Riesel ). Desde entonces, Flammenkamp y Luca (2000) han propuesto otras familias infinitas, aproximadamente de la misma forma. $2^{k}\cdot 509203$

Referencias

Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). "En números enteros que no son de la forma n-φ(n)". Coloq. Matemáticas . 68 (1): 55–58. doi : 10.4064/cm-68-1-55-58 . Zbl 0820.11003.
Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). "Familias infinitas de no cotientes". Coloq. Matemáticas . 86 (1): 37–41. doi : 10.4064/cm-86-1-37-41 . Zbl 0965.11003.
Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . págs. 138-142. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

enlaces externos

Definición de no cotiente de MathWorld