complejo nervioso

Construyendo el nervio de una buena cubierta abierta que contiene 3 conjuntos en el plano.

En topología , el complejo nervioso de una familia de conjuntos es un complejo abstracto que registra el patrón de intersecciones entre los conjuntos de la familia. Fue introducido por Pavel Alexandrov ^[1] y ahora tiene muchas variantes y generalizaciones, entre ellas el nervio de Čech de una cubierta, que a su vez se generaliza mediante hipercoberturas . Capta muchas de las propiedades topológicas interesantes de forma algorítmica o combinatoria. ^[2]

Definición básica

Sea un conjunto de índices y una familia de conjuntos . El nervio de es un conjunto de subconjuntos finitos del conjunto de índices . Contiene todos los subconjuntos finitos tales que la intersección de cuyos subíndices están en no está vacía: ^{[3] : 81} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J\subseteq I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.}$

En la definición original de Alexandrov, los conjuntos son subconjuntos abiertos de algún espacio topológico . ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

El conjunto puede contener singletons (elementos que no están vacíos), pares (pares de elementos que ), tripletes, etc. Si , entonces cualquier subconjunto de también está en , lo que hace un complejo simplicial abstracto . De ahí que a N(C) se le llame a menudo complejo nervioso de . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle J\in N(C)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle C}$

Ejemplos

1. Sea X el círculo y , donde es un arco que cubre la mitad superior de y es un arco que cubre su mitad inferior, con cierta superposición en ambos lados (deben superponerse en ambos lados para cubrir todo ). Entonces , que es un 1-símplex abstracto. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$
2. Sea X el círculo y , donde cada uno es un arco que cubre un tercio de , con cierta superposición con el adyacente . Entonces . Tenga en cuenta que {1,2,3} no está ya que la intersección común de los tres conjuntos está vacía; también lo es un triángulo vacío. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$

El nervio de Čech

Dada una cobertura abierta de un espacio topológico , o más generalmente una cobertura en un sitio , podemos considerar los productos de fibras por pares , que en el caso de un espacio topológico son precisamente las intersecciones . Se puede hacer referencia a la colección de todas esas intersecciones y a las intersecciones triples como . ${\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle C\times _{X}C}$ ${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$

Al considerar los mapas naturales y , podemos construir un objeto simple definido por , producto de fibra de n veces. Este es el nervio Čech. ^[4] ${\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}$ ${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$ ${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$

Al tomar componentes conectados obtenemos un conjunto simple , que podemos realizar topológicamente: . ${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$

Teoremas nerviosos

El complejo nervioso es un objeto combinatorio simple. A menudo, es mucho más simple que el espacio topológico subyacente (la unión de los conjuntos en ). Por lo tanto, una pregunta natural es si la topología de es equivalente a la topología de . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

En general, este no tiene por qué ser el caso. Por ejemplo, se puede cubrir cualquier n -esfera con dos conjuntos contráctiles y que tengan una intersección no vacía, como en el ejemplo 1 anterior. En este caso, es un 1-símplex abstracto, que es similar a una línea pero no a una esfera. ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle N(C)}$

Sin embargo, en algunos casos sí refleja la topología de X. Por ejemplo, si un círculo está cubierto por tres arcos abiertos, que se cruzan en pares como en el Ejemplo 2 anterior, entonces es un 2-símplex (sin su interior) y es homotópico equivalente al círculo original. ^[5] ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$

Un teorema nervioso (o lema nervioso ) es un teorema que da condiciones suficientes en C garantizando que refleja, en algún sentido, la topología de . Un teorema del nervio funtorial es un teorema del nervio que es funtorial en un sentido apropiado, lo cual es, por ejemplo, crucial en el análisis de datos topológicos . ^[6] ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

Teorema del nervio de Leray

El teorema básico del nervio de Jean Leray dice que, si cualquier intersección de conjuntos en es contráctil (de manera equivalente: para cada finito el conjunto es vacío o contráctil; de manera equivalente: C es una buena cubierta abierta ), entonces es equivalente a homotopía . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

Teorema del nervio de Borsuk

Existe una versión discreta, que se atribuye a Borsuk . ^{[7] [3] : 81, Thm.4.4.4} Sean K ₁ ,...,K _n complejos simpliciales abstractos y denotemos su unión por K . Sea U _i = || K _i || = la realización geométrica de K _i , y denotamos el nervio de { U ₁ , ... , U _n } por N .

Si, para cada no vacía , la intersección es vacía o contráctil, entonces N es homotópicamente equivalente a K. ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Anders Bjorner demostró un teorema más fuerte . ^[8] si, para cada no vacío , la intersección está vacía o (k-|J|+1)-conectada , entonces para cada j ≤ k , el j -ésimo grupo de homotopía de N es isomorfo a la j -ésima homotopía grupo de K.​ En particular, N es k conexo si y solo si K es k conexo. ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Teorema del nervio de Čech

Otro teorema del nervio se relaciona con el nervio de Čech anterior: si es compacto y todas las intersecciones de conjuntos en C son contráctiles o vacías, entonces el espacio es homotópico equivalente a . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$ ${\displaystyle X}$

Teorema del nervio homológico

El siguiente teorema del nervio utiliza los grupos de homología de intersecciones de conjuntos en la cubierta. ^[10] Para cada finito , denota el j -ésimo grupo de homología reducido de . ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Si H _J,j es el grupo trivial para todo J en el k -esqueleto de N( C ) y para todo j en {0, ..., k -dim( J )}, entonces N( C ) es "homología -equivalente" a X en el siguiente sentido:

• ${\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}$para todo j en {0, ..., k };
• si entonces . ${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}$

Ver también

• hipercobertura

Referencias

1. Alexandroff, PS (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Annalen Matemáticas . 98 : 617–635. doi :10.1007/BF01451612. S2CID  119590045.
2. Eilenberg, Samuel ; Steenrod, normando (31 de diciembre de 1952). Fundamentos de la topología algebraica . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . doi :10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.
3. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
4. "Nervio Čech en nLab". ncatlab.org . Consultado el 7 de agosto de 2020 .
5. Artín, Michael ; Mazur, Barry (1969). Homotopía de Etale . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 100. doi : 10.1007/bfb0080957. ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN  0075-8434.
6. Bauer, Ulrich; Kerber, Michael; Rollo, Fabián; Rolle, Alejandro (2023). "Una visión unificada sobre el teorema del nervio funtorial y sus variaciones". Exposiciones Mathematicae . arXiv : 2203.03571 . doi : 10.1016/j.exmath.2023.04.005.
7. Borsuk, Karol (1948). "Sobre la incrustación de sistemas de compacta en complejos simpliciales". Fundamentos Mathematicae . 35 (1): 217–234. doi : 10.4064/fm-35-1-217-234 . ISSN  0016-2736.
8. Björner, Anders (1 de abril de 2003). "Nervios, fibras y grupos de homotopía". Revista de teoría combinatoria . Serie A. 102 (1): 88–93. doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN  0097-3165.
9. Teorema del nervio en el n Lab
10. Meshulam, Roy (1 de enero de 2001). "El complejo de camarilla y la coincidencia de hipergrafos". Combinatoria . 21 (1): 89–94. doi :10.1007/s004930170006. ISSN  1439-6912. S2CID  207006642.