Campo cercano (matemáticas)

En matemáticas , un campo cercano es una estructura algebraica similar a un anillo de división , excepto que tiene solo una de las dos leyes distributivas. Alternativamente, un campo cercano es un anillo cercano en el que hay una identidad multiplicativa y cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo .

Definición

Un campo cercano es un conjunto con dos operaciones binarias , (suma) y (multiplicación), que satisfacen los siguientes axiomas: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$

A1: es un grupo abeliano . ${\displaystyle (Q,+)}$

A2: = para todos los elementos , , de (La ley asociativa para la multiplicación). ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$ ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle Q}$

A3: para todos los elementos , , de (La ley distributiva derecha ). ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle Q}$

A4: contiene un elemento distinto de cero 1 tal que para cada elemento de ( Identidad multiplicativa ). ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Q}$

A5: Para cada elemento distinto de cero de existe un elemento tal que ( Inverso multiplicativo ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a\cdot a^{-1}=1=a^{-1}\cdot a}$

Notas sobre la definición

1. Lo anterior es, estrictamente hablando, una definición de campo cercano derecho . Al reemplazar A3 por la ley distributiva izquierda obtenemos un campo cercano izquierdo. Lo más común es que "campo cercano" signifique "campo cercano derecho", pero no se trata de una convención universal. ${\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b}$
2. Un campo cercano (derecho) se denomina "planar" si también es un cuasicampo recto . Todo campo cercano finito es planar, pero los campos cercanos infinitos no necesariamente lo son.
3. No es necesario especificar que el grupo aditivo es abeliano, ya que esto se desprende de los otros axiomas, como lo demostraron BH Neumann y JL Zemmer. ^{[1] [2] [3]} Sin embargo, la prueba es bastante difícil y es más conveniente incluir esto en los axiomas para que el progreso en el establecimiento de las propiedades de los campos cercanos pueda comenzar más rápidamente.
4. A veces se da una lista de axiomas en la que A4 y A5 se sustituyen por la siguiente declaración única:

   A4*: Los elementos distintos de cero forman un grupo bajo la multiplicación.

   Sin embargo, esta definición alternativa incluye una estructura excepcional de orden 2 que no satisface varios teoremas básicos (como para todos los ). Por lo tanto, es mucho más conveniente y más habitual utilizar los axiomas en la forma dada anteriormente. La diferencia es que A4 requiere que 1 sea una identidad para todos los elementos, A4* solo para elementos distintos de cero. ${\displaystyle x\cdot 0=0}$ ${\displaystyle x}$

   La estructura excepcional se puede definir tomando un grupo aditivo de orden 2 y definiendo la multiplicación por para todos y . ${\displaystyle x\cdot y=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Ejemplos

1. Cualquier anillo de división (incluido cualquier campo ) es un campo cercano.
2. A continuación se define un campo cercano (derecho) de orden 9. Es el campo cercano más pequeño que no es un campo.

   Sea el campo de Galois de orden 9. Denotemos la multiplicación en por ' '. Definamos una nueva operación binaria ' · ' por: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle *}$

   Si es cualquier elemento de que es un cuadrado y es cualquier elemento de entonces . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a\cdot b=a*b}$

   Si es cualquier elemento de que no es un cuadrado y es cualquier elemento de entonces . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a\cdot b=a^{3}*b}$

   Entonces es un campo cercano con esta nueva multiplicación y la misma adición que antes. ^[4] ${\displaystyle K}$

Historia y aplicaciones

El concepto de campo cercano fue introducido por primera vez por Leonard Dickson en 1905. Tomó anillos de división y modificó su multiplicación, dejando la suma como estaba, y así produjo los primeros ejemplos conocidos de campos cercanos que no eran anillos de división. Los campos cercanos producidos por este método se conocen como campos cercanos de Dickson; el campo cercano de orden 9 dado anteriormente es un campo cercano de Dickson. Hans Zassenhaus demostró que todos los campos cercanos finitos, excepto 7, son campos o campos cercanos de Dickson. ^[2]

La primera aplicación del concepto de campo cercano fue en el estudio de geometrías de incidencia como las geometrías proyectivas . ^{[5] [6]} Muchas geometrías proyectivas se pueden definir en términos de un sistema de coordenadas sobre un anillo de división, pero otras no. Se descubrió que al permitir coordenadas de cualquier anillo cercano se ampliaba el rango de geometrías que se podían coordinar. Por ejemplo, Marshall Hall utilizó el campo cercano de orden 9 dado anteriormente para producir un plano Hall , el primero de una secuencia de tales planos basados ​​en campos cercanos de Dickson de orden el cuadrado de un primo. En 1971, TG Room y PB Kirkpatrick proporcionaron un desarrollo alternativo. ^[7]

Existen muchas otras aplicaciones, principalmente en geometría. ^[8] Una aplicación más reciente de los campos cercanos es la construcción de cifrados para el cifrado de datos, como los cifrados Hill . ^[9]

Descripción en términos de grupos de Frobenius y automorfismos de grupo

Sea un campo cercano. Sea su grupo multiplicativo y sea su grupo aditivo. Sea que actúe sobre . Los axiomas de un campo cercano muestran que se trata de una acción de grupo recto por automorfismos de grupo de , y los elementos distintos de cero de forman una única órbita con estabilizador trivial. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{m}}$ ${\displaystyle K_{a}}$ ${\displaystyle c\in K_{m}}$ ${\displaystyle b\in K_{a}}$ ${\displaystyle b\mapsto b\cdot c}$ ${\displaystyle K_{a}}$ ${\displaystyle K_{a}}$

Por el contrario, si es un grupo abeliano y es un subgrupo de que actúa libre y transitivamente sobre los elementos no nulos de , entonces podemos definir un cuerpo cercano con grupo aditivo y grupo multiplicativo . Elijamos un elemento en para llamar y sea la biyección . Luego definimos la adición en por la estructura de grupo aditivo en y definimos la multiplicación por . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \phi :M\to A\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle m\mapsto 1\ast m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=1\ast \phi ^{-1}(a)\phi ^{-1}(b)}$

Un grupo de Frobenius puede definirse como un grupo finito de la forma donde actúa sin estabilizador sobre los elementos no nulos de . Por lo tanto, los campos cercanos están en biyección con los grupos de Frobenius donde . ${\displaystyle A\rtimes M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |M|=|A|-1}$

Clasificación

Como se mencionó anteriormente, Zassenhaus demostró que todos los cuerpos cercanos finitos surgen de una construcción de Dickson o son uno de siete ejemplos excepcionales. Describiremos esta clasificación dando pares donde es un grupo abeliano y es un grupo de automorfismos de los cuales actúa libre y transitivamente sobre los elementos no nulos de . ${\displaystyle (A,M)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

La construcción de Dickson procede de la siguiente manera. ^[10] Sea una potencia prima y elijamos un entero positivo tal que todos los factores primos de dividan y, si , entonces no es divisible por . Sea el cuerpo finito de orden y sea el grupo aditivo de . El grupo multiplicativo de , junto con el automorfismo de Frobenius genera un grupo de automorfismos de de la forma , donde es el grupo cíclico de orden . Las condiciones de divisibilidad de nos permiten encontrar un subgrupo de de orden que actúa libre y transitivamente sobre . El caso es el caso de cuerpos finitos conmutativos; el ejemplo de nueve elementos anterior es , . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle q\equiv 3{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C_{n}\ltimes C_{q^{n}-1}}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}\ltimes C_{q^{n}-1}}$ ${\displaystyle q^{n}-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle n=2}$

En los siete ejemplos excepcionales, tiene la forma . Esta tabla, incluida la numeración en números romanos, está tomada del artículo de Zassenhaus. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{p}^{2}}$

Los grupos binarios tetraédricos, octaédricos e icosaédricos son extensiones centrales de los grupos de simetría rotacional de los sólidos platónicos ; estos grupos de simetría rotacional son y respectivamente . y también pueden describirse como y . ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle 2T}$ ${\displaystyle 2I}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {F} _{3})}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {F} _{5})}$

Véase también

• Cerca del anillo
• Anillo ternario planar
• Cuasicampo

Referencias

1. JL Zemmer, "El grupo aditivo de un campo cercano infinito es abeliano" en J. London Math. Soc. 44 (1969), 65-67.
2. H. Zassenhaus, "Über endliche Fastkörper" en Abh. Matemáticas. Semín. Univ. Hambg. 11 (1935), 187-220.
3. BH Neumann, "Sobre la conmutatividad de la adición" en J. London Math. Soc. 15 (1940), 203-208.
4. G. Pilz, Anillos cercanos, página 257.
5. O. Veblen y JH Wedderburn "Geometría no desarguesiana y no pascaliana" en Trans. Amer. Math. Soc. 8 (1907), 379-388.
6. P. Dembrowski "Geometrías finitas" Springer, Berlín, (1968).
7. TG Room y PB Kirkpatrick (1971) Geometría de minicuaterniones , §1.3 El sistema de minicuaterniones, págs. 8-20, Cambridge University Press ISBN 0-521-07926-8 ${\displaystyle {\mathcal {(}}Q),}$  
8. H. Wähling "Theorie der Fastkörper", Thales Verlag, Essen, (1987).
9. M. Farag, "Cifrados de Hill sobre campos cercanos" en Educación matemática y informática v41 n1 (2007) 46-54.
10. M. Hall, 20.7.2, La teoría de los grupos , Macmillan, 1959

Enlaces externos

• Campos cercanos de Hauke ​​Klein.