En teoría de números , un número Thabit , un número Thâbit ibn Qurra o un número 321 es un número entero de la forma de un entero no negativo n .
Los primeros números de Thabit son:
Se atribuye al matemático , médico , astrónomo y traductor del siglo IX Thābit ibn Qurra el primero en estudiar estos números y su relación con los números amigos . [1]
La representación binaria del número Thabit 3·2 n −1 tiene una longitud de n +2 dígitos y consta de "10" seguido de n 1.
Los primeros números de Thabit que son primos ( primos de Thabit o 321 primos ):
A partir de octubre de 2023 [actualizar], se conocen 68 números primos de Thabit. Sus valores n son: [2] [3] [4] [5]
Los números primos para 234760 ≤ n ≤ 3136255 se encontraron mediante el proyecto de computación distribuida 321 search . [6]
En 2008, PrimeGrid se hizo cargo de la búsqueda de primos de Thabit. [7] Todavía está buscando y ya ha encontrado todos los primos de Thabit conocidos actualmente con n ≥ 4235414. [4] También está buscando primos de la forma 3·2 n +1, dichos primos se denominan primos de Thabit de segundo tipo o 321 primos de segundo tipo .
Los primeros números Thabit del segundo tipo son:
Los primeros primos de Thabit del segundo tipo son:
Sus valores n son:
Cuando tanto n como n −1 producen números primos de Thabit (del primer tipo), y también es primo, se puede calcular un par de números amigos de la siguiente manera:
Por ejemplo, n = 2 da el primo de Thabit 11, y n −1 = 1 da el primo de Thabit 5, y nuestro tercer término es 71. Entonces, 2 2 =4, multiplicado por 5 y 11 da como resultado 220 , cuyos divisores suman 284 , y 4 por 71 es 284, cuyos divisores suman 220.
Los únicos n conocidos que satisfacen estas condiciones son 2, 4 y 7, correspondientes a los primos de Thabit 11, 47 y 383 dados por n , los primos de Thabit 5, 23 y 191 dados por n −1, y nuestros terceros términos son 71, 1151 y 73727. (Los pares amigos correspondientes son (220, 284), (17296, 18416) y (9363584, 9437056))
Para un entero b ≥ 2, un número de Thabit base b es un número de la forma ( b + 1)· b n − 1 para un entero no negativo n . Asimismo, para un entero b ≥ 2, un número de Thabit de segunda especie base b es un número de la forma ( b + 1)· b n + 1 para un entero no negativo n .
Los números de Williams también son una generalización de los números de Thabit. Para un entero b ≥ 2, un número de Williams base b es un número de la forma ( b −1)· b n − 1 para un entero no negativo n . [8] Además, para un entero b ≥ 2, un número de Williams de segunda especie base b es un número de la forma ( b −1)· b n + 1 para un entero no negativo n .
Para un entero b ≥ 2, un número primo de Thabit en base b es un número de Thabit en base b que también es primo. De manera similar, para un entero b ≥ 2, un número primo de Williams en base b es un número de Williams en base b que también es primo.
Todo primo p es un primo de Thabit de primer tipo base p , un primo de Williams de primer tipo base p +2, y un primo de Williams de segundo tipo base p ; si p ≥ 5, entonces p es también un primo de Thabit de segundo tipo base p −2.
Es una conjetura que para cada entero b ≥ 2, existen infinitos primos de Thabit de primera especie base b , infinitos primos de Williams de primera especie base b , e infinitos primos de Williams de segunda especie base b ; también, para cada entero b ≥ 2 que no sea congruente con 1 módulo 3, existen infinitos primos de Thabit de segunda especie base b . (Si la base b es congruente con 1 módulo 3, entonces todos los números de Thabit de segunda especie base b son divisibles por 3 (y mayores que 3, ya que b ≥ 2), por lo que no existen primos de Thabit de segunda especie base b .)
El exponente de los primos de Thabit del segundo tipo no puede ser congruente con 1 mod 3 (excepto 1 mismo), el exponente de los primos de Williams del primer tipo no puede ser congruente con 4 mod 6, y el exponente de los primos de Williams del segundo tipo no puede ser congruente con 1 mod 6 (excepto 1 mismo), ya que el polinomio correspondiente a b es un polinomio reducible . (Si n ≡ 1 mod 3, entonces ( b +1)· b n + 1 es divisible por b 2 + b + 1; si n ≡ 4 mod 6, entonces ( b −1)· b n − 1 es divisible por b 2 − b + 1; y si n ≡ 1 mod 6, entonces ( b −1)· b n + 1 es divisible por b 2 − b + 1) De lo contrario, el polinomio correspondiente a b es un polinomio irreducible , por lo que si la conjetura de Bunyakovsky es verdadera, entonces hay infinitas bases b tales que el número correspondiente (para el exponente fijo n que satisface la condición) es primo. (( b + 1)· b n − 1 es irreducible para todo entero no negativo n , por lo que si la conjetura de Bunyakovsky es verdadera, entonces hay infinitas bases b tales que el número correspondiente (para el exponente fijo n ) es primo)
Los números de Pierpont son una generalización de los números de Thabit del segundo tipo .
