Modelo Forouhi-Bloomer

Relación de dispersión óptica popular

Modelo de Forouhi-Bloomer. Los componentes reales (línea continua azul) e imaginarios (línea discontinua naranja) del índice de refracción complejo se representan gráficamente para el modelo con parámetros 1,3 eV, 1,4910 eV, 5,2139 eV, 8,6170 eV y 1,5256. Estos parámetros se aproximan al silicio amorfo. ^[1] ${\displaystyle E_{g}=}$ ${\displaystyle A=}$ ${\displaystyle B=}$ ${\displaystyle C=}$ ${\displaystyle ^{2}}$ ${\displaystyle n_{\infty }=}$

El modelo de Forouhi–Bloomer es una fórmula matemática para la dependencia de la frecuencia del índice de refracción de valor complejo . El modelo se puede utilizar para ajustar el índice de refracción de materiales semiconductores y dieléctricos amorfos y cristalinos a energías cercanas y mayores que su banda prohibida óptica . ^{[2] [3] [4] [5] [6]} La relación de dispersión lleva los nombres de Rahim Forouhi e Iris Bloomer, quienes crearon el modelo e interpretaron el significado físico de sus parámetros. ^{[1] [7]} El modelo es afísico debido a su comportamiento asintótico incorrecto y su carácter no hermítico . Estas deficiencias inspiraron versiones modificadas del modelo ^{[8] [9] [10]} así como el desarrollo del modelo de Tauc–Lorentz .

Formulación matemática

El índice de refracción complejo viene dado por

${\displaystyle {\tilde {n}}(E)=n(E)+i\kappa (E)}$

dónde

• ${\displaystyle n}$es el componente real del índice de refracción complejo, comúnmente llamado índice de refracción,
• ${\displaystyle \kappa }$es el componente imaginario del índice de refracción complejo, comúnmente llamado coeficiente de extinción,
• ${\displaystyle E}$es la energía del fotón (relacionada con la frecuencia angular por ). ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

Los componentes reales e imaginarios del índice de refracción están relacionados entre sí a través de las relaciones de Kramers-Kronig . Forouhi y Bloomer derivaron una fórmula para materiales amorfos. La fórmula y la integral complementaria de Kramers-Kronig se dan en ^[1] ${\displaystyle \kappa (E)}$

${\displaystyle \kappa (E)={\frac {A\left(E-E_{g}\right)^{2}}{E^{2}-BE+C}}}$

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\kappa (\xi )-\kappa _{\infty }}{\xi -E}}d\xi }$

dónde

• ${\displaystyle E_{g}}$es la banda prohibida del material,
• ${\displaystyle A}$, , , y son parámetros de ajuste, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n_{\infty }}$
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$denota el valor principal de Cauchy ,
• ${\displaystyle \kappa _{\infty }=\lim _{E\rightarrow \infty }\kappa (E)=A}$.

${\displaystyle A}$, , y están sujetos a las restricciones , , , y . Evaluando la integral de Kramers-Kronig, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle 4C-B^{2}>0}$

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+{\frac {B_{0}E+C_{0}}{E^{2}-BE+C}}}$

dónde

• ${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}{\sqrt {4C-B^{2}}}}$,
• ${\displaystyle B_{0}={\frac {A}{Q}}\left(-{\frac {1}{2}}B^{2}+E_{g}B-E_{g}^{2}+C\right)}$,
• ${\displaystyle C_{0}={\frac {A}{Q}}\left({\frac {1}{2}}B\left(E_{g}^{2}+C\right)-2E_{g}C\right)}$.

El modelo de Forouhi-Bloomer para materiales cristalinos es similar al de los materiales amorfos. Las fórmulas para y se dan en ^[7] ${\displaystyle n(E)}$ ${\displaystyle \kappa (E)}$

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+\sum _{j}{\frac {B_{0,j}E+C_{0,j}}{E^{2}-B_{j}E+C_{j}}}}$.

${\displaystyle \kappa (E)=\left(E-E_{g}\right)^{2}\sum _{j}{\frac {A_{j}}{E^{2}-B_{j}E+C_{j}}}}$.

donde todas las variables se definen de manera similar al caso amorfo, pero con valores únicos para cada valor del índice de suma . Por lo tanto, el modelo para materiales amorfos es un caso especial del modelo para materiales cristalinos cuando la suma se da sobre un solo término. ${\displaystyle j}$

Referencias

1. Forouhi, A. Rahim; Bloomer, Iris (1986). "Relaciones de dispersión óptica para semiconductores amorfos y dieléctricos amorfos". Physical Review B . 34 (10): 7018–7026. Bibcode :1986PhRvB..34.7018F. doi :10.1103/PhysRevB.34.7018. PMID  9939354 . Consultado el 7 de noviembre de 2021 .
2. Chrysicopoulou, P.; Davazoglou, D.; Trapalis, Chr; Kordas, G. (1998). "Propiedades ópticas de películas de TiO2 sol-gel muy delgadas (<100 nm)". Thin Solid Films . 323 (1–2): 188–193. Bibcode :1998TSF...323..188C. doi :10.1016/S0040-6090(97)01018-3 . Consultado el 16 de noviembre de 2021 .
3. Liu, YC; Hsieh, JH; Tung, SK (2006). "Extracción de constantes ópticas de películas delgadas de óxido de zinc por elipsometría con varios modelos". Películas sólidas delgadas . 510 (1–2): 32–38. Código Bibliográfico :2006TSF...510...32L. doi :10.1016/j.tsf.2005.10.089 . Consultado el 16 de noviembre de 2021 .
4. Laidani, N.; Bartali, R.; Gottardi, G.; Anderle, M.; Cheyssac, P. (2007). "Parámetros de absorción óptica de películas de carbono amorfo de los modelos Forouhi–Bloomer y Tauc–Lorentz: un estudio comparativo". Journal of Physics: Condensed Matter . 20 (1): 015216. doi :10.1088/0953-8984/20/01/015216. S2CID  7359667 . Consultado el 16 de noviembre de 2021 .
5. Torkaman, Nuevo México; Ganjkhanlou, Y.; Kazemzad, M.; Dabaghi, HH; Keyanpour-Rad, M. (2010). "Parámetros cristalográficos y constantes electroópticas en películas delgadas de ITO". Caracterización de Materiales . 61 (3): 362–370. doi : 10.1016/j.matchar.2009.12.020 . Consultado el 16 de noviembre de 2021 .
6. Löper, Philipp; Stuckelberger, Michael; Niesen, Bjoern; Werner, Jérémie; Filipič, Miha; Moon, Soo-Jin; Yum, Jun-Ho; Topič, Marko; De Wolf, Stefaan; Ballif, Christophe (2015). "Espectros de índice de refracción complejos de películas delgadas de perovskita CH3NH3PbI3 determinados por elipsometría espectroscópica y espectrofotometría". The Journal of Physical Chemistry Letters . 6 (1): 66–71. doi :10.1021/jz502471h. PMID  26263093 . Consultado el 16 de noviembre de 2021 .
7. Forouhi, A. Rahim; Bloomer, Iris (1988). "Propiedades ópticas de semiconductores cristalinos y dieléctricos". Physical Review B . 38 (3): 1865–1874. Código Bibliográfico :1988PhRvB..38.1865F. doi :10.1103/PhysRevB.38.1865. PMID  9946471 . Consultado el 7 de noviembre de 2021 .
8. McGahan, William A.; Makovicka, Tim; Hale, Jeffrey; Woollam, John A. (1994). "Modelo de dispersión de Forouhi y Bloomer modificado para las constantes ópticas de películas delgadas de carbono hidrogenado amorfo". Películas sólidas delgadas . 253 (1): 57–61. Código Bibliográfico :1994TSF...253...57M. doi :10.1016/0040-6090(94)90294-1 . Consultado el 7 de noviembre de 2021 .
9. Liu, Yong; Xu, Gang; Song, Chenlu; Weng, Wenjian; Du, Piyi; Han, Gaorong (2007). "Modificación del modelo de Forouhi y Bloomer para las propiedades ópticas de películas delgadas de silicio amorfo". Películas sólidas delgadas . 515 (7): 3910–3913. Código Bibliográfico :2007TSF...515.3910L. doi :10.1016/j.tsf.2006.11.003 . Consultado el 16 de noviembre de 2021 .
10. Forouhi, A. Rahim; Bloomer, Iris (2019). "Nuevas ecuaciones de dispersión para aislantes y semiconductores válidas en todas las ondas de radio hasta el rango espectral ultravioleta extremo". Journal of Physics Communications . 3 (3): 035022. Bibcode :2019JPhCo...3c5022F. doi : 10.1088/2399-6528/ab0603 . S2CID  150238695.

Véase también

• Ecuación de Cauchy
• Ecuación de Sellmeier
• Modelo de oscilador de Lorentz
• Modelo de Tauc-Lorentz
• Modelo de oscilador de Brendel-Bormann