Carácter multiplicativo

En matemáticas , un carácter multiplicativo (o carácter lineal , o simplemente carácter ) en un grupo G es un homomorfismo de grupo de G al grupo multiplicativo de un cuerpo (Artin 1966), normalmente el cuerpo de números complejos . Si G es un grupo cualquiera, entonces el conjunto Ch( G ) de estos morfismos forma un grupo abeliano bajo multiplicación puntual.

Este grupo se denomina grupo de caracteres de G. A veces, solo se consideran caracteres unitarios (caracteres cuya imagen está en el círculo unitario ); otros homomorfismos de este tipo se denominan cuasicaracteres . Los caracteres de Dirichlet pueden considerarse un caso especial de esta definición.

Los caracteres multiplicativos son linealmente independientes , es decir, si son caracteres diferentes en un grupo G , de ello se deduce que ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.}$

Ejemplos

• Consideremos el grupo ( ax  +  b )

${\displaystyle G:=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\ \right|\ a>0,\ b\in \mathbf {R} \right\}.}$

Funciones f _u  : G → C tales que donde u abarca números complejos C son caracteres multiplicativos. ${\displaystyle f_{u}\left({\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\right)=a^{u},}$

• Consideremos el grupo multiplicativo de números reales positivos ( R ⁺ , ·). Entonces las funciones f _u  : ( R ⁺ , ·) →  C tales que f _u ( a ) =  a ^u , donde a es un elemento de ( R ⁺ , ·) y u abarca los números complejos C , son caracteres multiplicativos.

Referencias

• Artin, Emil (1966), Teoría de Galois , Notre Dame Mathematical Lectures, número 2, Arthur Norton Milgram (reimpreso en Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Conferencias dictadas en la Universidad de Notre Dame