Cuantificación plural

Teoría matemática

En matemáticas y lógica , la cuantificación plural es la teoría según la cual una variable individual x puede adoptar valores tanto singulares como plurales . Además de sustituir x por objetos individuales como Alice, el número 1, el edificio más alto de Londres, etc., podemos sustituir tanto a Alice como a Bob, o todos los números entre 0 y 10, o todos los edificios de Londres de más de 20 pisos.

El objetivo de la teoría es otorgar a la lógica de primer orden el poder de la teoría de conjuntos , pero sin ningún " compromiso existencial " con objetos como los conjuntos. Las exposiciones clásicas son Boolos 1984 y Lewis 1991.

Historia

Esta visión se asocia comúnmente con George Boolos , aunque es más antigua (véase en particular Simons 1982), y está relacionada con la visión de las clases defendida por John Stuart Mill y otros filósofos nominalistas . Mill sostuvo que los universales o "clases" no son un tipo peculiar de cosa, que tiene una existencia objetiva distinta de los objetos individuales que caen bajo ellos, sino que "no son ni más ni menos que las cosas individuales en la clase" (Mill 1904, II. ii. 2, también I. iv. 3).

Bertrand Russell también expuso una postura similar en el capítulo VI de Russell (1903), pero luego la abandonó en favor de una teoría de "no clases". Véase también Gottlob Frege 1895 para una crítica de una visión anterior defendida por Ernst Schröder .

La idea general se remonta a Leibniz (Levey 2011, pp. 129-133).

El interés por los plurales se reavivó con el trabajo en lingüística de la década de 1970 de Remko Scha , Godehard Link , Fred Landman , Friederike Moltmann , Roger Schwarzschild, Peter Lasersohn y otros, quienes desarrollaron ideas para una semántica de los plurales.

Antecedentes y motivación

Predicados y relaciones multigrados (variablemente poliádicos)

Frases como

Alice y Bob cooperan.

Alice, Bob y Carol cooperan.

se dice que implican un predicado o relación multigrado (también conocido como variablemente poliádico , también anádico ) ("cooperar" en este ejemplo), lo que significa que representan el mismo concepto aunque no tengan una aridad fija (cf. Linnebo & Nicolas 2008). La noción de relación/predicado multigrado apareció ya en la década de 1940 y fue utilizada notablemente por Quine (cf. Morton 1975). La cuantificación plural trata de formalizar la cuantificación sobre los argumentos de longitud variable de tales predicados, por ejemplo, " xx cooperar" donde xx es una variable plural. Nótese que en este ejemplo no tiene sentido, semánticamente, instanciar xx con el nombre de una sola persona.

Nominalismo

En términos generales, el nominalismo niega la existencia de universales ( entidades abstractas ), como conjuntos, clases, relaciones, propiedades, etc. Por lo tanto, las lógicas plurales se desarrollaron como un intento de formalizar el razonamiento sobre plurales, como los involucrados en predicados multigrados, aparentemente sin recurrir a nociones que los nominalistas niegan, por ejemplo, los conjuntos.

La lógica de primer orden estándar tiene dificultades para representar algunas oraciones con plurales. La más conocida es la oración de Geach-Kaplan "algunos críticos sólo se admiran entre sí". Kaplan demostró que no es ordenable en primer orden (la prueba se puede encontrar en ese artículo). Por lo tanto, su paráfrasis en un lenguaje formal nos compromete a la cuantificación sobre (es decir, la existencia de) conjuntos.

Boolos argumentó que la cuantificación monádica de segundo orden puede interpretarse sistemáticamente en términos de cuantificación plural y que, por lo tanto, la cuantificación monádica de segundo orden es "ontológicamente inocente". ^[1]

Más tarde, Oliver y Smiley (2001), Rayo (2002), Yi (2005) y McKay (2006) argumentaron que oraciones como

Son compañeros de barco

Se están reuniendo juntos

Levantaron un piano

Están rodeando un edificio.

Se admiran solo el uno al otro

Tampoco se puede interpretar en lógica monádica de segundo orden. Esto se debe a que predicados como "son compañeros de barco", "se están reuniendo", "están rodeando un edificio" no son distributivos . Un predicado F es distributivo si, siempre que algunas cosas son F, cada una de ellas es F. Pero en lógica estándar, todo predicado monádico es distributivo . Sin embargo, tales oraciones también parecen inocentes de cualquier suposición existencial y no implican cuantificación.

De este modo, se puede proponer una explicación unificada de los términos plurales que permita la satisfacción tanto distributiva como no distributiva de los predicados, defendiendo al mismo tiempo esta posición contra la suposición "singularista" de que dichos predicados son predicados de conjuntos de individuos (o de sumas mereológicas).

Varios escritores ^{[¿ quiénes? ]} han sugerido que la lógica plural abre la posibilidad de simplificar los fundamentos de las matemáticas , evitando las paradojas de la teoría de conjuntos y simplificando los complejos y poco intuitivos conjuntos de axiomas necesarios para evitarlas. ^{[ aclaración necesaria ]}

Recientemente, Linnebo y Nicolas (2008) han sugerido que los lenguajes naturales a menudo contienen variables superplurales (y cuantificadores asociados) como "estas personas, esas personas y estas otras personas compiten entre sí" (por ejemplo, como equipos en un juego en línea), mientras que Nicolas (2008) ha argumentado que se debería utilizar la lógica plural para explicar la semántica de sustantivos masivos, como "vino" y "muebles".

Definición formal

Esta sección presenta una formulación simple de lógica/cuantificación plural aproximadamente igual a la dada por Boolos en Platonismo nominalista (Boolos 1985).

Sintaxis

Las unidades suboracionales se definen como

• Símbolos de predicado , , etc. (con aridades apropiadas, que se dejan implícitas) ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$
• Símbolos de variable singular , , etc. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Símbolos de variable plural , , etc. ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$

Las oraciones completas se definen como

• Si es un símbolo de predicado n -ario, y son símbolos de variable singular, entonces es una oración. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$
• Si es una oración, entonces también lo es ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$
• Si y son oraciones, entonces también lo es. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\land Q}$
• Si es una oración y es un símbolo de variable singular, entonces es una oración ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exists x.P}$
• Si es un símbolo de variable singular y es un símbolo de variable plural, entonces es una oración (donde ≺ se interpreta generalmente como la relación "es uno de") ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle x\prec {\bar {y}}}$
• Si es una oración y es un símbolo de variable plural, entonces es una oración ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \exists {\bar {x}}.P}$

Las dos últimas líneas son el único componente esencialmente nuevo de la sintaxis para la lógica plural. Se pueden utilizar libremente otros símbolos lógicos definibles en términos de estas como abreviaturas de notación.

Esta lógica resulta ser equi-interpretable con la lógica monádica de segundo orden .

Teoría de modelos

La teoría/semántica de modelos de la lógica plural es donde se pone en práctica la falta de conjuntos de la lógica. Un modelo se define como una tupla donde es el dominio, es una colección de valoraciones para cada nombre de predicado en el sentido habitual y es una secuencia tarskiana (asignación de valores a variables) en el sentido habitual (es decir, un mapa de símbolos de variables singulares a elementos de ). El nuevo componente es una relación binaria que relaciona valores en el dominio con símbolos de variables plurales. ${\displaystyle (D,V,s,R)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$

La satisfacción se da como

• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$si y solo si ${\displaystyle (s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \neg P}$si y solo si ${\displaystyle (D,V,s,R)\nvDash P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P\land Q}$si y solo si ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P}$ ${\displaystyle (D,V,s,R)\models Q}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists x.P}$si existe tal que ${\displaystyle s'\approx _{x}s}$ ${\displaystyle (D,V,s',R)\models P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}}$si y solo si ${\displaystyle s_{x}R{\bar {y}}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P}$si existe tal que ${\displaystyle R'\approx _{\bar {x}}R}$ ${\displaystyle (D,V,s,R')\models P}$

Donde, para los símbolos de variable singular, significa que para todos los símbolos de variable singular distintos de , se cumple que , y para los símbolos de variable plural, significa que para todos los símbolos de variable plural distintos de , y para todos los objetos del dominio , se cumple que . ${\displaystyle s\approx _{x}s'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{y}=s'_{y}}$ ${\displaystyle R\approx _{\bar {x}}R'}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}}$

Al igual que en la sintaxis, sólo los dos últimos son verdaderamente nuevos en la lógica plural. Boolos observa que al utilizar relaciones de asignación , el dominio no tiene que incluir conjuntos y, por lo tanto, la lógica plural logra la inocencia ontológica al tiempo que conserva la capacidad de hablar sobre las extensiones de un predicado. Por lo tanto, el esquema de comprensión de la lógica plural no produce la paradoja de Russell porque la cuantificación de las variables plurales no cuantifica sobre el dominio. Otro aspecto de la lógica tal como la define Boolos, crucial para esta elusión de la paradoja de Russell, es el hecho de que las oraciones de la forma no están bien formadas: los nombres de predicado solo pueden combinarse con símbolos de variable singular, no con símbolos de variable plural. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)}$ ${\displaystyle F({\bar {x}})}$

Este puede tomarse como el argumento más simple y más obvio de que la lógica plural tal como la definió Boolos es ontológicamente inocente.

Véase también

• Cuantificador generalizado
• Homogeneidad (lingüística)
• Función variádica

Notas

1. Harman, Gilbert; Lepore, Ernest (2013), Un compañero para WVO Quine, Blackwell Companions to Philosophy, John Wiley & Sons, pág. 390, ISBN 9781118608029.

Referencias

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Enlaces externos

• Linnebo, Øystein. "Cuantificación plural". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Moltmann, Friederike . (Agosto 2012) "Referencia plural y referencia a una pluralidad. Una reevaluación de los hechos lingüísticos"
• Una bibliografía más extensa
• https://web.archive.org/web/20150211224457/http://lumiere.ens.fr/~amari/genius/PapersSeminar/Nicolas-Semantics-for-plurals-Handout-0110.pdf