Cambios multifractales de Markov

En econometría financiera (la aplicación de métodos estadísticos a datos económicos), el multifractal Markov-switching (MSM) es un modelo de retornos de activos desarrollado por Laurent E. Calvet y Adlai J. Fisher que incorpora componentes de volatilidad estocástica de duraciones heterogéneas . ^{[1] [2]} MSM captura los valores atípicos , la persistencia de la volatilidad similar a la memoria logarítmica y la variación de potencia de los retornos financieros . En series de divisas y acciones, MSM se compara favorablemente con modelos de volatilidad estándar como GARCH(1,1) y FIGARCH tanto dentro como fuera de la muestra. MSM es utilizado por profesionales de la industria financiera para diferentes tipos de pronósticos.

Especificación MSM

El modelo MSM se puede especificar tanto en tiempo discreto como en tiempo continuo.

Tiempo discreto

Sea el precio de un activo financiero y sea el rendimiento durante dos períodos consecutivos. En MSM, los rendimientos se especifican como ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle r_{t}=\ln(P_{t}/P_{t-1})}$

${\displaystyle r_{t}=\mu +{\bar {\sigma }}(M_{1,t}M_{2,t}...M_{{\bar {k}},t})^{1/2}\epsilon _{t},}$

donde y son constantes y { } son gaussianas estándar independientes. La volatilidad está determinada por el vector de estado latente de Markov de primer orden: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \epsilon _{t}}$

${\displaystyle M_{t}=(M_{1,t}M_{2,t}\dots M_{{\bar {k}},t})\in R_{+}^{\bar {k}}.}$

Dado el estado de volatilidad , el multiplicador del siguiente período se extrae de una distribución fija M con probabilidad y, por lo demás, no cambia. ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle M_{k,t+1}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}}$

Las probabilidades de transición se especifican mediante

${\displaystyle \gamma _{k}=1-(1-\gamma _{1})^{(b^{k-1})}}$.

La secuencia es aproximadamente geométrica a baja frecuencia. La distribución marginal M tiene una media unitaria, tiene un soporte positivo y es independiente de k . ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}\approx \gamma _{1}b^{k-1}}$

MSM binomial

En aplicaciones empíricas, la distribución M suele ser una distribución discreta que puede tomar los valores o con igual probabilidad. El proceso de retorno se especifica entonces mediante los parámetros . Nótese que el número de parámetros es el mismo para todos los . ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle 2-m_{0}}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle \theta =(m_{0},\mu ,{\bar {\sigma }},b,\gamma _{1})}$ ${\displaystyle {\bar {k}}>1}$

Tiempo continuo

El MSM se define de manera similar en tiempo continuo. El proceso de precios sigue la difusión:

${\displaystyle {\frac {dP_{t}}{P_{t}}}=\mu dt+\sigma (M_{t})\,dW_{t},}$

donde , es un movimiento browniano estándar, y y son constantes. Cada componente sigue la dinámica: ${\displaystyle \sigma (M_{t})={\bar {\sigma }}(M_{1,t}\dots M_{{\bar {k}},t})^{1/2}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$

Las intensidades varían geométricamente con k :

${\displaystyle \gamma _{k}=\gamma _{1}b^{k-1}.}$

Cuando el número de componentes tiende a infinito, el MSM de tiempo continuo converge a una difusión multifractal, cuyas trayectorias de muestra toman un continuo de exponentes de Hölder locales en cualquier intervalo de tiempo finito. ${\displaystyle {\bar {k}}}$

Inferencia y probabilidad en forma cerrada

Cuando tiene una distribución discreta , el vector de estado de Markov toma un número finito de valores . Por ejemplo, hay estados posibles en MSM binomial. La dinámica de Markov se caracteriza por la matriz de transición con componentes . Condicionada al estado de volatilidad, el rendimiento tiene densidad gaussiana. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle m^{1},...,m^{d}\in R_{+}^{\bar {k}}}$ ${\displaystyle d=2^{\bar {k}}}$ ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}}$ ${\displaystyle a_{i,j}=P\left(M_{t+1}=m^{j}|M_{t}=m^{i}\right)}$ ${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle f(r_{t}|M_{t}=m^{i})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}(m^{i})}}}\exp \left[-{\frac {(r_{t}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}(m^{i})}}\right].}$

Distribución condicional

Probabilidad en forma cerrada

La función de verosimilitud logarítmica tiene la siguiente expresión analítica:

${\displaystyle \ln L(r_{1},\dots ,r_{T};\theta )=\sum _{t=1}^{T}\ln[\omega (r_{t}).(\Pi _{t-1}A)].}$

La máxima verosimilitud proporciona estimaciones razonablemente precisas en muestras finitas. ^[2]

Otros métodos de estimación

Cuando tiene una distribución continua , la estimación puede realizarse mediante el método simulado de momentos, ^{[3] [4]} o mediante probabilidad simulada a través de un filtro de partículas. ^[5] ${\displaystyle M}$

Pronóstico

Dado , la distribución condicional del vector de estado latente en la fecha viene dada por: ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{t}}$ ${\displaystyle t+n}$

${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{t,n}=\Pi _{t}A^{n}.\,}$

Los modelos MSM suelen ofrecer mejores previsiones de volatilidad que algunos de los mejores modelos tradicionales, tanto dentro como fuera de la muestra. Calvet y Fisher ^[2] informan de mejoras considerables en las previsiones de volatilidad del tipo de cambio en horizontes de 10 a 50 días en comparación con los modelos GARCH(1,1), Markov-Switching GARCH, ^{[6] [7]} y Fractionally Integrated GARCH. ^[8] Lux ^[4] obtiene resultados similares utilizando predicciones lineales.

Aplicaciones

Activos múltiples y valor en riesgo

Las extensiones de MSM a múltiples activos proporcionan estimaciones confiables del valor en riesgo en una cartera de valores. ^[5]

Precios de activos

En economía financiera, los modelos multifrecuenciales se han utilizado para analizar las implicaciones de los riesgos multifrecuenciales en la fijación de precios. Los modelos han tenido cierto éxito a la hora de explicar la volatilidad excesiva de los rendimientos de las acciones en comparación con los indicadores fundamentales y la asimetría negativa de los rendimientos de las acciones. También se han utilizado para generar difusiones de salto multifractales. ^[9]

Enfoques relacionados

El MSM es un modelo de volatilidad estocástica ^{[10] [11]} con un número arbitrario de frecuencias. El MSM se basa en la conveniencia de los modelos de cambio de régimen, que fueron desarrollados en economía y finanzas por James D. Hamilton . ^{[12] [13]} El MSM está estrechamente relacionado con el modelo multifractal de retornos de activos. ^[14] El MSM mejora la construcción combinatoria del MMAR al aleatorizar los tiempos de llegada, lo que garantiza un proceso estrictamente estacionario. El MSM proporciona una formulación pura de cambio de régimen de medidas multifractales, que fueron desarrolladas por primera vez por Benoit Mandelbrot . ^{[15] [16] [17]}

Véase también

• Movimiento browniano
• Rogemar Mamón
• Cadena de Markov
• Modelo multifractal de rentabilidad de activos
• Multifractal
• Volatilidad estocástica

Referencias

1. Calvet, L.; Fisher, A. (2001). "Pronóstico de la volatilidad multifractal" (PDF) . Journal of Econometrics . 105 : 27–58. doi :10.1016/S0304-4076(01)00069-0. S2CID  119394176.
2. Calvet, LE (2004). "Cómo pronosticar la volatilidad a largo plazo: cambio de régimen y estimación de procesos multifractales". Journal of Financial Econometrics . 2 : 49–83. CiteSeerX 10.1.1.536.8334 . doi :10.1093/jjfinec/nbh003. 
3. Calvet, Laurent; Fisher, Adlai (julio de 2003). "Cambio de régimen y estimación de procesos multifractales". Documento de trabajo del NBER n.º 9839. doi : 10.3386 /w9839 .
4. Lux, T. (2008). "El modelo multifractal de Markov-Switching de los rendimientos de los activos". Journal of Business & Economic Statistics . 26 (2): 194–210. doi :10.1198/073500107000000403. S2CID  55648360.
5. Calvet, LE; Fisher, AJ; Thompson, SB (2006). "Comovimiento de volatilidad: un enfoque multifrecuencial". Journal of Econometrics . 131 (1–2): 179–215. CiteSeerX 10.1.1.331.152 . doi :10.1016/j.jeconom.2005.01.008. 
6. Gray, SF (1996). "Modelado de la distribución condicional de las tasas de interés como un proceso de cambio de régimen". Journal of Financial Economics . 42 : 27–77. doi :10.1016/0304-405X(96)00875-6.
7. Klaassen, F. (2002). "Mejora de los pronósticos de volatilidad de GARCH con GARCH de cambio de régimen" (PDF) . Economía empírica . 27 (2): 363–394. doi :10.1007/s001810100100. S2CID  29571612.
8. Bollerslev, T.; Ole Mikkelsen, H. (1996). "Modelado y fijación de precios de la memoria a largo plazo en la volatilidad del mercado de valores". Journal of Econometrics . 73 : 151–184. doi :10.1016/0304-4076(95)01736-4.
9. Calvet, Laurent E.; Fisher, Adlai J. (2008). Teoría, pronóstico y fijación de precios de la volatilidad multifractal . Burlington, MA: Academic Press. ISBN 9780080559964.
10. Taylor, Stephen J (2008). Modelado de series temporales financieras (2.ª ed.). Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 9789812770844.
11. Wiggins, JB (1987). "Valores de opciones bajo volatilidad estocástica: teoría y estimaciones empíricas" (PDF) . Journal of Financial Economics . 19 (2): 351–372. doi :10.1016/0304-405X(87)90009-2.
12. Hamilton, JD (1989). "Un nuevo enfoque para el análisis económico de series temporales no estacionarias y el ciclo económico". Econometrica . 57 (2): 357–384. CiteSeerX 10.1.1.397.3582 . doi :10.2307/1912559. JSTOR  1912559. 
13. Hamilton, James (2008). "Modelos de cambio de régimen". New Palgrave Dictionary of Economics (2.ª ed.). Palgrave Macmillan Ltd. ISBN 9780333786765.
14. Mandelbrot, Benoit; Fisher, Adlai; Calvet, Laurent (septiembre de 1997). "Un modelo multifractal de rentabilidad de activos". Documento de debate de la Fundación Cowles n.º 1164. SSRN 78588  .
15. Mandelbrot, BB (2006). "Turbulencia intermitente en cascadas autosimilares: divergencia de momentos altos y dimensión del portador". Journal of Fluid Mechanics . 62 (2): 331–358. doi :10.1017/S0022112074000711. S2CID  222375985.
16. Mandelbrot, Benoit B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza (edición actualizada y aumentada). Nueva York: Freeman. ISBN 9780716711865.
17. Mandelbrot, Benoit B.; JM Berger; et al. (1999). Multifractales y ruido 1/f: autoafinidad salvaje en física (1963 - 1976) (edición repetida). Nueva York, NY [ua]: Springer. ISBN 9780387985398.

Enlaces externos

• Series temporales financieras, multifractales y modelos ocultos de Markov