Modelo multicompartimental

Tipo de modelo matemático

Un modelo multicompartimental es un tipo de modelo matemático utilizado para describir la forma en que se transmiten los materiales o las energías entre los compartimentos de un sistema. A veces, el sistema físico que intentamos modelar en ecuaciones es demasiado complejo, por lo que es mucho más fácil discretizar el problema y reducir el número de parámetros. Se supone que cada compartimento es una entidad homogénea dentro de la cual las entidades que se modelan son equivalentes. Un modelo multicompartimental se clasifica como un modelo de parámetros agrupados . De manera similar a los modelos matemáticos más generales , los modelos multicompartimentales pueden tratar las variables como continuas, como una ecuación diferencial , o como discretas, como una cadena de Markov . Dependiendo del sistema que se modele, se pueden tratar como estocásticos o deterministas.

Los modelos multicompartimentales se utilizan en muchos campos, entre ellos la farmacocinética , la epidemiología , la biomedicina , la teoría de sistemas , la teoría de la complejidad , la ingeniería, la física, la ciencia de la información y las ciencias sociales. Los sistemas de circuitos también pueden considerarse un modelo multicompartimental. Lo más habitual es que las matemáticas de los modelos multicompartimentales se simplifiquen para proporcionar un único parámetro (como la concentración) dentro de un compartimento.

En teoría de sistemas

En teoría de sistemas, implica la descripción de una red cuyos componentes son compartimentos que representan una población de elementos que son equivalentes con respecto a la manera en que procesan las señales de entrada al compartimento.

• Distribución homogénea instantánea de materiales o energías dentro de un "compartimento".
• La tasa de intercambio de materiales o energías entre los compartimentos está relacionada con las densidades de estos compartimentos.
• Por lo general, es deseable que los materiales no sufran reacciones químicas durante la transmisión entre los compartimentos.
• Cuando lo que interesa es la concentración de la célula, normalmente se supone que el volumen es constante a lo largo del tiempo, aunque esto puede no ser totalmente cierto en la realidad.

Modelo de un solo compartimento

Posiblemente la aplicación más simple del modelo multicompartimental es el monitoreo de la concentración de una sola célula (ver la figura anterior). Si el volumen de una célula es V , la masa del soluto es q , la entrada es u ( t ) y la secreción de la solución es proporcional a su densidad dentro de la célula, entonces la concentración de la solución C dentro de la célula a lo largo del tiempo viene dada por

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=u(t)-kq}$

${\displaystyle C={\frac {q}{V}}}$

Donde k es la proporcionalidad.

Software

Análisis y modelado de simulación 2 SAAM II es un sistema de software diseñado específicamente para ayudar en el desarrollo y prueba de modelos multicompartimentales. Tiene una interfaz gráfica de usuario fácil de usar en la que se construyen modelos compartimentados creando una representación visual del modelo. A partir de este modelo, el programa crea automáticamente sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. El programa puede simular y ajustar modelos a los datos, devolviendo estimaciones óptimas de parámetros y estadísticas asociadas. Fue desarrollado por científicos que trabajaban en el metabolismo y la cinética de las hormonas (por ejemplo, glucosa, lípidos o insulina). ^[1] Luego se utilizó para estudios de trazadores y farmacocinética. Aunque en principio se puede desarrollar y ejecutar un modelo multicompartimental a través de otro software, como MATLAB o lenguajes C++, la interfaz de usuario que ofrece SAAM II permite al modelador (y a los no modeladores) controlar mejor el sistema, especialmente cuando aumenta la complejidad.

Modelo compartimental discreto

Los modelos discretos se ocupan de variables discretas, a menudo un intervalo de tiempo . Un ejemplo de un modelo multicompartimental discreto es una versión discreta del modelo Lotka-Volterra . ^[2] Aquí se consideran dos compartimentos, presa y depredadores, denotados por y respectivamente. Los compartimentos están acoplados entre sí por términos de acción de masas en cada ecuación. En un intervalo de tiempo discreto , obtenemos ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+\alpha x(t)\Delta t-\beta x(t)y(t)\Delta t\\y(t+\Delta t)&=y(t)+\delta x(t)y(t)\Delta t-\gamma y(t)\Delta t.\end{aligned}}}$

Aquí

• Los términos y representan el número de esa población en un momento dado ; ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t}$
• El término representa el nacimiento de una presa; ${\displaystyle \alpha x(t)\Delta t}$
• El término de acción masiva es el número de presas que mueren debido a los depredadores; ${\displaystyle \beta x(t)y(t)\Delta t}$
• El término acción de masas representa el nacimiento de depredadores en función de las presas consumidas; ${\displaystyle \delta x(t)y(t)\Delta t}$
• El término es la muerte de los depredadores; ${\displaystyle \gamma y(t)\Delta t}$
• ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta ,}$y son parámetros de valor real que determinan los pesos de cada término de transición. ${\displaystyle \gamma }$

Estas ecuaciones se resuelven fácilmente de forma iterativa.

Modelo compartimental continuo

El ejemplo discreto de Lotka-Volterra anterior se puede convertir en una versión continua reordenando y tomando el límite como . ${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy\\&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y\end{aligned}}}$

Esto da como resultado un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Tratar este modelo como ecuaciones diferenciales permite la implementación de métodos de cálculo para estudiar la dinámica del sistema con mayor profundidad.

Modelo multicompartimental

A medida que aumenta el número de compartimentos, el modelo puede resultar muy complejo y las soluciones suelen estar más allá del cálculo ordinario.

Las fórmulas para los modelos multicompartimentales de n celdas son:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{1}=q_{1}k_{11}+q_{2}k_{12}+\cdots +q_{n}k_{1n}+u_{1}(t)\\{\dot {q}}_{2}=q_{1}k_{21}+q_{2}k_{22}+\cdots +q_{n}k_{2n}+u_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}=q_{1}k_{n1}+q_{2}k_{n2}+\cdots +q_{n}k_{nn}+u_{n}(t)\end{aligned}}}$

Dónde

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{n}{k_{ij}}}$porque (como el 'contenido' total de todos los compartimentos es constante en un sistema cerrado) ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$

O en formas matriciales:

${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =\mathbf {Kq} +\mathbf {u} }$

Dónde

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\\\end{bmatrix}}\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{bmatrix}}\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{n}(t)\end{bmatrix}}}$y (como el 'contenido' total de todos los compartimentos es constante en un sistema cerrado) ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

En el caso especial de un sistema cerrado (ver más abajo), es decir, donde entonces existe una solución general. ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Donde , , ... y son los valores propios de ; , , ... y son los respectivos vectores propios de ; y , , .... y son constantes. ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$ ${\displaystyle \mathbf {v_{n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{n}}$

Sin embargo, se puede demostrar que, dado el requisito anterior de garantizar que los "contenidos" de un sistema cerrado sean constantes, entonces, para cada par de valor propio y vector propio, entonces o y también que un valor propio sea 0, digamos ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v} =0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

Entonces

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Dónde

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v_{i}} =0}$para ${\displaystyle \mathbf {i} =2,3,\dots n}$

Esta solución se puede reorganizar:

${\displaystyle \mathbf {q} ={\Bigg [}\mathbf {v_{1}} {\begin{bmatrix}c_{1}&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\mathbf {v_{2}} {\begin{bmatrix}0&c_{2}&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\dots +\mathbf {v_{n}} {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &c_{n}\\\end{bmatrix}}{\Bigg ]}{\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

Esta ecuación un tanto poco elegante demuestra que todas las soluciones de un modelo multicompartimental de n celdas con entradas constantes o nulas son de la forma:

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

Donde es una matriz nxn y , , ... y son constantes. Donde ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

Topologías de modelos

En términos generales, a medida que aumenta el número de compartimentos, resulta complicado encontrar las soluciones algebraicas y numéricas del modelo. Sin embargo, existen casos especiales de modelos, que rara vez existen en la naturaleza, en los que las topologías presentan ciertas regularidades que hacen que las soluciones sean más fáciles de encontrar. El modelo se puede clasificar según la interconexión de las celdas y las características de entrada/salida:

1. Modelo cerrado : sin sumideros ni fuentes, es decir, todos k _oi = 0 y u _i = 0;
2. Modelo abierto : hay sumideros y/o fuentes entre las celdas.
3. Modelo de catenaria : todos los compartimentos están dispuestos en cadena, y cada compartimento se conecta únicamente con sus vecinos. Este modelo tiene dos o más celdas.
4. Modelo cíclico : Es un caso especial del modelo catenario, con tres o más celdas, en el que la primera y la última celda están conectadas, es decir, k _{1 n} ≠ 0 o/y k _{n 1} ≠ 0.
5. Modelo mamilar : consta de un compartimento central con compartimentos periféricos que se conectan a él. No existen interconexiones entre otros compartimentos.
6. Modelo reducible : es un conjunto de modelos no relacionados. Tiene una gran similitud con el concepto informático de bosque en contraposición a los árboles .

Véase también

• Modelo matemático
• Ingeniería biomédica
• Modelos biológicos de neuronas
• Modelos compartimentados en epidemiología
• Modelado farmacocinético basado en la fisiología

Referencias

1. Cobelli, Claudio; Foster, David (1998). "Modelos compartimentales: teoría y práctica utilizando el sistema de software SAAM II". Modelado matemático en nutrición experimental . Adv Exp Med Biol. Vol. 445. págs. 79–101. doi :10.1007/978-1-4899-1959-5_5. ISBN 978-1-4899-1961-8. Número de identificación personal  9781383.
2. Towers, Sherry (11 de diciembre de 2013). «Introducción al modelado compartimental | Polymatheia» . Consultado el 20 de marzo de 2022 .

• Godfrey, K., Modelos compartimentados y su aplicación , Academic Press, 1983 ( ISBN 0-12-286970-2 ). 
• Anderson, DH, Modelado compartimental y cinética de trazadores , Springer-Verlag Lecture Notes in Biomathematics #50, 1983 ( ISBN 0-387-12303-2 ). 
• Jacquez, J. A, Análisis compartimental en biología y medicina , 2.ª ed., The University of Michigan Press, 1985.
• Evans, WC, Sistemas lineales, modelado compartimental y cuestiones de estimabilidad en estudios de calidad del aire interior, en Tichenor, B., Caracterización de fuentes de contaminación del aire interior y efectos de sumidero relacionados , ASTM STP 1287, págs. 239-262, 1996 ( ISBN 0-8031-2030-3 ).