Movilidad electrónica

Cantidad en física del estado sólido

En física del estado sólido , la movilidad del electrón caracteriza la rapidez con la que un electrón puede moverse a través de un metal o semiconductor cuando es atraído por un campo eléctrico . Existe una cantidad análoga para los agujeros , llamada movilidad de los agujeros . El término movilidad de portadores se refiere en general a la movilidad tanto de electrones como de huecos.

La movilidad de electrones y huecos son casos especiales de movilidad eléctrica de partículas cargadas en un fluido bajo un campo eléctrico aplicado.

Cuando se aplica un campo eléctrico E a través de una pieza de material, los electrones responden moviéndose con una velocidad promedio llamada velocidad de deriva . Entonces la movilidad del electrón μ se define como ${\displaystyle v_{d}}$

$${\displaystyle v_{d}=\mu E.}$$

La movilidad de los electrones casi siempre se especifica en unidades de cm 2 /( V ⋅ s ). Esto es diferente de la unidad de movilidad SI , m 2 /( V ⋅ s ). Están relacionados por 1 m ² /(V⋅s) = 10 ⁴ cm ² /(V⋅s).

La conductividad es proporcional al producto de la movilidad y la concentración de portadores. Por ejemplo, la misma conductividad podría provenir de un pequeño número de electrones con alta movilidad para cada uno, o de un gran número de electrones con pequeña movilidad para cada uno. Para los semiconductores, el comportamiento de los transistores y otros dispositivos puede ser muy diferente dependiendo de si hay muchos electrones con baja movilidad o pocos electrones con alta movilidad. Por tanto, la movilidad es un parámetro muy importante para los materiales semiconductores. Casi siempre, una mayor movilidad conduce a un mejor rendimiento del dispositivo, en igualdad de condiciones.

La movilidad de los semiconductores depende de las concentraciones de impurezas (incluidas las concentraciones de donantes y aceptores), la concentración de defectos, la temperatura y las concentraciones de electrones y huecos. También depende del campo eléctrico, particularmente en campos elevados cuando se produce saturación de velocidad . Puede determinarse mediante el efecto Hall o inferirse del comportamiento del transistor.

Introducción

Velocidad de deriva en un campo eléctrico.

Sin ningún campo eléctrico aplicado, en un sólido, los electrones y los huecos se mueven aleatoriamente . Por lo tanto, en promedio no habrá movimiento general de los portadores de carga en ninguna dirección particular a lo largo del tiempo.

Sin embargo, cuando se aplica un campo eléctrico, cada electrón o hueco es acelerado por el campo eléctrico. Si el electrón estuviera en el vacío, se aceleraría a una velocidad cada vez mayor (lo que se denomina transporte balístico ). Sin embargo, en un sólido, el electrón se dispersa repetidamente de defectos cristalinos , fonones , impurezas, etc., de modo que pierde algo de energía y cambia de dirección. El resultado final es que el electrón se mueve con una velocidad promedio finita, llamada velocidad de deriva . Este movimiento neto de electrones suele ser mucho más lento que el movimiento aleatorio que ocurre normalmente.

Los dos portadores de carga, electrones y huecos, normalmente tendrán diferentes velocidades de deriva para el mismo campo eléctrico.

El transporte cuasibalístico es posible en sólidos si los electrones se aceleran a lo largo de una distancia muy pequeña (tan pequeña como el camino libre medio ), o durante un tiempo muy corto (tan corto como el tiempo libre medio ). En estos casos, la velocidad de deriva y la movilidad no son significativas.

Definición y unidades

La movilidad de los electrones está definida por la ecuación:

$${\displaystyle v_{d}=\mu _{e}E.}$$

• E es la magnitud del campo eléctrico aplicado a un material,
• v _d es la magnitud de la velocidad de deriva de los electrones (en otras palabras, la velocidad de deriva de los electrones ) causada por el campo eléctrico, y
• µ _e es la movilidad del electrón.

La movilidad del agujero se define mediante una ecuación similar:

$${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E.}$$

Por lo general, la velocidad de deriva de los electrones en un material es directamente proporcional al campo eléctrico, lo que significa que la movilidad de los electrones es constante (independiente del campo eléctrico). Cuando esto no es cierto (por ejemplo, en campos eléctricos muy grandes), la movilidad depende del campo eléctrico.

La unidad SI de velocidad es m/s y la unidad SI de campo eléctrico es V / m . Por lo tanto, la unidad SI de movilidad es (m/s)/(V/m) = m 2 /( V ⋅ s ). Sin embargo, la movilidad se expresa mucho más comúnmente en cm ² /(V⋅s) = 10 ⁻⁴ m ² /(V⋅s).

La movilidad suele ser una función importante de las impurezas del material y la temperatura, y se determina empíricamente. Los valores de movilidad normalmente se presentan en forma de tabla o gráfico. La movilidad también es diferente para los electrones y los huecos en un material determinado.

Derivación

Comenzando con la Segunda Ley de Newton :

$${\displaystyle a=F/m_{e}^{*}}$$

• a es la aceleración entre colisiones.
• F es la fuerza eléctrica ejercida por el campo eléctrico, y
• ${\displaystyle m_{e}^{*}}$es la masa efectiva de un electrón.

Dado que la fuerza sobre el electrón es − eE :

$${\displaystyle a=-{\frac {eE}{m_{e}^{*}}}}$$

Esta es la aceleración del electrón entre colisiones. Por tanto, la velocidad de deriva es:

$${\displaystyle v_{d}=a\tau _{c}=-{\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,}$$

tiempo libre medio? ${\displaystyle \tau _{c}}$

Como sólo nos importa cómo cambia la velocidad de deriva con el campo eléctrico, agrupamos los términos sueltos para obtener

$${\displaystyle v_{d}=-\mu _{e}E,}$$

${\displaystyle \mu _{e}={\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}}$

De manera similar, para los agujeros tenemos

$${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E,}$$

${\displaystyle \mu _{h}={\frac {e\tau _{c}}{m_{h}^{*}}}}$

Relación con la densidad actual

La densidad de corriente de deriva resultante de un campo eléctrico se puede calcular a partir de la velocidad de deriva. Considere una muestra con área de sección transversal A, longitud l y una concentración de electrones de n. La corriente transportada por cada electrón debe ser , de modo que la densidad de corriente total debida a los electrones esté dada por: ${\displaystyle -ev_{d}}$

$${\displaystyle J_{e}={\frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}}$$

${\displaystyle v_{d}}$

$${\displaystyle J_{e}=en\mu _{e}E}$$

$${\displaystyle J_{h}=ep\mu _{h}E}$$

${\displaystyle \mu _{h}}$

La densidad de corriente total es la suma de los componentes de electrones y huecos:

$${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

Relación con la conductividad

Anteriormente hemos derivado la relación entre la movilidad de los electrones y la densidad de corriente.

$${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

la ley de Ohm

$${\displaystyle J=\sigma E}$$

${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}}$$

$${\displaystyle \sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})}$$

Relación con la difusión de electrones

En una región donde n y p varían con la distancia, se superpone una corriente de difusión a la debida a la conductividad. Esta corriente de difusión se rige por la Ley de Fick :

$${\displaystyle F=-D_{\text{e}}\nabla n}$$

• F es flujo.
• D _e es el coeficiente de difusión o difusividad
• ${\displaystyle \nabla n}$es el gradiente de concentración de electrones

El coeficiente de difusión de un portador de carga está relacionado con su movilidad mediante la relación de Einstein . Para un sistema clásico (por ejemplo, gas Boltzmann), se lee:

$${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}k_{\mathrm {B} }T}{e}}}$$

• k _B es la constante de Boltzmann
• T es la temperatura absoluta
• e es la carga eléctrica de un electrón

Para un metal, descrito por un gas de Fermi (líquido de Fermi), se debe utilizar la versión cuántica de la relación de Einstein. Normalmente, la temperatura es mucho menor que la energía de Fermi; en este caso se debe utilizar la siguiente fórmula:

$${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}E_{F}}{e}}}$$

• E _F es la energía de Fermi

Ejemplos

La movilidad típica de los electrones a temperatura ambiente (300 K) en metales como el oro , el cobre y la plata es de 30 a 50 cm ² /(V⋅s). La movilidad de los portadores en los semiconductores depende del dopaje. En el silicio (Si) la movilidad de los electrones es del orden de 1.000, en el germanio alrededor de 4.000 y en el arseniuro de galio hasta 10.000 cm ² /(V⋅s). Las movilidades de los agujeros son generalmente más bajas y varían desde alrededor de 100 cm ² /(V⋅s) en arseniuro de galio, hasta 450 en silicio y 2000 en germanio. ^[1]

Se ha encontrado una movilidad muy alta en varios sistemas ultrapuros de baja dimensión, como gases de electrones bidimensionales ( 2DEG ) (35.000.000 cm ² /(V⋅s) a baja temperatura), ^[2] nanotubos de carbono (100.000 cm ² /( V⋅s) a temperatura ambiente) ^[3] y grafeno independiente (200.000 cm ² /(V⋅s) a baja temperatura). ^[4] Los semiconductores orgánicos ( polímero , oligómero ) desarrollados hasta ahora tienen movilidades de portador inferiores a 50 cm ² /(V⋅s), y normalmente inferiores a 1, con materiales de buen rendimiento medidos por debajo de 10. ^[5]

Dependencia del campo eléctrico y saturación de la velocidad.

En campos bajos, la velocidad de deriva v _d es proporcional al campo eléctrico E , por lo que la movilidad μ es constante. Este valor de μ se llama movilidad de campo bajo .

Sin embargo, a medida que aumenta el campo eléctrico, la velocidad de la portadora aumenta de forma sublineal y asintótica hacia un valor máximo posible, llamado velocidad de saturación v _sat . Por ejemplo, el valor de v _sat es del orden de 1×10 ⁷ cm/s tanto para electrones como para huecos en Si. Es del orden de 6×10 ⁶ cm/s para Ge. Esta velocidad es una característica del material y una fuerte función del dopaje o niveles de impurezas y la temperatura. Es una de las propiedades clave de los materiales y dispositivos semiconductores que determina el límite último de velocidad de respuesta y frecuencia de un dispositivo como un transistor.

Este fenómeno de saturación de velocidad resulta de un proceso llamado dispersión de fonones ópticos . En campos elevados, los portadores se aceleran lo suficiente como para ganar suficiente energía cinética entre colisiones para emitir un fonón óptico, y lo hacen muy rápidamente, antes de acelerarse una vez más. La velocidad que alcanza el electrón antes de emitir un fonón es:

$${\displaystyle {\frac {m^{*}v_{\text{emit}}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{\text{phonon (opt.)}}}$$

ω _{fonón (opc.)}E _(opcional)v _emitv _emit^[12][12]

La saturación de velocidad no es el único comportamiento posible en el campo alto. Otro es el efecto Gunn , donde un campo eléctrico suficientemente alto puede provocar una transferencia de electrones a intervalos, lo que reduce la velocidad de deriva. Esto es inusual; aumentar el campo eléctrico casi siempre aumenta la velocidad de deriva o la deja sin cambios. El resultado es una resistencia diferencial negativa .

En el régimen de saturación de velocidad (u otros efectos de alto campo), la movilidad es una función importante del campo eléctrico. Esto significa que la movilidad es un concepto algo menos útil, en comparación con simplemente discutir directamente la velocidad de deriva.

Relación entre dispersión y movilidad.

Recuerde que, por definición, la movilidad depende de la velocidad de deriva. El principal factor que determina la velocidad de deriva (aparte de la masa efectiva ) es el tiempo de dispersión , es decir, cuánto tiempo el campo eléctrico acelera balísticamente al portador hasta que se dispersa (choca) con algo que cambia su dirección y/o energía. Las fuentes más importantes de dispersión en materiales semiconductores típicos, que se analizan a continuación, son la dispersión de impurezas ionizadas y la dispersión de fonones acústicos (también llamada dispersión reticular). En algunos casos, otras fuentes de dispersión pueden ser importantes, como la dispersión de impurezas neutras, la dispersión de fonones ópticos, la dispersión de superficies y la dispersión de defectos . ^[13]

La dispersión elástica significa que la energía se conserva (casi) durante el evento de dispersión. Algunos procesos de dispersión elástica son la dispersión de fonones acústicos, la dispersión de impurezas, la dispersión piezoeléctrica, etc. En la dispersión de fonones acústicos, los electrones se dispersan del estado k al k' , mientras emiten o absorben un fonón de vector de onda q . Este fenómeno suele modelarse asumiendo que las vibraciones de la red provocan pequeños cambios en las bandas de energía. El potencial adicional que causa el proceso de dispersión se genera por las desviaciones de las bandas debido a estas pequeñas transiciones desde posiciones congeladas de la red. ^[14]

Dispersión de impurezas ionizadas

Los semiconductores están dopados con donantes y/o aceptores, que normalmente están ionizados y, por tanto, están cargados. Las fuerzas de Coulomb desviarán un electrón o un agujero que se acerque a la impureza ionizada. Esto se conoce como dispersión de impurezas ionizadas . La cantidad de desviación depende de la velocidad del portador y de su proximidad al ion. Cuanto más dopado esté un material, mayor será la probabilidad de que un portador colisione con un ion en un tiempo determinado, menor será el tiempo libre medio entre colisiones y menor será la movilidad. Al determinar la fuerza de estas interacciones debido a la naturaleza de largo alcance del potencial de Coulomb, otras impurezas y portadores libres hacen que el rango de interacción con los portadores se reduzca significativamente en comparación con la interacción de Coulomb simple.

Si estos dispersores están cerca de la interfaz, la complejidad del problema aumenta debido a la existencia de defectos y trastornos del cristal. Los centros de captura de carga que dispersan a los transportistas se forman en muchos casos debido a defectos asociados con bonos colgantes. La dispersión ocurre porque después de atrapar una carga, el defecto se carga y, por lo tanto, comienza a interactuar con los portadores gratuitos. Si los portadores dispersos están en la capa de inversión en la interfaz, la dimensionalidad reducida de los portadores hace que el caso difiera del caso de dispersión de impurezas en masa, ya que los portadores se mueven solo en dos dimensiones. La rugosidad interfacial también provoca una dispersión de corto alcance que limita la movilidad de los electrones cuasi bidimensionales en la interfaz. ^[14]

Dispersión de celosía (fonón)

A cualquier temperatura por encima del cero absoluto , los átomos que vibran crean ondas de presión (acústicas) en el cristal, que se denominan fonones . Al igual que los electrones, los fonones pueden considerarse partículas. Un fonón puede interactuar (chocar) con un electrón (o hueco) y dispersarlo. A mayor temperatura, hay más fonones y, por tanto, aumenta la dispersión de electrones, lo que tiende a reducir la movilidad.

dispersión piezoeléctrica

El efecto piezoeléctrico sólo puede ocurrir en semiconductores compuestos debido a su naturaleza polar. Es pequeño en la mayoría de los semiconductores, pero puede provocar campos eléctricos locales que provocan la dispersión de los portadores al desviarlos; este efecto es importante principalmente a bajas temperaturas, donde otros mecanismos de dispersión son débiles. Estos campos eléctricos surgen de la distorsión de la celda unitaria básica cuando se aplica tensión en ciertas direcciones en la red. ^[14]

Dispersión de rugosidad superficial

La dispersión de la rugosidad de la superficie causada por el desorden interfacial es una dispersión de corto alcance que limita la movilidad de los electrones cuasi bidimensionales en la interfaz. A partir de micrografías electrónicas de transmisión de alta resolución, se ha determinado que la interfaz no es abrupta a nivel atómico, pero la posición real del plano interfacial varía una o dos capas atómicas a lo largo de la superficie. Estas variaciones son aleatorias y provocan fluctuaciones de los niveles de energía en la interfaz, lo que luego provoca dispersión. ^[14]

dispersión de aleación

En los semiconductores compuestos (aleaciones), que son muchos materiales termoeléctricos, la dispersión causada por la perturbación del potencial cristalino debido al posicionamiento aleatorio de especies de átomos sustitutos en una subred relevante se conoce como dispersión de aleación. Esto solo puede suceder en aleaciones ternarias o superiores, ya que su estructura cristalina se forma reemplazando aleatoriamente algunos átomos en una de las subredes (subred) de la estructura cristalina. Generalmente, este fenómeno es bastante débil, pero en ciertos materiales o circunstancias, puede convertirse en un efecto dominante que limite la conductividad. En materiales a granel, normalmente se ignora la dispersión de la interfaz. ^{[14] [15] [16] [17] [18]}

dispersión inelástica

Durante los procesos de dispersión inelástica, se produce un importante intercambio de energía. Al igual que ocurre con la dispersión de fonones elásticos, también en el caso inelástico, el potencial surge de las deformaciones de las bandas de energía causadas por vibraciones atómicas. Los fonones ópticos que causan dispersión inelástica generalmente tienen una energía en el rango de 30 a 50 meV, en comparación, las energías de los fonones acústicos suelen ser inferiores a 1 meV, pero algunos pueden tener una energía del orden de 10 meV. Hay un cambio significativo en la energía del portador durante el proceso de dispersión. Los fonones ópticos o acústicos de alta energía también pueden causar dispersión en intervalos o entre bandas, lo que significa que la dispersión no está limitada dentro de un solo valle. ^[14]

Dispersión electrón-electrón

Debido al principio de exclusión de Pauli, se puede considerar que los electrones no interactúan si su densidad no excede el valor 10 ¹⁶ ~10 ¹⁷ cm ⁻³ o el valor del campo eléctrico 10 ³ V/cm. Sin embargo, significativamente por encima de estos límites, la dispersión electrón-electrón comienza a dominar. El largo alcance y la no linealidad del potencial de Coulomb que rige las interacciones entre electrones hacen que estas interacciones sean difíciles de abordar. ^{[14] [15] [16]}

Relación entre movilidad y tiempo de dispersión.

Un modelo simple da la relación aproximada entre el tiempo de dispersión (tiempo promedio entre eventos de dispersión) y la movilidad. Se supone que después de cada evento de dispersión, el movimiento del portador es aleatorio, por lo que tiene una velocidad promedio cero. A continuación, se acelera uniformemente en el campo eléctrico hasta que se dispersa de nuevo. La movilidad de deriva promedio resultante es: ^[19]

$${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$$

qcarga elementalmmasa efectivaτ

Si la masa efectiva es anisotrópica (dependiente de la dirección), m * es la masa efectiva en la dirección del campo eléctrico.

regla de matthiessen

Normalmente, está presente más de una fuente de dispersión, por ejemplo impurezas y fonones reticulares. Normalmente es una muy buena aproximación combinar sus influencias utilizando la "Regla de Matthiessen" (desarrollada a partir del trabajo de Augustus Matthiessen en 1864):

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}.}$$

µ ${\displaystyle \mu _{\rm {impurities}}}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {lattice}}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$

τ_impurezas

La regla de Matthiessen es una aproximación y no es universalmente válida. Esta regla no es válida si los factores que afectan la movilidad dependen unos de otros, porque las probabilidades de dispersión individuales no pueden sumarse a menos que sean independientes entre sí. ^[18] El tiempo medio de vuelo libre de una compañía aérea y, por tanto, el tiempo de relajación, es inversamente proporcional a la probabilidad de dispersión. ^{[14] [15] [17]} Por ejemplo, la dispersión reticular altera la velocidad promedio de los electrones (en la dirección del campo eléctrico), lo que a su vez altera la tendencia a dispersar impurezas. Existen fórmulas más complicadas que intentan tener en cuenta estos efectos. ^[20]

Dependencia de la temperatura de la movilidad.

Al aumentar la temperatura, la concentración de fonones aumenta y provoca una mayor dispersión. Por lo tanto, la dispersión de la red reduce cada vez más la movilidad del portador a temperaturas más altas. Los cálculos teóricos revelan que la movilidad en semiconductores no polares , como el silicio y el germanio, está dominada por la interacción de fonones acústicos . Se espera que la movilidad resultante sea proporcional a T  ^−3/2 , mientras que se espera que la movilidad debida únicamente a la dispersión de fonones ópticos sea proporcional a T  ^−1/2 . Experimentalmente, los valores de la dependencia de la temperatura de la movilidad en Si, Ge y GaAs se enumeran en la tabla. ^[21]

Como , donde es la sección transversal de dispersión para electrones y huecos en un centro de dispersión y es un promedio térmico (estadística de Boltzmann) sobre todas las velocidades de electrones o huecos en la banda de conducción inferior o en la banda de valencia superior, se puede determinar la dependencia de la movilidad con la temperatura. Aquí se utiliza la siguiente definición para la sección transversal de dispersión: número de partículas dispersas en un ángulo sólido dΩ por unidad de tiempo dividido por el número de partículas por área por tiempo (intensidad del incidente), que proviene de la mecánica clásica. Como las estadísticas de Boltzmann son válidas para los semiconductores . ${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$

Para la dispersión de fonones acústicos, para temperaturas muy por encima de la temperatura de Debye, la sección transversal estimada Σ _ph se determina a partir del cuadrado de la amplitud vibratoria promedio de un fonón para que sea proporcional a T. La dispersión de los defectos cargados (donantes o aceptores ionizados) conduce a la sección transversal . Esta fórmula es la sección transversal de dispersión para la "dispersión de Rutherford", donde una carga puntual (portador) pasa por otra carga puntual (defecto) que experimenta la interacción de Coulomb. ${\displaystyle {\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$

Las dependencias de la temperatura de estos dos mecanismos de dispersión en semiconductores se pueden determinar combinando fórmulas para τ, Σ y , para la dispersión de fonones acústicos y de defectos cargados . ^{[15] [17]} ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ ${\displaystyle {\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}}$ ${\displaystyle {\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}}$

Sin embargo, el efecto de la dispersión de impurezas ionizadas disminuye al aumentar la temperatura porque aumentan las velocidades térmicas promedio de los portadores. ^[13] Por lo tanto, los portadores pasan menos tiempo cerca de una impureza ionizada a medida que pasan y, por lo tanto, se reduce el efecto de dispersión de los iones.

Estos dos efectos operan simultáneamente sobre los transportistas mediante la regla de Matthiessen. A temperaturas más bajas, domina la dispersión de impurezas ionizadas, mientras que a temperaturas más altas domina la dispersión de fonones y la movilidad real alcanza un máximo a una temperatura intermedia.

Semiconductores desordenados

Densidad de estados de un sólido que posee una ventaja de movilidad . ${\displaystyle E_{C}}$

Mientras que en materiales cristalinos los electrones pueden describirse mediante funciones de onda extendidas sobre todo el sólido, ^[22] este no es el caso en sistemas con un desorden estructural apreciable, como los semiconductores policristalinos o amorfos . Anderson sugirió que más allá de un valor crítico de desorden estructural, ^[23] los estados de los electrones estarían localizados . Los estados localizados se describen como confinados a una región finita del espacio real, normalizables y que no contribuyen al transporte. Los estados extendidos se extienden sobre la extensión del material, no son normalizables y contribuyen al transporte. A diferencia de los semiconductores cristalinos, la movilidad generalmente aumenta con la temperatura en los semiconductores desordenados.

Captura y liberación múltiples

Mott desarrolló más tarde ^[24] el concepto de ventaja en movilidad. Esta es una energía por encima de la cual los electrones experimentan una transición de estados localizados a deslocalizados. En esta descripción, denominada captura y liberación múltiple , los electrones solo pueden viajar cuando se encuentran en estados extendidos y están constantemente atrapados y liberados de los estados localizados de menor energía. Debido a que la probabilidad de que un electrón sea liberado de una trampa depende de su energía térmica, la movilidad puede describirse mediante una relación de Arrhenius en dicho sistema: ${\displaystyle E_{C}}$

Diagrama de bandas de energía que representa el transporte de electrones bajo captura y liberación múltiples.

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{\text{A}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

donde es un prefactor de movilidad, es la energía de activación, es la constante de Boltzmann y es la temperatura. La energía de activación normalmente se evalúa midiendo la movilidad en función de la temperatura. La energía de Urbach se puede utilizar como sustituto de la energía de activación en algunos sistemas. ^[25] ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle E_{\text{A}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$

Salto de rango variable

A baja temperatura, o en sistemas con un alto grado de desorden estructural (como sistemas completamente amorfos), los electrones no pueden acceder a estados deslocalizados. En un sistema de este tipo, los electrones sólo pueden viajar haciendo túneles de un sitio a otro, en un proceso llamado salto de rango variable . En la teoría original del salto de rango variable, desarrollada por Mott y Davis, ^[26] la probabilidad de que un electrón salte de un sitio a otro depende de su separación en el espacio y de su separación en energía . ${\displaystyle P_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta E_{ij}}$

$${\displaystyle P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{B}T}}\right)}$$

Aquí hay un prefactor asociado con la frecuencia del fonón en el material, ^[27] y es el parámetro de superposición de la función de onda. Se puede demostrar que la movilidad en un sistema gobernado por saltos de rango variable ^[26] es: ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{-1/(d+1)}\right)}$$

donde es un prefactor de movilidad, es un parámetro (con dimensiones de temperatura) que cuantifica el ancho de estados localizados y es la dimensionalidad del sistema. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle d}$

Medición de la movilidad de los semiconductores.

Movilidad en el pasillo

Configuración de medición de efecto Hall para agujeros

Configuración de medición de efecto Hall para electrones.

La movilidad de los transportistas se mide más comúnmente mediante el efecto Hall . El resultado de la medición se denomina "movilidad Hall" (que significa "movilidad inferida de una medición del efecto Hall").

Considere una muestra de semiconductor con una sección transversal rectangular como se muestra en las figuras, fluye una corriente en la dirección x y se aplica un campo magnético en la dirección z . La fuerza de Lorentz resultante acelerará los electrones ( materiales tipo n ) o los huecos ( materiales tipo p ) en la dirección (− y ), de acuerdo con la regla de la mano derecha y establecerá un campo eléctrico ξ _y . Como resultado, hay un voltaje a través de la muestra, que se puede medir con un voltímetro de alta impedancia . Este voltaje, V _H , se llama voltaje Hall . V _H es negativo para material tipo n y positivo para material tipo p .

Matemáticamente, la fuerza de Lorentz que actúa sobre una carga q viene dada por

Para electrones:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{Hn}=-q({\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z})}$$

Para agujeros:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{Hp}=+q({\vec {v}}_{p}\times {\vec {B}}_{z})}$$

En estado estacionario, esta fuerza está equilibrada por la fuerza creada por el voltaje Hall, de modo que no hay fuerza neta sobre los portadores en la dirección y . Para los electrones,

$${\displaystyle {\vec {F}}_{y}=(-q){\vec {\xi }}_{y}+(-q)[{\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z}]=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0}$$

$${\displaystyle \xi _{y}=v_{x}B_{z}}$$

Para los electrones, el campo apunta en la dirección − y , y para los huecos, apunta en la dirección + y .

La corriente de electrones I está dada por . Substituya v _x en la expresión para ξ _y , ${\displaystyle I=-qnv_{x}tW}$

$${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$$

donde R _Hn es el coeficiente de Hall para el electrón y se define como

$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$$

Desde ${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$

$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$$

De manera similar, para los agujeros

$${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$$

A partir del coeficiente de Hall podemos obtener la movilidad del transportista de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\&=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}}$$

Similarmente,

$${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$$

Aquí el valor de V _Hp (voltaje Hall), t (grosor de la muestra), I (corriente) y B (campo magnético) se puede medir directamente, y las conductividades σ _n o σ _p son conocidas o pueden obtenerse midiendo la resistividad.

Movilidad de efecto de campo

La movilidad también se puede medir utilizando un transistor de efecto de campo (FET). El resultado de la medición se denomina "movilidad del efecto de campo" (que significa "movilidad inferida de una medición del efecto de campo").

La medición puede realizarse de dos maneras: desde mediciones en modo de saturación o mediciones de región lineal. ^[28] (Consulte MOSFET para obtener una descripción de los diferentes modos o regiones de operación).

Usando el modo de saturación

En esta técnica, ^[28] para cada voltaje de compuerta fijo VGS _, el voltaje drenaje-fuente VDS _aumenta hasta que la corriente ID _se satura. A continuación, se traza la raíz cuadrada de esta corriente saturada frente al voltaje de la puerta y se mide la pendiente m _sat . Entonces la movilidad es:

$${\displaystyle \mu =m_{\text{sat}}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}}$$

LWCi es la capacitancia _del

$${\displaystyle I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.}$$

V _thefecto Temprano^[29]

Usando la región lineal

En esta técnica, ^[28] el transistor funciona en la región lineal (o "modo óhmico"), donde VDS _es pequeño y con pendiente m _lin . Entonces la movilidad es: ${\displaystyle I_{D}\propto V_{GS}}$

$${\displaystyle \mu =m_{\text{lin}}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}}.}$$

$${\displaystyle I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS}^{2}}{2}}\right)}$$

_DSG^[29]

Movilidad óptica

La movilidad de los electrones se puede determinar a partir de mediciones de la técnica de fotorreflectancia láser sin contacto. Se realiza una serie de mediciones de fotorreflectancia a medida que la muestra pasa por el foco. La longitud de difusión de electrones y el tiempo de recombinación se determinan mediante un ajuste regresivo de los datos. Luego se utiliza la relación de Einstein para calcular la movilidad. ^{[30] [31]}

Movilidad de terahercios

La movilidad de los electrones se puede calcular a partir de la medición de una sonda de terahercios resuelta en el tiempo . ^{[32] [33] Los pulsos} de láser de femtosegundo excitan el semiconductor y la fotoconductividad resultante se mide utilizando una sonda de terahercios, que detecta cambios en el campo eléctrico de terahercios. ^[34]

Conductividad de microondas resuelta en el tiempo (TRMC)

Se puede evaluar un indicador de la movilidad del portador de carga utilizando la conductividad de microondas resuelta en el tiempo (TRMC). ^[35] Se utiliza un láser óptico pulsado para crear electrones y agujeros en un semiconductor, que luego se detectan como un aumento en la fotoconductancia. Con conocimiento de la absorbancia de la muestra, las dimensiones y la fluencia del láser incidente, se puede evaluar el parámetro, donde es el rendimiento de generación de portadores (entre 0 y 1), es la movilidad de los electrones y es la movilidad de los huecos. Tiene las mismas dimensiones que la movilidad, pero el tipo de portador (electrón o hueco) está oculto. ${\displaystyle \phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mu _{e}}$ ${\displaystyle \mu _{h}}$ ${\displaystyle \phi \Sigma \mu }$

Dependencia de la concentración de dopaje en silicio fuertemente dopado

Los portadores de carga en los semiconductores son los electrones y los huecos. Su número está controlado por las concentraciones de elementos impuros, es decir, la concentración de dopaje. Por tanto, la concentración de dopaje tiene una gran influencia sobre la movilidad del portador.

Si bien existe una dispersión considerable en los datos experimentales , para material no compensado (sin contradopaje) para sustratos fuertemente dopados (es decir, en adelante), la movilidad en el silicio a menudo se caracteriza por la relación empírica : ^[36] ${\displaystyle 10^{18}\mathrm {cm} ^{-3}}$

$${\displaystyle \mu =\mu _{o}+{\frac {\mu _{1}}{1+\left({\frac {N}{N_{\text{ref}}}}\right)^{\alpha }}}}$$

NN _DN _AN _reftemperatura ambiente

Operadores mayoritarios: ^[37]

$${\displaystyle \mu _{n}(N_{D})=65+{\frac {1265}{1+\left({\frac {N_{D}}{8.5\times 10^{16}}}\right)^{0.72}}}}$$

$${\displaystyle \mu _{p}(N_{A})=48+{\frac {447}{1+\left({\frac {N_{A}}{6.3\times 10^{16}}}\right)^{0.76}}}}$$

Transportistas minoritarios: ^[38]

$${\displaystyle \mu _{n}(N_{A})=232+{\frac {1180}{1+\left({\frac {N_{A}}{8\times 10^{16}}}\right)^{0.9}}}}$$

$${\displaystyle \mu _{p}(N_{D})=130+{\frac {370}{1+\left({\frac {N_{D}}{8\times 10^{17}}}\right)^{1.25}}}}$$

Estas ecuaciones se aplican sólo al silicio y sólo en condiciones de campo bajo.

Ver también

• velocidad de la electricidad

Referencias

1. "Archivo NSM - Propiedades físicas de los semiconductores". www.matprop.ru . Consultado el 25 de julio de 2020 .
2. Umansky, V.; Heiblum, M.; Levinson, Y.; Smet, J.; Nübler, J.; Dolev, M. (2009). "Crecimiento de MBE de 2DEG de desorden ultra bajo con movilidad superior a 35 × 106 cm2 V-1 s-1". Revista de crecimiento cristalino . 311 (7): 1658-1661. Código Bib : 2009JCrGr.311.1658U. doi :10.1016/j.jcrysgro.2008.09.151.
3. Durkop, T.; Getty, SA; Cobás, Enrique; Führer, MS (2004). "Movilidad extraordinaria en nanotubos de carbono semiconductores". Nano Letras . 4 (1): 35. Código bibliográfico : 2004NanoL...4...35D. doi :10.1021/nl034841q. S2CID  45010238.
4. Bolotin, K; Sikes, K; Jiang, Z; Clima, M; Fudenberg, G; Perfeccionar, J; Kim, P; Stormer, H (2008). "Movilidad electrónica ultraalta en grafeno suspendido". Comunicaciones de estado sólido . 146 (9): 351–355. arXiv : 0802.2389 . Código Bib : 2008SSCom.146..351B. doi :10.1016/j.ssc.2008.02.024. S2CID  118392999.
5. Nawrocki, Robert (2016). "E-Skin Fit imperceptible, ultraflexible y biocompatible de 300 nm con sensores táctiles y transistores orgánicos". Materiales electrónicos avanzados . 2 (4): 1500452. doi : 10.1002/aelm.201500452. S2CID  138355533.
6. Durkop, T.; Getty, SA; Cobás, Enrique; Führer, MS (2004). "Movilidad extraordinaria en nanotubos de carbono semiconductores". Nano Letras . 4 (1): 35–39. Código Bib : 2004NanoL...4...35D. doi :10.1021/nl034841q. S2CID  45010238.
7. Nieve, ES; Campbell, PM; Ancona, MG; Novak, JP (2005). "Transistores de película delgada de nanotubos de carbono de alta movilidad sobre un sustrato polimérico". Letras de Física Aplicada . 86 (3): 033105. Código bibliográfico : 2005ApPhL..86c3105S. doi :10.1063/1.1854721. ISSN  0003-6951. Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2017.
8. Shin, Jungwoo; Gamage, Geethal Amila; Ding, Zhiwei; Chen, Ke; Tian, ​​Fei; Qian, Xin; Zhou, Jiawei; Lee, Hwijong; Zhou, Jianshi; Shi, Li; Nguyen, Thanh; Han, Fei; Li, Mingda; Broido, David; Schmidt, Aarón; Ren, Zhifeng; Chen, pandilla (2022). "Alta movilidad ambipolar en arseniuro de boro cúbico". Ciencia . 377 (6604): 437–440. Código Bib : 2022 Ciencia... 377.. 437S. doi : 10.1126/science.abn4290. PMID  35862526. S2CID  250952849.
9. Él, Tao; Stolte, Matías; Würthner, Frank (23 de diciembre de 2013). "Transistores de efecto de campo de cristal único orgánico de canal n estables al aire basados ​​en microcintas de diimida de naftaleno clorada en el núcleo". Materiales avanzados . 25 (48): 6951–6955. Código Bib : 2013AdM....25.6951H. doi : 10.1002/adma.201303392 . PMID  24105872.
10. Yuan, Yongbo (2014). "Transistores de película fina orgánicos transparentes de movilidad ultraalta cultivados mediante un método de recubrimiento por giro descentrado". Comunicaciones de la naturaleza . 5 : 3005. Código Bib : 2014NatCo...5.3005Y. doi : 10.1038/ncomms4005 . PMID  24398476.
11. Heremans, Paul (2015). "Propiedades mecánicas y electrónicas de transistores de película delgada sobre plástico y su integración en aplicaciones electrónicas flexibles". Materiales avanzados . 28 (22): 4266–4282. doi :10.1002/adma.201504360. PMID  26707947. S2CID  25457390.
12. Vladimir Vasilʹevich Mitin; Vi︠a︡cheslav Aleksandrovich Kochelap; Michael A. Stroscio (1999). Heteroestructuras cuánticas: microelectrónica y optoelectrónica. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 307–9. ISBN 978-0-521-63635-3. Consultado el 2 de marzo de 2011 .
13. Singh (2008). Dispositivos electrónicos y circuitos integrados. PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. págs. 77–. ISBN 978-81-203-3192-1. Consultado el 1 de marzo de 2011 .
14. Ferry, David K. Transporte de semiconductores. Londres: Taylor & Francis, 2000. ISBN 0-7484-0865-7 (hbk.), ISBN 0-7484-0866-5 (pbk.)  
15. Ibach, Harald.; Luth, Hans. Física del estado sólido: introducción a los principios de la ciencia de los materiales / Harald Ibach, Hans Luth. Nueva York: Springer, 2009. -(Textos avanzados en física) ISBN 978-3-540-93803-3 
16. Bulusu, A. (2008). "Revisión de modelos electrónicos de transporte de materiales termoeléctricos". Superredes y Microestructuras . 44 (1): 1–36. Código Bib : 2008SuMi...44....1B. doi :10.1016/j.spmi.2008.02.008..
17. Bhattacharya, Pallab. Dispositivos optoelectrónicos semiconductores / Pallab Bhattacharya. Upper Saddle River (Nueva Jersey): Prentice-Hall, 1997. ISBN 0-13-495656-7 (nid.) 
18. Y. Takeda y TP Pearsall, "Fallo de la regla de Mattheissen en el cálculo de la movilidad del portador y los efectos de dispersión de la aleación en Ga0.47In0.53As", Electronics Lett. 17, 573-574 (1981).
19. Peter Y. Yu; Manuel Cardona (30 de mayo de 2010). Fundamentos de semiconductores: física y propiedades de los materiales. Saltador. págs. 205–. ISBN 978-3-642-00709-5. Consultado el 1 de marzo de 2011 .
20. Antonio Luque; Steven Hegedus (9 de junio de 2003). Manual de ciencia e ingeniería fotovoltaica. John Wiley e hijos. pag. 79, ecuación. 3.58. ISBN 978-0-471-49196-5. Consultado el 2 de marzo de 2011 .enlace web (solo suscripción)
21. Capítulo 2: Fundamentos de semiconductores Archivado el 21 de enero de 2009 en Wayback Machine . Libro de texto en línea de B. Van Zeghbroeck]
22. Gancho, JR; Hall, SE (5 de septiembre de 1991). Física del Estado Sólido. Wiley. ISBN 978-0-471-92804-1.
23. Anderson, PW (1 de marzo de 1958). "Ausencia de difusión en determinadas redes aleatorias". Revisión física . 109 (5): 1492-1505. Código bibliográfico : 1958PhRv..109.1492A. doi : 10.1103/PhysRev.109.1492.
24. Mott, NF (1 de enero de 1967). "Electrones en estructuras desordenadas". Avances en Física . 16 (61): 49-144. Código Bib : 1967AdPhy..16...49M. doi :10.1080/00018736700101265. ISSN  0001-8732.
25. Brotherton, SD (2013). Introducción a los transistores de película delgada: física y tecnología de los TFT. Publicaciones internacionales Springer. pag. 143.ISBN​ 978-3-319-00001-5.
26. Procesos electrónicos en materiales no cristalinos. Textos clásicos de Oxford sobre ciencias físicas. Oxford, Nueva York: Oxford University Press. 2012-03-24. ISBN 978-0-19-964533-6.
27. Emin, David (11 de febrero de 1974). "Tasa de salto asistida por fonones en sólidos no cristalinos". Cartas de revisión física . 32 (6): 303–307. Código bibliográfico : 1974PhRvL..32..303E. doi :10.1103/PhysRevLett.32.303.
28. Constance Rost-Bietsch (agosto de 2005). Transistores de efecto de campo orgánicos ambipolares y emisores de luz. Cuvillier Verlag. págs.17–. ISBN 978-3-86537-535-3. Consultado el 1 de marzo de 2011 .. Esta referencia omite por error un factor de 1/V _DS en la ecuación (2.11). La versión correcta de esa ecuación se puede encontrar, por ejemplo, en Stassen, AF; De Boer, RWI; Iosad, NN; Morpurgo, AF (2004). "Influencia del dieléctrico de puerta en la movilidad de transistores de efecto de campo monocristalinos rubrene". Letras de Física Aplicada . 85 (17): 3899–3901. arXiv : cond-mat/0407293 . Código bibliográfico : 2004ApPhL..85.3899S. doi : 10.1063/1.1812368. S2CID  119532427.
29. Constance Rost-Bietsch (agosto de 2005). Transistores de efecto de campo orgánicos ambipolares y emisores de luz. Cuvillier Verlag. págs.19–. ISBN 978-3-86537-535-3. Consultado el 20 de abril de 2011 ."Extraer la movilidad del efecto de campo directamente de la región lineal de la característica de salida puede producir valores mayores para la movilidad del efecto de campo que el real, ya que la corriente de drenaje es lineal sólo para VDS muy pequeños y VG grandes. Por el contrario, extraer la movilidad del efecto de campo de la región saturada podría producir valores bastante conservadores para la movilidad del efecto de campo, ya que la dependencia de la corriente de drenaje del voltaje de la puerta se vuelve subcuadrática tanto para VG grandes como para VDS pequeños.
30. W. Chism, "Medición óptica precisa de la movilidad del portador mediante fotorreflectancia láser de escaneo Z", arXiv:1711.01138 [física:ins-det], octubre de 2017.
31. W. Chism, "Fotorreflectancia láser de escaneo Z como herramienta para la caracterización de propiedades del transporte electrónico", arXiv:1808.01897 [cond-mat:mes-hall], agosto de 2018.
32. Ulbricht, Ronald; Hendry, Euan; Shan, Jie; Heinz, Tony F.; Bonn, Mischa (2011). "Dinámica de portadoras en semiconductores estudiada con espectroscopia de terahercios resuelta en el tiempo" (PDF) . Reseñas de Física Moderna . 83 (2): 543–586. Código Bib : 2011RvMP...83..543U. doi :10.1103/RevModPhys.83.543. hdl : 10871/15671 . ISSN  0034-6861.
33. Lloyd-Hughes, James; Jeon, Tae-In (2012). "Una revisión de la conductividad de terahercios de nanomateriales y a granel". Revista de ondas infrarrojas, milimétricas y de terahercios . 33 (9): 871–925. Código Bib : 2012JIMTW..33..871L. doi :10.1007/s10762-012-9905-y. ISSN  1866-6892. S2CID  13849900.
34. Evers, Wiel H.; Schins, Juleon M.; Aerts, Michiel; Kulkarni, Aditya; Capiod, Pierre; Berthe, Maxime; Grandidier, Bruno; Delerue, Christophe; van der Zant, Herre SJ; van Overbeek, Carlo; Peters, Joep L.; Vanmaekelbergh, Daniel; Siebbeles, Laurens DA (2015). "Alta movilidad de carga en redes percolativas bidimensionales de puntos cuánticos de PbSe conectados por enlaces atómicos". Comunicaciones de la naturaleza . 6 : 8195. Código Bib : 2015NatCo...6.8195E. doi : 10.1038/ncomms9195. ISSN  2041-1723. PMC 4598357 . PMID  26400049. 
35. Savenije, Tom J.; Ferguson, Andrew J.; Kopidakis, Nikos; Retumbas, Garry (21 de noviembre de 2013). "Revelando la dinámica de los portadores de carga en polímero: mezclas de fullereno utilizando conductividad de microondas fotoinducida resuelta en el tiempo". La Revista de Química Física C. 117 (46): 24085–24103. doi :10.1021/jp406706u. ISSN  1932-7447.
36. BL Anderson y RL Anderson, "Fundamentos de los dispositivos semiconductores", Mc Graw Hill, 2005
37. Caughey, DM; Thomas, RE (1967). "Movilidades de portadores en silicio relacionadas empíricamente con el dopaje y el campo". Actas del IEEE . 55 (12): 2192–2193. doi :10.1109/PROC.1967.6123.
38. Del Álamo, J (1985). "Medición y modelado del transporte de transportistas minoritarios en silicio fuertemente dopado". Electrónica de estado sólido . 28 (1): 47–54. Código Bib : 1985SSEle..28...47D. doi :10.1016/0038-1101(85)90209-6.

enlaces externos

• Entrada del glosario de semiconductores para la movilidad de electrones Archivado el 4 de enero de 2009 en Wayback Machine.
• Calculadora de resistividad y movilidad de la sala limpia de BYU
• Conferencia online- La movilidad desde un punto de vista atomista