Un mosaico k -uniforme es un mosaico de mosaicos del plano formado por polígonos regulares convexos , conectados borde con borde, con k tipos de vértices. El mosaico 1-uniforme incluye 3 mosaicos regulares y 8 mosaicos semirregulares. Un mosaico 1-uniforme se puede definir por su configuración de vértices . Los mosaicos k -uniformes superiores se enumeran por sus figuras de vértices, pero generalmente no se identifican de forma única de esta manera.
Se han enumerado las listas completas de teselados k -uniformes hasta k=6. Hay 20 teselados 2-uniformes, 61 teselados 3-uniformes, 151 teselados 4-uniformes, 332 teselados 5-uniformes y 673 teselados 6-uniformes. En este artículo se enumeran todas las soluciones hasta k =5.
Otras teselas de polígonos regulares que no son de borde a borde permiten polígonos de diferentes tamaños y posiciones de contacto cambiantes de forma continua.
Estas teselas periódicas de polígonos convexos se pueden clasificar por el número de órbitas de vértices, aristas y teselas. Si hay k órbitas de vértices, una tesela se denomina k -uniforme o k - isogonal ; si hay t órbitas de teselas, se denomina t - isoédrica ; si hay e órbitas de aristas, se denomina e - isotóxica .
Los mosaicos k -uniformes con las mismas figuras de vértice se pueden identificar además por su simetría de grupo de papel tapiz .
Los mosaicos 1-uniformes incluyen 3 mosaicos regulares y 8 semirregulares, con 2 o más tipos de caras de polígonos regulares. Hay 20 mosaicos 2-uniformes, 61 mosaicos 3-uniformes, 151 mosaicos 4-uniformes, 332 mosaicos 5-uniformes y 673 mosaicos 6-uniformes. Cada uno puede agruparse por el número m de figuras de vértices distintas, que también se denominan mosaicos m -arquimedianos . [1]
Finalmente, si el número de tipos de vértices es el mismo que la uniformidad ( m = k a continuación), entonces se dice que el teselado es Krotenheerdt . En general, la uniformidad es mayor o igual que el número de tipos de vértices ( m ≥ k ), ya que diferentes tipos de vértices necesariamente tienen diferentes órbitas, pero no al revés. Si m = n = k , hay 11 teselados de este tipo para n = 1; 20 teselados de este tipo para n = 2; 39 teselados de este tipo para n = 3; 33 teselados de este tipo para n = 4; 15 teselados de este tipo para n = 5; 10 teselados de este tipo para n = 6; y 7 teselados de este tipo para n = 7.
Se dice que un mosaico es regular si el grupo de simetría del mosaico actúa transitivamente sobre las banderas del mosaico, donde una bandera es una terna que consiste en un vértice , una arista y una baldosa del mosaico que inciden mutuamente. Esto significa que, para cada par de banderas, hay una operación de simetría que asigna la primera bandera a la segunda. Esto es equivalente a que el mosaico sea un mosaico de arista con arista mediante polígonos regulares congruentes . Debe haber seis triángulos equiláteros , cuatro cuadrados o tres hexágonos regulares en un vértice, lo que produce las tres teselaciones regulares.
La transitividad de vértices significa que para cada par de vértices hay una operación de simetría que asigna el primer vértice al segundo. [3]
Si el requisito de transitividad de banderas se relaja a uno de transitividad de vértices, mientras que la condición de que el teselado sea de borde a borde se mantiene, hay ocho teselados adicionales posibles, conocidos como teselados arquimedianos , uniformes o demirregulares . Tenga en cuenta que hay dos formas de imagen especular (enantiomórficas o quirales ) del teselado 3 4 .6 (hexagonal romo), solo una de las cuales se muestra en la siguiente tabla. Todos los demás teselados regulares y semirregulares son aquirales.
Grünbaum y Shephard distinguen la descripción de estos teselados como arquimedianos , ya que se refieren únicamente a la propiedad local de que la disposición de los mosaicos alrededor de cada vértice es la misma, y la de que son uniformes , ya que se refieren a la propiedad global de transitividad de vértices. Aunque estos teselados producen el mismo conjunto de teselados en el plano, en otros espacios hay teselados arquimedianos que no son uniformes.
Hay veinte (20) teselaciónes 2-uniformes del plano euclidiano (también llamadas teselaciónes 2- isogonales o teselaciónes demirregulares ) . [4] [5] [6] Se enumeran los tipos de vértice para cada una. Si dos teselaciónes comparten los mismos dos tipos de vértice, se les asignan los subíndices 1,2.
Existen 61 teselación 3-uniforme del plano euclidiano. 39 son 3-arquimedianas con 3 tipos de vértices distintos, mientras que 22 tienen 2 tipos de vértices idénticos en diferentes órbitas de simetría. Chavey (1989)
Existen 151 teselas 4-uniformes del plano euclidiano. La búsqueda de Brian Galebach reprodujo la lista de Krotenheerdt de 33 teselas 4-uniformes con 4 tipos de vértices distintos, además de encontrar 85 de ellas con 3 tipos de vértices y 33 con 2 tipos de vértices.
Hay 33 con 4 tipos de vértices.
Hay 85 con 3 tipos de vértices.
Hay 33 con 2 tipos de vértices, 12 con dos pares de tipos y 21 con una relación de tipos de 3:1.
Existen 332 teselas 5-uniformes del plano euclidiano. La búsqueda de Brian Galebach identificó 332 teselas 5-uniformes, con entre 2 y 5 tipos de vértices. Hay 74 con 2 tipos de vértices, 149 con 3 tipos de vértices, 94 con 4 tipos de vértices y 15 con 5 tipos de vértices.
Hay 15 mosaicos de 5 uniformes con 5 tipos de figuras de vértice únicos.
Hay 94 teselas uniformes 5 con 4 tipos de vértices.
Hay 149 teselas uniformes 5, de las cuales 60 tienen copias 3:1:1 y 89 tienen copias 2:2:1.
Hay 74 teselas uniformes 5 con 2 tipos de vértices, 27 con copias 4:1 y 47 con copias 3:2 de cada uno.
Hay 29 mosaicos uniformes de 5 con 3 y 2 tipos de figuras de vértice únicos.
Se han enumerado hasta 6 teselas k -uniformes. Existen 673 teselas 6-uniformes del plano euclidiano. La búsqueda de Brian Galebach reprodujo la lista de Krotenheerdt de 10 teselas 6-uniformes con 6 tipos de vértices distintos, y encontró 92 de ellas con 5 tipos de vértices, 187 con 4 tipos de vértices, 284 con 3 tipos de vértices y 100 con 2 tipos de vértices.
Enlaces euclidianos y de teselación general: